高中数学函数性质专题训练.docx
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高中数学函数性质专题训练
二、函数的单调性和奇偶性
2.1.76 函数f(x)=x|x|-2x是( ).
(A)偶函数,且在(-1,1)上是增函数
(B)奇函数,且在(-1,1)上是减函数
(C)偶函数,且在(-1,1)上是减函数
(D)奇函数,且在(-1,1)上是增函数
解析 f(-x)=-x|-x|-2(-x)=-(x|x|-2x)=-f(x),所以,函数f(x)是奇函数.
若x≥0,则f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,在(0,1)上函数f(x)单调递减,又由f(x)是奇函数可得它在(-1,1)上单调递减,答案为B.
2.1.77 已知二次函数f(x)=a1x2+b1x+c1和g(x)=a2x2+b2x+c2使得f(x)+g(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,则它们的系数应满足的关系是 .
解析 只有当函数f(x)+g(x)=(a1+a2)x2+(b1+b2)x+c1+c2为一次函数时,才能使得f(x)+g(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,所以,函数f(x)和g(x)的系数应满足a1+a2=0且b1+b2≠0.
2.1.78 若函数f(x)=在(-2,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 .
解析 f(x)=,即f(x)=a+在(-2,+∞)上单调递增,则1-2a<0,所以,a的取值范围是a>.
2.1.79 函数f(x)=的单调递增区间是 .
解析 函数f(x)的定义域是(0,+∞),而在(0,+∞)上函数f1(x)=和f2(x)=-都单调递增,所以,函数f(x)=的单调递增区间是(0,+∞).
2.1.80 指出下列函数的奇偶性并证明结论:
(1)f(x)=+1:
;
(2)G(x)=[f(x)-f(-x)](-a
;
(3)f(x)=:
;
(4)f(x)=:
.
解析
(1)f(-x)=+1=+1=f(x),所以,函数f(x)=+1是偶函数.
(2)G(-x)=[f(-x)-f(x)]=-[f(x)-f(-x)]=-G(x),所以,函数G(x)=[f(x)-f(-x)](-a
(3)f(-x)==-f(x),所以,函数f(x)=是奇函数.
(4)函数f(x)=的定义域是{x|x≠1,x∈R},而f(-1)=1,
所以,函数f(x)=既不是奇函数,也不是偶函数.
2.1.81 若函数f(x)=ax+b的定义域和值域都是[1,2],求a和b的值.
解析 若a>0,则函数f(x)=ax+b在(-∞,+∞)上单调递增,解得
若a<0,则函数f(x)=ax+b在(-∞,+∞)上单调递减,解得
2.1.82 设函数f(x)=x+(a>0).
(1)求证:
函数f(x)在(,+∞)上单调递增;
(2)若函数f(x)在(a-2,+∞)上单调递增,求a的取值范围.
解析
(1)设 (2)由问题 (1)的结论可得a-2≥,即(+1)(-2)≥0,所以,a的取值范围是a≥4. 2.1.83 “a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的( ). (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 解析 函数f(x)=|x-a|在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以,“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的充分不必要条件,答案为A. 2.1.84 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则函数F(x)=f(x)-f(-x)是( ). (A)奇函数,且在(-∞,+∞)上单调递增 (B)偶函数,且在(-∞,+∞)上单调递增 (C)奇函数,且在(-∞,+∞)上单调递减 (D)偶函数,且在(-∞,+∞)上单调递减 解析 F(-x)=f(-x)-f[-(-x)],即F(-x)=-[f(x)-f(-x)],于是,F(-x)=-F(x),所以,F(x)是奇函数. 设x1 2.1.85 设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时f(x)是单调函数,则满足f(x)=f的所有x之和为( ). (A)-3(B)3(C)-8(D)8 解析 由已知可得x=或-x=,即x2+3x-3=0或x2+5x+3=0,于是,由韦达定理可得所有符合要求的x的和为-3+(-5)=-8,答案为C. 2.1.86 已知函数f(x)的定义域是一个无限集,那么,在定义域中存在无穷多个实数x使得f(-x)=f(x)成立是f(x)为偶函数的( ). (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 解析 由偶函数的概念可知答案为B. 