导数讨论含参单调性习题含详解答案.docx
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导数讨论含参单调性习题含详解答案
导数讨论含参单调性习题(含详解答案)
1.设函数当若函数
时,函数
与
.在
处的切线互相垂直,求的值;
的取值范围;
在定义域内不单调,求
是否存在正实数,使得
满足条件的实数;若不存在,请说明理.2.已知函数讨论当当
的单调性;时,证明:
时,判断函数
;
是
对任意正实数恒成立?
若存在,求出
的导函数,为自然对数的底数.
零点的个数,并说明理.
3.已知函数当当
时,若
.
在其定义域内为单调函数,求的取值范围;
时,不等式
恒成立,如果存在,
).
时,是否存在实数,使得当
求的取值范围,如果不存在,说明理讨论函数
,其中为常数.
的单调性;
若存在两个极值点,求证:
无论实数取什么值都有.是
5.已知函数区间
上的减函数.
是实数集上的奇函数,函数
求的值;若
在
及所在的取值范围上恒成立,求的取值范围;
讨论关于的方程的根的个数.
试卷第1页,总2页
6.已知函数f?
x?
?
ax?
lnx,F?
x?
?
ex?
ax,其中x?
0,a?
0.
若f?
x?
和F?
x?
在区间?
0,ln3?
上具有相同的单调性,求实数a的取值范围;若a,?
最小值.
7.已知函数f(x)?
ex?
m?
lnx.
如x?
1是函数f(x)的极值点,求实数m的值并讨论的单调性f(x);
若x?
x0是函数f(x)的极值点,且f(x)?
0恒成立,求实数m的取值范围.
?
?
1?
,且函数g?
x?
?
xeax?
1?
2ax?
f?
x?
的最小值为M,求M的2?
e?
x2?
mx,其中0?
m?
1.8.已知函数f?
x?
?
ln?
1?
mx?
?
2x3当m?
1时,求证:
?
1?
x?
0时,f?
x?
?
;
3试讨论函数y?
f?
x?
的零点个数.9.已知e是自然对数的底数,F?
x?
?
2ex?
1?
x?
lnx,f?
x?
?
a?
x?
1?
?
3.
?
1设T?
x?
?
F?
x?
?
f?
x?
当a?
1?
2e时,求证:
T?
x?
在?
0,上单调递增;若?
x?
1,F?
x?
?
f?
x?
求实数a的取值范围.10.已知函数f?
x?
?
e?
ax?
2
x若a?
?
1,求函数f?
x?
在区间[?
1,1]的最小值;若a?
R,讨论函数f?
x?
在(0,?
?
)的单调性;若对于任意的x1,x2?
(0,?
?
),且x1?
x2,
求a的取值范围。
都有x2?
f(x1)?
a?
?
x1?
f(x2)?
a?
成立,试卷第2页,总2页
本卷系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
参考答案
1.【解析】
;;.
试题分析:
(1)本小题主要利用导数的几何意义,求出切线斜率;当时,,
可知在处的切线斜率,同理可求得,然后再根据函数与
在处的切线互相垂直,得,即可求出结果.
(2)易知函数的定义域为,可得,题意,
在内有至少一个实根且曲线与x不相切,即的最小
值为负,此可得,进而得到,此即可求出结果.(3)
令,可得,令,则
,所以在区间内单调递减,且在区间内必存
在实根,不妨设间
,可得,(*),则在区间内单调递增,在区
内单调递减,
∴,,将(*)式代入上式,得.使
得对任意正实数恒成立,即要求恒成立,然后再
根据基本不等式的性质,即可求出结果.试题解析:
答案第1页,总18页
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(1)当时,,
∴在处的切线斜率,
,得,∴
的定义域为
,∴
,
.
(2)易知函数
又,
题意,得∴
的最小值为负,
.(注:
结合函数
图象同样可以得到),
∴∴
,∴
;
(3)令,其中,
则,
则,
则∴
在区间
,内单调递减,且
在区间
内必存在实根,不妨设
,
即则
在区间
,可得
内单调递增,在区间
,(*)
内单调递减,
答案第2页,总18页
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∴,,
将(*)式代入上式,得.
