《13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词》教案.docx
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《13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词》教案
1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
适用学科
数学
适用年级
高三
适用区域
新课标
课时时长(分钟)
60
知识点
1.逻辑联结词“且”“或”“非”的含义
2.含有逻辑联结词的命题真假的判断
3.全称量词与全称命题
4.存在量词与特称命题
5.含有一个量词的命题的否定
教学目标
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
2.理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
教学重点
全称命题、特称命题的否定及判断
教学难点
全称命题、特称命题的否定及判断
教学过程
一、课堂导入
正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。
无论是进行思考、交流,还是从事各项工作,都需要正确的运用逻辑用语表达自己的思维。
常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具;在学习数学过程中需要准确全面地理解概念,正确地进行表述、判断和推理,这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用,所以逻辑用语在数学中也具有很重要的作用。
而要正确的使用逻辑用语首要的就是准确的使用逻辑联结词.
在数学中,有时会使用一些联结词,如“且”“或”“非”。
在生活用语中,我们也使用这些联结词,但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。
下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便,今后常用小写字母p、q、r、s、……,来表示命题。
(注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别)
二、复习预习
1、四种命题的相互关系
2、充分条件与必要条件及其判断方法
三、知识讲解
考点1命题p∧q、p∨q、非p的真假判定
p
q
p∧q
p∨q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
考点2全称量词和存在量词
(1)全称量词有:
所有的,任意一个,任给,用符号“∀”表示;存在量词有:
存在一个,至少有一个,有些,用符号“∃”表示.
(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.“对M中任意一个x,有p(x)成立”用符号简记为:
∀x∈M,p(x).
(3)含有存在量词的命题,叫做特称命题.“存在M中元素x0,使p(x0)成立”用符号简记为:
∃x0∈M,p(x0).
考点3含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,非p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,非p(x)
三、例题精析
【例题1】
【题干】(2013·长春名校联考)命题p:
若a·b>0,则a与b的夹角为锐角;命题q:
若函数f(x)在(-∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.下列说法中正确的是( )
A.“p或q”是真命题 B.“p或q”是假命题
C.非p为假命题D.非q为假命题
【答案】B
【解析】∵当a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零度角,
∴命题p是假命题;命题q是假命题,
例如f(x)=
综上可知,“p或q”是假命题
【例题2】
【题干】下列命题中是假命题的是( )
A.存在α,β∈R,使tan(α+β)=tanα+tanβ
B.对任意x>0,有lg2x+lgx+1>0
C.△ABC中,A>B的充要条件是sinA>sinB
D.对任意φ∈R,函数y=sin(2x+φ)都不是偶函数
【答案】选D
【解析】对于A,当α=β=0时,tan(α+β)=0=tanα+tanβ,因此选项A是真命题;对于B,注意到lg2x+lgx+1=
2+
≥
>0,因此选项B是真命题;对于C,在△ABC中,A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB(其中R是△ABC的外接圆半径),因此选项C是真命题;对于D,注意到当φ=
时,y=sin(2x+φ)=cos2x是偶函数,因此选项D是假命题.
【例题3】
【题干】命题“能被5整除的数,末位是0”的否定是________.
【解析】有些可以被5整除的数,末位不是0
【解析】省略了全称量词“任何一个”,否定为:
有些可以被5整除的数,末位不是0.
【例题4】
【题干】已知c>0,且c≠1,设p:
函数y=cx在R上单调递减;q:
函数f(x)=x2-2cx+1在
上为增函数,若“p且q”为假,“p或q”为真,求实数c的取值范围.
【答案】C
【解析】∵函数y=cx在R上单调递减,∴0 即p: 0 c>1. 又∵f(x)=x2-2cx+1在 上为增函数,∴c≤ .即q: 0 , ∵c>0且c≠1, ∴非q: c> 且c≠1. 又∵“p或q”为真,“p且q”为假, ∴p真q假或p假q真. ①当p真,q假时,{c|0 = . ②当p假,q真时,{c|c>1}∩ =∅. 综上所述,实数c的取值范围是 . 四、课堂运用 【基础】 1.(2013·长沙模拟)设p、q是两个命题,则“复合命题p或q为真,p且q为假”的充要条件是( ) A.p、q中至少有一个为真 B.p、q中至少有一个为假 C.p、q中有且只有一个为真D.p为真,q为假 解析: 选C ∵p或q为真⇒p、q中至少有一个为真;p且q为假⇒p、q中至少有一个为假, ∴“命题p或q为真,p且q为假”⇒p与q一真一假. 而由C选项⇒“命题p或q为真,p且q为假”. 2.(2013·揭阳模拟)已知命题p: ∃x0∈R,cosx0= ;命题q: ∀x∈R,x2-x+1>0,则下列结论正确的是( ) A.命题p∧q是真命题 B.命题p∧非q是真命题 C.命题非p∧q是真命题 D.命题非p∨非q是假命题 解析: 选C 命题p是假命题,命题q是真命题, ∴p∧q是假命题,p∧非q是假命题, 非p∧q是真命题,非q∨非p是真命题. 3.已知命题p: 抛物线y=2x2的准线方程为y=- ;命题q: 若函数f(x+1)为偶函数,则f(x)关于x=1对称.则下列命题是真命题的是( ) A.p∧qB.p∨(非q) C.(非p)∧(非q)D.p∨q 解析: 选D 抛物线y=2x2,即x2= y的准线方程是y=- ;当函数f(x+1)为偶函数时,函数f(x+1)的图象关于直线x=0对称,函数f(x)的图象关于直线x=1对称(注: 将函数f(x)的图象向左平移一个单位长度可得到函数f(x+1)的图象),因此命题p是假命题,q是真命题,p∧q、p∨(非q)、(非p)∧(非q)都是假命题,p∨q是真命题. 【巩固】 4.命题“对任何x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是____________. 解析: 全称命题的否定为特称命题,所以该命题的否定为: ∃x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3. 答案: ∃x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3 5.若命题“∀x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________. 解析: 当a=0时,不等式显然成立;当a≠0时,由题意知 得-8≤a<0.综上,-8≤a≤0. 答案: [-8,0] 【拔高】 6.已知命题p1: 函数y=2x-2-x在R上为增函数, p2: 函数y=2x+2-x在R上为减函数. 则在命题q1: p1∨p2,q2: p1∧p2,q3: (非p1)∨p2和q4: p1∧(非p2)中,真命题是( ) A.q1,q3B.q2,q3 C.q1,q4D.q2,q4 解析: 选C p1是真命题,则非p1为假命题;p2是假命题,则非p2为真命题.所以q1: p1∨p2是真命题,q2: p1∧p2是假命题,q3: (非p1)∨p2为假命题,q4: p1∧(非p2)为真命题.即真命题是q1,q4. 7.已知命题p: ∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q: ∃x0∈R,x +2ax0+2-a=0,若“p且q”为真命题,求实数a的取值范围. 解: 由“p且q”为真命题,则p,q都是真命题. p: x2≥a在[1,2]上恒成立,只需a≤(x2)min=1, 所以命题p: a≤1; q: 设f(x)=x2+2ax+2-a,存在x0∈R使f(x0)=0, 只需Δ=4a2-4(2-a)≥0, 即a2+a-2≥0⇒a≥1或a≤-2, 所以命题q: a≥1或a≤-2. 由 得a=1或a≤-2 故实数a的取值范围是a=1或a≤-2. 课程小结 1.逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题. 2.正确区别命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真,而原命题与否命题的真假无必然联系.
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