2.1.87 已知y=f(x)是定义在R上的单调函数,实数x1 (A)λ<0(B)λ=0 (C)0<λ<1(D)λ≥1 解析 由|f(x1)-f(x2)|<|f(α)-f(β)|及y=f(x)在(-∞,+∞)上单调函数可得区间(x1,x2)应是区间(α,β)的子集,即|x1-x2|<|α-β|,于是,|x1-x2|<,即|1+λ|<|1-λ|,所以,λ的取值范围是λ<0,答案为A. 2.1.88 对于a,b∈R,定义min{a,b}=若函数f(x)-min{|x+t|,|x-2|}是偶函数,则t= . 题2.1.88 解析 考察函数y=|x-2|和y=|x+t|的图象可知t=2. 2.1.89 函数f(x)=|x+2|+|x-1|+|x|的单调递增区间是 . 解析 函数f(x)=所以,函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞). 2.1.90 求证: 函数f(x)=是奇函数. 解析 f(x)= =, 此函数的定义域是{x|x≠0,x∈R},并且f(-x)=-f(x),所以,它是奇函数. 2.1.91 指出f(x)=的单调性. 解析 函数f(x)=的自变量x应满足 即此函数的定义域是[2,6)∪(6,10]. 若2 所以,函数f(x)=在[2,6),(6,10]上单调递增. 2.1.92 已知函数f(x)=. (1)指出函数f(x)的单调性,并予以证明; (2)画出函数f(x)的大致图象. 题2.1.92 解析 (1)设x1 所以,函数y=在(-∞,-2),(-2,2),(2,+∞)上单调递减. (2)函数y=的图象如图所示.(注: 关于函数y=的图象,应当以虚线的形式作直线x=2和x=-2表示该函数的定义域,函数图象应体现出不断趋近于这两条直线,应当表现函数的图象过点. 2.1.93 已知奇函数y=f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,若f(m-1)+f(2m-1)>0,求实数m的取值范围. 解析 由已知可得f(m-1)>-f(2m-1)=f(1-2m),再由函数f(x)的定义域是(-2,2)及在定义域上为减函数得所以,m的取值范围是- 2.1.94 若函数f(x)=(a-x)|x-1|在(-∞,+∞)上是减函数,求a的值. 解析 f(x)= 若a=1,则f(x)=函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数. 当a>1和a<1时函数f(x)的图象如图所示,它们都不是(-∞,+∞)上的减函数,所以,a=1. 题2.1.94 (1) 题2.1.94 (2) 2.1.95 已知f(x)和g(x)都是定义在R上的奇函数,若F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值为5,求F(x)在(-∞,0)上的最小值. 解析 由已知得当x>0时有af(x)+bg(x)+2≤5,则af(x)+bg(x)≤3. 若x<0,则-x>0,F(x)=af(x)+bg(x)+2=-af(-x)-bg(-x)+2=-[af(-x)+bg(-x)]+)2≥-3+2, 所以,F(x)在(-∞,0)上的最小值为-1. 2.1.96 对于判断函数y=在(-1,1)上的单调性问题,某同学给出了如下的解法: 令x=cosθ(0<θ<π),则y=cotθ,由于y=cotθ在(0,π)上单调递减,所以,此函数在(-1,1)上为减函数. 上述结论是否正确,试说明理由. 解析 结论错误,设x1 2.1.97 写出函数f(x)=为奇函数的充要条件并证明你的结论. 解析 若a=0,则f(x)=,不存在实数x能使得f(x)有意义,于是a≠0; 若a>0,则函数自变量x必须满足-a≤x≤a,此时f(x)=,必有x+2a>0,即该函数的定义域是[-a,a],于是有f(0)=≠0,该函数一定不是奇函数; 若a<0,则函数自变量x必须满足a≤x≤-a,此时f(x)=,该函数的定义域是[-a,0)∪(0,a],并有f(-x)=-f(x),即此函数是奇函数,所以,函数f(x)=为奇函数的充要条件是a<0. 2.1.98 下列函数中,在(1,+∞)上为增函数的是( ). (A)y=(x-2)2(B)y= (C)y=(D)y= 解析 函数y=(x-2)2在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增;函数y=即为y=-,它在(-∞,1),(1,+∞)上单调递增;函数y=在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递减;函数y=即为y=,它的定义域是(-∞,-2]∪[4,+∞),它在(-∞,-2]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增,所以,答案为B. 2.1.99 函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( ). (A)ab=0(B)a+b=0(C)a=b(D)a2+b2=0 