∴sinC=,
∴S△ABC=absinC
=×3×2×=4.
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 (2016·四川)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
(1)证明:
sinAsinB=sinC;
(2)若b2+c2-a2=bc,求tanB.
(1)证明 根据正弦定理,可设
===k(k>0),
则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC,
代入+=中,有
+=,变形可得
sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC.所以sinAsinB=sinC.
(2)解 由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有
cosA==.
所以sinA==.
由
(1)知,sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
所以sinB=cosB+sinB.
故tanB==4.
思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边:
利用公式a=,b=,c=或其他相应变形公式求解.
(2)求角:
先求出正弦值,再求角,即利用公式sinA=,sinB=,sinC=或其他相应变形公式求解.
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.
(4)灵活利用式子的特点转化:
如出现a2+b2-c2=λab形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
(1)△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a,则等于( )
A.2B.2
C.D.
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2-c2=b,且sin(A-C)=2cosAsinC,则b等于( )
A.6B.4
C.2D.1
答案
(1)D
(2)C
解析
(1)(边化角)
由asinAsinB+bcos2A=a及正弦定理,得
sinAsinAsinB+sinBcos2A=sinA,
即sinB=sinA,所以==.故选D.
(2)(角化边)
由题意,得sinAcosC-cosAsinC=2cosAsinC,
即sinAcosC=3cosAsinC,
由正弦、余弦定理,得
a·=3c·,
整理得2(a2-c2)=b2,①
又a2-c2=b,②
联立①②得b=2,故选C.
题型二 和三角形面积有关的问题
例2 (2016·浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.
(1)证明:
A=2B;
(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.
(1)证明 由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,
于是sinB=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,
因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.
(2)解 由S=,得absinC=,
故有sinBsinC=sinA=sin2B=sinBcosB,
由sinB≠0,得sinC=cosB.
又B,C∈(0,π),所以C=±B.
当B+C=时,A=;
当C-B=时,A=.
综上,A=或A=.
思维升华
(1)对于面积公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A.3B.
C.D.3
答案 C
解析 ∵c2=(a-b)2+6,
∴c2=a2+b2-2ab+6.①
∵C=,
∴c2=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab.②
由①②得-ab+6=0,即ab=6.
∴S△ABC=absinC=×6×=.
题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 判断三角形的形状
例3
(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A.钝角三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.等边三角形
(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.不确定
答案
(1)A
(2)B
解析
(1)由所以sinC即sin(A+B)所以sinAcosB<0,
因为在三角形中sinA>0,所以cosB<0,
即B为钝角,所以△ABC为钝角三角形.
(2)由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,
∴sin(B+C)=sin2A,
即sin(π-A)=sin2A,sinA=sin2A.
∵A∈(0,π),∴sinA>0,∴sinA=1,
即A=,∴△ABC为直角三角形.
引申探究
1.例3
(2)中,若将条件变为2sinAcosB=sinC,判断△ABC的形状.
解 2sinAcosB=sinC=sin(A+B),
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosBsinA,
∴sin(A-B)=0,
又A,B为△ABC的内角,
∴A=B,∴△ABC为等腰三角形.
2.例3
(2)中,若将条件变为a2+b2-c2=ab,且2cosAsinB=sinC,判断△ABC的形状.
解 ∵a2+b2-c2=ab,∴cosC==,
又0又由2cosAsinB=sinC得sin(B-A)=0,∴A=B,
故△ABC为等边三角形.
命题点2 求解几何计算问题
例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图,在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
(1)求;
(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.
解
(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,
S△ADC=AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,
所以AB=2AC.
由正弦定理可得==.
(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.
在△ABD和△ADC中,由余弦定理,知
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.
故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6,
又由
(1)知AB=2AC,所以解得AC=1.
思维升华
(1)判断三角形形状的方法
①化边:
通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
②化角:
通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
(2)求解几何计算问题要注意
①根据已知的边角画出图形并在图中标示;
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.
命题点3 解三角形的实际应用
例5
(1)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高AD是60m,则河流的宽度BC等于( )
A.240(-1)mB.180(-1)m
C.120