人教A版理科数学椭 圆名师精编单元测试.docx
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人教A版理科数学椭圆名师精编单元测试
题组层级快练(六十四)
1.已知椭圆E:
+
=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点为M(1,-1),则E的方程为( )
A.
+
=1 B.
+
=1
C.
+
=1D.
+
=1
答案 D
解析 kAB=
=
,kOM=-1,由kAB·kOM=-
,得
=
,∴a2=2b2.∵c=3,∴a2=18,b2=9,椭圆E的方程为
+
=1.
2.(2018·南昌二模)已知椭圆:
+x2=1,过点P(
,
)的直线与椭圆相交于A,B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为( )
A.9x-y-4=0B.9x+y-5=0
C.2x+y-2=0D.x+y-5=0
答案 B
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B在椭圆
+x2=1上,所以
两式相减得
+x12-x22=0,得
+(x1-x2)(x1+x2)=0,又弦AB被点P(
,
)平分,所以x1+x2=1,y1+y2=1,将其代入上式得
+x1-x2=0,得
=-9,即直线AB的斜率为-9,所以直线AB的方程为y-
=-9(x-
),即9x+y-5=0.
3.椭圆
+
=1上的点到直线x+2y-
=0的最大距离是( )
A.3B.
C.2
D.
答案 D
解析 设椭圆
+
=1上的点P(4cosθ,2sinθ),则点P到直线x+2y-
=0的距离为d=
=
,∴dmax=
=
.
4.(2018·广东梅州阶段测评)已知椭圆E:
+
=1的一个顶点C(0,-2),直线l与椭圆E交于A,B两点,若E的左焦点F1为△ABC的重心,则直线l的方程为( )
A.6x-5y-14=0B.6x-5y+14=0
C.6x+5y+14=0D.6x+5y-14=0
答案 B
解析 由题意知F1(-1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
∴
①
设M为AB的中点,则M(-
,1).
由
作差得
+
=0,
将①代入上式得
=
.
即k=
,由点斜式得,直线方程为y-1=
(x+
),即6x-5y+14=0.
5.(2018·广西南宁、梧州摸底联考)已知椭圆
+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若S△ABC=3S△BCF2,则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),将x=-c代入椭圆方程得y=±
.设A(-c,
),C(x,y),由S△ABC=3S△BCF2,可得
=2
,即有(2c,-
)=2(x-c,y),即2c=2x-2c,-
=2y,可得x=2c,y=-
,代入椭圆方程可得
+
=1.由e=
,b2=a2-c2,得4e2+
-
e2=1,解得e=
,故选A.
6.已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点.若向量
=3
,则k=( )
A.1B.
C.
D.2
答案 B
解析 设点A(x1,y1),B(x2,y2).因为
=3
,故y1=-3y2.因为e=
,设a=2t,c=
t,b=t,故x2+4y2-4t2=0,直线AB的方程为x=sy+
t.代入消去x,所以(s2+4)y2+2
sty-t2=0,所以y1+y2=-
,y1y2=-
,-2y2=-
,-3y22=-
,解得s2=
,又k=
,则k=
.故选B.
7.已知直线l:
y=k(x+2
)与椭圆x2+9y2=9交于A,B两点,若|AB|=2,则k=________.
答案 ±
解析 椭圆x2+9y2=9即椭圆
+y2=1,所以椭圆的焦点坐标为(±2
,0).因为直线y=k(x+2
),所以直线过椭圆的左焦点F(-2
,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=k(x+2
)代入椭圆x2+9y2=9,可得(1+9k2)x2+36
k2x+72k2-9=0,所以x1+x2=-
,x1x2=
,所以|AB|=
·
=
,因为|AB|=2,所以
=2,所以k=±
.
8.直线m与椭圆
+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为________.
答案 -
解析 由点差法可求出k1=-
·
,
∴k1·
=-
,即k1k2=-
.
9.(2018·河北唐山期末)设F1,F2为椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为4
的等边三角形,则椭圆C的方程为________.
答案
+
=1
解析 由△F2AB是面积为4
的等边三角形知AB垂直x轴,得
=
×2c,
×2c×
=4
,a2=b2+c2,解得a2=9,b2=6,c2=3.所以的椭圆方程为
+
=1.
10.椭圆Γ:
+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=
(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.
答案
-1
解析 由直线y=
(x+c)知其倾斜角为60°,
由题意知∠MF1F2=60°,则∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°.
故|MF1|=c,|MF2|=
c.
又|MF1|+|MF2|=2a,∴(
+1)c=2a.
即e=
=
-1.
11.已知椭圆
+
=1(0 答案 3 解析 已知在椭圆 + =1(0 = =2,解得m=3. 12.(2018·衡水中学调研卷)过椭圆 +y2=1的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,则点G的横坐标的取值范围为________. 答案 (- ,0) 解析 设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),代入 +y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,Δ=(4k2)2-4(1+2k2)×(2k2-2)=k2+1>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为N(x0,y0),则x1+x2=- ,y1+y2= ,∴AB的垂直平分线NG的方程为y-y0=- (x-x0).令y=0,得xG=x0+ky0=- + =- =- + .∵k≠0,∴- ,0). 13.(2018·江苏泰州中学月考)已知直线y=-x+1与椭圆 + =1(a>b>0)相交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),若椭圆的离心率e∈[ , ],则a的最大值为________. 答案 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),由 得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0, Δ=4a4-4(a2+b2)(a2-a2b2)>0,可得a2+b2>1且 ∵OA⊥OB,∴ · =x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0, ∴ - +1=0,整理得a2+b2=2a2b2,a2+a2-c2=2a2(a2-c2), 2a2-a2e2=2a2(a2-a2e2),2a2= =1+ , ∵e∈[ , ],∴2a2∈[ ,5],即amax= = . 14.已知椭圆C: + =1,过椭圆C上一点P(1, )作倾斜角互补的两条直线PA,PB,分别交椭圆C于A,B两点,求直线AB的斜率. 答案 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),同时设PA的方程为y- =k(x-1),代入椭圆方程化简得(k2+2)x2-2k(k- )x+k2-2 k-2=0,显然1和x1是这个方程的两解.因此x1= ,y1= ,由-k代替x1,y1中的k,得x2= ,y2= ,所以 = . 15.设F1,F2分别是椭圆E: x2+ =1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线l的斜率为1,求实数b的值. 答案 (1) (2) 解析 (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= . (2)l的方程为y=x+c,其中c= . 设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组 化简,得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0. 则x1+x2= ,x1x2= . 因为直线AB的斜率为1,所以|AB|= |x2-x1|. 即 = |x2-x1|. 则 =(x1+x2)2-4x1x2= - = ,解得b= . 16.(2018·广东六校联盟二联)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),直线y=kx与椭圆交于A,B两点. (1)若△AF1F2的周长为4 +6,求椭圆的标准方程; (2)若|k|> ,且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点,求椭圆离心率e的取值范围. 答案 (1) + =1 (2) 解析 (1)由题意得 解得a=2 . 结合a2=b2+c2,解得a2=12,b2=3. 所以椭圆的标准方程为 + =1. (2)由 消去y,得(b2+a2k2)x2-a2b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=0,x1x2= ,易知,AF2⊥BF2. 因为 =(x1-3,y1), =(x2-3,y2), 所以 · =(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0, 即 +9=0, 将其整理为k2= =-1- . 因为|k|>
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