解析 因为函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数,则对任意x∈R有f(-x)=-f(x)成立,于是,由f(0)=0得b=0,再由f(-1)=-f (1)得-|-1+a|=-|1+a|,解得a=0,此时,f(x)=x|x|,显然为奇函数,所以,函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a=b=0,即a2+b2=0,答案为D. 2.1.100 已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和为( ). (A)4(B)2(C)1(D)0 解析 设x0是方程f(x)=0的一个根,则f(-x0)=f(x0)=0,-x0也是方程f(x)=0的根,所以,方程f(x)=0的四个实根之和是0,答案为D. 2.1.101 函数f(x)=( ). (A)是奇函数,但不是偶函数(B)是偶函数,但不是奇函数 (C)既是奇函数,又是偶函数(D)既不是奇函数,也不是偶函数 解析 对于任意的x∈{x|x≠0,x∈R},若x>0,则-x<0,于是f(-x)=-x(1-x)= -f(x),若x<0,则-x>0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x),所以,函数f(x)是奇函数,答案为A. 2.1.102 定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,若f(a) (A)ab (C)|a|<|b|(D)0≤ab≥0 解析 对于定义域为R的偶函数,若x≥0,则f(|x|)=f(x),若x<0,则f(|x|)=f(-x)=f(x),所以,定义域为R的偶函数f(x)对于任意x∈R,有f(|x|)=f(x),于是由f(a) 2.1.103 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( ). (A)-1(B)0(C)1(D)2 解析 由f(x+2)=-f(x)得f[(x+2)+2]=-f(x+2),则f(x+4)=f(x),于是,f(6)=f (2).而定义域为R的奇函数一定有f(0)=0,又f(0+2)=-f(0),则f (2)=0,所以,f(6)=0,答案为B. 2.1.104 定义在R上的函数f(x)满足: f(x)f(x+2)=13,若f (1)=2,则f(99)=( ). (A)13(B)2(C)(D) 解析 由已知可得f(x+2)f(x+4)=13,于是,f(x+4)=f(x),则f(99)=f(3),而f (1)f(1+2)=13,所以,f(99)=,答案为C. 2.1.105 在R上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)( ). (A)在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 (B)在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 (C)在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 (D)在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 解析 由f(x)=f(2-x)得f(1+x)=f[2-(1+x)],即f(1+x)=f(1-x),函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)在[0,1]上单调递增.f(2+x)=f[2-(2+x)],即f(x+2)=f(-x),又f(-x)=f(x),于是,f(x+2)=f(x),函数f(x)是以2为周期的周期函数,所以,函数f(x)在[-2,-1]上单调递增,在[3,4]上单调递减,答案为B. 2.1.106 函数f(x)=|x-n|的最小值为( ). (A)190(B)171(C)90(D)45 解析 在区间(-∞,1),[1,2),[2,3), ,[9,10)上,函数f(x)解析式中x的系数都是负数,在区间[10,11),[11,12), ,[18,19),[19,+∞)上,函数f(x)解析式中x的系数都是正数,所以,函数f(x)在(-∞,10)上单调递减,在(10,+∞)上单调递增,所以,当x=10时,函数f(x)取得最小值2×(9+8+7+6+5+4+3+2+1)=90,答案为C. 2.1.107 若函数f(x)=|x-m|-mx存在最小值,则常数m的取值范围是 . 解析 f(x)=由函数的单调性可知,要使得f(x)有最小值,应有所以,m的取值范围是-1≤m≤1. 2.1.108 若函数f(x)=(a≠1)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是 .
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