根据题意恒成立,
又∵,当且仅当时,取等号,
∴,
∴,代入(*)式,得,
即,又,
∴,∴存在满足条件的实数,且.
点睛:
对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,一般通过变量分离,将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,然后再构造辅助函数围.
,利用
恒成立
;
恒成立
,即可求出参数范
2.①当时,在上为减函数;②当时,的减区间为,增区
间为【解析】
;证明见解析;一个零点,理见解析.
试题分析:
讨论函数单调性,先求导,当时,,故在
上为减函数;当根据
时,解可得,故
,
的减区间为
,当
,增区间为
时,
;,所以
,构造函数,设
是增函数,
,得证;判断函数的零点个数,需要研究函
答案第3页,总18页
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及对于不等式恒成立问题,解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立.考查函数的单调性,f?
?
x?
?
0,得函数单调递增,f?
?
x?
?
0得函数单调递减;考查恒成立问题,正确分离参数是关键,也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为a?
h?
x?
或a?
h?
x?
恒成立,即a?
hmax?
x?
或a?
hmin?
x?
即可,利用导数知识结合单调性求出hmax?
x?
或hmin?
x?
即得解.8.见解析;当0?
m?
1时,有两个零点;当m?
1时;有且仅有一个零点.【解析】
x3试题分析:
首先将m?
1代入函数解析式,然后令g?
x?
?
f?
x?
?
,再通过求导得
3到g?
x?
的单调性,从而使问题得证;首先求得f?
(x),然后求得f?
(x)?
0时x的值,再对m分类讨论,通过构造函数,利用导数研究函数单调性极值与最值,即可得出函数零点的个数.
x3?
x3试题解析:
当m?
1时,令g?
x?
?
f?
x?
?
,则g?
?
x?
?
,
31?
x当?
1?
x?
0时,?
x3?
0,1?
x?
0,?
g?
?
x?
?
0,此时函数g?
x?
递增,
x3?
当?
1?
x?
0时,g?
x?
?
g?
0?
?
0,当?
1?
x?
0时,f?
x?
?
………①
3?
?
1?
?
mx?
x?
?
mm?
?
1?
?
f?
?
x?
?
………②,令f?
?
x?
?
0,得x1?
0,x2?
m?
,
m1?
mxx2当m?
1时,x1?
x2?
0,②得f?
?
x?
?
……③
1?
x?
当x?
?
1时,1?
x?
0,x2?
0,?
f?
?
x?
?
0,此时,函数f?
x?
为增函数,?
?
1?
x?
0时,f?
x?
?
f?
0?
?
0,f?
0?
?
0,x?
0时,f?
x?
?
f?
0?
?
0,
故函数y?
f?
x?
,在x?
?
1上有且只有一个零点x?
0;当0?
m?
1时,m?
②知,当x111?
0,且?
?
m?
,mmm1?
1?
?
1?
m?
?
,1?
mx?
0,mx?
0,x?
?
m0,
m?
m?
?
m?
答案第14页,总18页
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此时,f?
?
x?
?
0;同理可得,当x?
?
m1?
0?
,f?
?
x?
?
0;当x?
0时,f?
?
x?
?
0;m?
11?
1?
?
和,减区间为0,,m?
m?
0?
?
函数y?
f?
x?
的增区间为mm?
?
m?
故,当m?
1?
x?
0时,f?
x?
?
f?
0?
?
0,当x?
0时,f?
x?
?
f?
0?
?
0m?
?
函数y?
f?
x?
,xm?
有且只有一个零点x?
0;
1?
1?
21?
1?
1?
2,构造函数?
lnm?
m?
?
t?
lntt?
?
,0?
t?
1,则
m?
2?
m2?
2?
t?
21m又f?
m?
11?
1t?
1?
……④,易知,对?
t?
?
0,1?
,?
?
?
t?
?
0,?
函数t1?
2?
?
2t2?
t?
tyt?
,
0?
t?
1为减函数,t1?
?
0
20?
m?
1,知0?
m?
1,?
f?
m1?
1?
21?
2?
lnmm?
