高中数学必修1第三章31解答题21题.docx
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高中数学必修1第三章31解答题21题
必修1第三章3.1解答题21题
一、解答题
1、证明方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解.(精确度0.1)
2、判断函数f(x)=lnx-
在区间(1,3)内是否存在零点.
3、(10分)定义在R上的偶函数y=f(x)在(-∞,0]上递增,函数f(x)的一个零点为-
,求满足f(log
x)≥0的x的取值集合.
4、求方程2x3+3x-3=0的一个近似解(精确度0.1).
5、求方程lnx+x-3=0在(2,3)内的根(精确到0.1).
6、(10分)在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10km长的线路,如何迅速查出故障所在?
如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆子,10km长,大约有200多根电线杆子呢!
想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?
7、已知函数f(x)=2x-x2,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内是否有解,为什么?
8、讨论函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
9、定义在R上的偶函数y=f(x)在(-∞,0]上递增,函数f(x)的一个零点为-
,求满足f(log
x)≥0的x的取值集合.
10、已知函数f(x)=3x-x2,求方程f(x)=0在区间[-1,0]上实根的个数.
11、确定函数f(x)=
+x-4的零点所在的区间.
12、当a取何值时,方程ax2-2x+1=0的一个根在(0,1)上,另一个根在(1,2)上.
13、下列是关于函数y=f(x),x∈[a,b]的命题:
①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;
②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;
③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点;
④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值.
那么以上叙述中,正确的个数为( )
A.0B.1C.3D.4
14、在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻),现在只有一台天平,请问:
你最多称几次就可以发现这枚假币?
15、证明:
方程x4-4x-2=0在区间[-1,2]内至少有两个实数解.
16、关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.
17、若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k的取值范围.
18、若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
f
(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈-0.260
f(1.4375)≈0.162
f(1.40625)≈-0.054
求方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1).
19、分别求实数m的范围,使关于x的方程x2+2x+m+1=0,
(1)有两个负根;
(2)有两个实根,且一根比2大,另一根比2小;
(3)有两个实根,且都比1大.
20、已知函数f(x)=x|x-4|.
(1)画出函数f(x)=x|x-4|的图象;
(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值;
(3)当实数a为何值时,方程f(x)=a有三个解?
21、已知函数f(x)=ax+
(a>1).
(1)证明:
函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
以下是答案
一、解答题
1、证明 设函数f(x)=2x+3x-6,
∵f
(1)=-1<0,f
(2)=4>0,
又∵f(x)是增函数,
∴函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一的零点,
则方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解.
设该解为x0,则x0∈[1,2],
取x1=1.5,f(1.5)≈1.33>0,f
(1)·f(1.5)<0,
∴x0∈(1,1.5),
取x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0,
f
(1)·f(1.25)<0,∴x0∈(1,1.25),
取x3=1.125,f(1.125)≈-0.444<0,
f(1.125)·f(1.25)<0,∴x0∈(1.125,1.25),
取x4=1.1875,f(1.1875)≈-0.16<0,
f(1.1875)·f(1.25)<0,
∴x0∈(1.1875,1.25).
∵|1.25-1.1875|=0.0625<0.1,
∴1.1875可作为这个方程的实数解.
2、【解析】 因为函数f(x)=lnx-
的图象在[1,3]上是连续不断的一条曲线,且f
(1)=-1<0,f(3)=ln3-
>0,从而由零点存在性定理知,函数在(1,3)内存在零点.
3、【解析】 ∵-
是函数的一个零点,
∴f(-
)=0.
∵y=f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上递增,
∴当log
x≤0,即x≥1时,log
x≥-
,解得x≤3.即1≤x≤3.
由对称性可知,当log
x>0时,
≤x<1.
综上所述,x的取值范围为[
,3].
4、【解析】 设f(x)=2x3+3x-3,经试算,f(0)=-3<0,f
(1)=2>0,所以函数在(0,1)内存在零点,即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有实数解,取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,又f
(1)>0,所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去,得到方程的一个实数解所在的区间,如下表:
(a,b)
(a,b)的中点
f(a)
f(b)
f
(0,1)
0.5
f(0)<0
f
(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f
(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.6875
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.6875)<0
因为|0.6875-0.75|=0.0625<0.1,所以方程2x3+3x-3=0的精确度为0.1的一个近似解可取为0.75.
5、【解析】 令f(x)=lnx+x-3,即求函数f(x)在(2,3)内的零点.
用二分法逐步计算.列表如下:
区间
中点
中点函数值
[2,3]
2.5
0.4163
[2,2.5]
2.25
0.0609
[2,2.25]
2.125
-0.1212
[2.125,2.25]
2.1875
-0.0297
[2.1875,2.25]
由于区间[2.1875,2.25]的长度2.25-2.1875=0.0625<0.1,所以其两个端点的近似值2.2就是方程的根.
6、【解析】 如图
他首先从点C查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再查BC段中点D,这次发现BD段正常,可见故障在CD段,再查CD中点E.
这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,即可将故障发生的范围缩小到50m~100m之间,即一两根电线杆附近.
7、[解析] 因为f(-1)=2-1-(-1)2=-
<0,
f(0)=20-02=1>0,
而函数f(x)=2x-x2的图象是连续曲线,所以f(x)在区间[-1,0]内有零点,即方程f(x)=0在区间[-1,0]内有解.
8、[解析] 函数的定义域为(0,+∞),任取x1、x2∈(0,+∞),且x1<x2.
f(x1)-f(x2)=(lnx1+2x1-6)-(lnx2+2x2-6)
=(lnx1-lnx2)+2(x1-x2),
∵0<x1<x2,∴lnx1<lnx2.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 又f (1)=ln1+2×1-6=-4<0. f(3)=ln3+2×3-6=ln3>0 ∴f(x)在(1,3)内有零点. 由f(x)是单调函数知,f(x)有且仅有一个零点. 9、[解析] ∵- 是函数的零点,∴f =0, ∵f(x)为偶函数,∴f( )=0, ∵f(x)在(-∞,0]上递增,f(log x)≥f , ∴0≥log x≥- ,∴1≤x≤2, ∵f(x)为偶函数, ∴f(x)在[0,+∞)上单调减, 又f(log x)≥f( ), ∴0≤log x≤ ,∴ ≤x≤1,∴ ≤x≤2. 故x的取值集合为{x| ≤x≤2}. 10、【解析】 ∵f(-1)=3-1-(-1)2=- <0, f(0)=30-02=1>0, ∴f(-1)·f(0)<0. 又函数f(x)在[-1,0]上的图象是连续曲线, ∴方程f(x)=0在[-1,0]内有实根. 又函数f(x)=3x-x2在[-1,0]上是增函数, ∴方程f(x)=0在[-1,0]上只有一个实数根. 11、解 (答案不唯一) 设y1= ,y2=4-x,则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数,作出两函数图象,如图. 由图知,y1与y2在区间(0,1)内有一个交点, 当x=4时,y1=-2,y2=0,f(4)<0, 当x=8时,y1=-3,y2=-4,f(8)=1>0, ∴在(4,8)内两曲线又有一个交点. 故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1),(4,8). 12、解 ①当a=0时,方程即为-2x+1=0,只有一根,不符合题意. ②当a>0时,设f(x)=ax2-2x+1, ∵方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上, ∴ ,即 ,解得
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- 高中数学 必修 第三 31 解答 21
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