2?
?
0……⑤m?
2?
m?
1?
x,当0?
x?
1时,当x?
1k?
?
x?
?
0,x构造函数k?
x?
?
lnx?
x?
1,则k?
?
x?
?
时,k?
?
x?
?
0,减区间为?
1,,?
函数y?
k?
x?
的增区间为?
0,1?
,?
k?
x?
?
k?
1?
?
0,
?
2?
1111?
有ln2?
2?
1?
2?
1,则em?
m2,
mmm1?
e?
1m2?
1?
1m?
m?
11e?
11,当?
?
x?
时,ln?
1?
mx2?
1……⑥
mmmm?
1m2?
1x21?
mx?
x2?
mx?
2?
1……⑦而2mx211?
mx?
?
2?
1?
2?
1?
0……⑧⑥⑦知f?
x?
?
ln?
1?
mx?
?
2mm1em?
11?
?
1又函数y?
f?
x?
在?
?
m?
?
上递增,m?
?
mmm?
?
m?
12?
1答案第15页,总18页
本卷系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
?
1m2?
1?
⑤⑧和函数零点定理知,?
x0,?
,使得f?
x0?
?
0
?
mm?
x2?
mx有两个零点,综上,当0?
m?
1时,函数f?
x?
?
ln?
1?
mx?
?
2综上所述:
当0?
m?
1时,函数y?
f?
x?
有两个零点,当m?
1时,函数y?
f?
x?
有且仅有一个零点.
考点:
1、利用导数研究函数的单调性;2、函数零点存在性定理;3、函数最值与导数的关系.
【技巧点睛】函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本,函数的单调递增区间和单调递减区间的分界点就是函数的极值点,在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函数的极值点把函数的定义域区间进行分段,在各个分段上研究函数的导数的符号,确定函数的单调性,也确定了函数的极值点,这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原则.
9.
(1)证明见解析;
(2),4?
.
【解析】试题分析:
(1)借助题设条件运用导数与函数单调性的关系推证;
(2)借助题设条件运用导数的有关知识求解.试题解析:
a?
1?
2e?
1,T?
x?
?
F?
x?
?
f?
x?
?
T?
x?
?
2ex?
1?
lnx?
2e?
1x?
2e?
1?
2.
1?
x?
0,T'?
x?
?
2ex?
1?
2e?
1?
.2ex?
1?
2e?
1关于x单调递增,
x11x?
0,T'?
x?
?
2ex?
1?
2e?
10,?
T?
x?
在?
0,上单调递增.
xx11x?
1x?
1设H?
x?
?
F?
x?
?
f?
x?
则H'?
x?
?
2e?
1?
?
a.设h?
x?
?
2e?
1?
?
a,
xx11x?
1x?
1则h'?
x?
?
2e?
?
1,?
2e?
2,?
2?
?
1,h'?
x?
?
1.?
h?
x?
在?
1,内单调递
xx增.
?
当x?
1时,h?
x?
?
h?
1?
.即H'?
x?
?
4?
a,?
当a?
4时,H'?
x?
?
4?
a?
0.?
当a?
4时,H?
x?
在?
1,内单调递增.?
当a?
4,x?
1时,H?
x?
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H?
1?
即F?
x?
?
f?
x?
.x?
1,?
H'?
x?
?
2ex?
1?
1?
1?
a?
2ex?
1?
2?
a.当a?
4时,x2ex?
1?
2?
a?
0得
?
a?
2ex?
1?
2?
a关于x单调递增,?
当a?
4,1?
x?
1?
ln?
?
1?
时,H?
x?
单调递减.设
?
2?
答案第16页,总18页
本卷系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
?
a?
x0?
1?
ln?
?
1?
则H?
x0?
?
H?
1?
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0,即F?
x0?
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f?
x0?
.
?
2?
?
a?
?
当a?
4时,?
x0?
1?
ln?
?
1?
?
1,F?
x0?
?
f?
x0?
不成立.
?
2?
综上,若?
x?
1,F?
x?
?
f?
x?
a的取值范围,4?
.
考点:
导数在研究函数的单调性和极值等
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