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二次函数与几何的综合应用
二次函数与几何的综合应用
2012/7/21
1.如图
已知直角坐标系内的梯形AOBC(O为原点),AC∥OB,OC⊥BC,OA=2,AC,OB的长是关于x的方程x2-(k+2)x+5=0的两个根,且S△AOC:
S△BOC=1:
5.
(1)填空:
0C=_____k=_____
(2)求经过O,C,B三点的抛物线的解析式;
(3)AC与抛物线的另一个交点为D,动点P,Q分别从O,D同时出发,都以每秒1个单位的速度运动,其中点P沿OB由O→B运动,点Q沿DC由D→C运动,过点Q作QM⊥CD交BC于点M,连接PM,设动点运动时间为t秒,请你探索:
当t为何值时,△PMB是直角三角形.
2.
如图1,在梯形ABCD中,AB=BC=10cm,CD=6cm,∠C=∠D=90°.
(1)如图2,动点P、Q同时以每秒1cm的速度从点B出发,点P沿BA,AD,DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到点C停止,设P、Q同时从点B出发t秒时,△PBQ的面积为y1(cm2),求y1(cm2)关于t(秒)的函数关系式;
(2)如图3,动点P以每秒1cm的速度从点B出发沿BA运动,点E在线段CD上随之运动,且PC=PE.设点P从点B出发t秒时,四边形PADE的面积为y2(cm2),求y2(cm2)关于t(秒)的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
3.
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点,△MBC是等边三角形.
(1)求证:
梯形ABCD是等腰梯形;
(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且∠MPQ=60°保持不变.设PC=x,MQ=y,求y与x的函数关系式;
(3)在
(2)中:
①当动点P、Q运动到何处时,以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?
并指出符合条件的平行四边形的个数;
②当y取最小值时,判断△PQC的形状,并说明理由.
4.
如图,在直角坐标系中,O是原点,A、B、C三点的坐标分别为A(18,0),B(18,6),C(8,6),四边形OABC是梯形,点P、Q同时从原点出发,分别坐匀速运动,其中点P沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位,点Q沿OC、CB向终点B运动,当这两点有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动.
(1)求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式.
(2)试在
(1)中的抛物线上找一点D,使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等,请直接写出点D的坐标.
(3)设从出发起,运动了t秒.如果点Q的速度为每秒2个单位,试写出点Q的坐标,并写出此时t的取值范围.
(4)设从出发起,运动了t秒.当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半,这时,直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分?
如有可能,请求出t的值;如不可能,请说明理由.
5.
四边形OABC是等腰梯形,OA∥BC.在建立如图的平面直角坐标系中,A(4,0),B(3,2),点M从O点以每秒2个单位的速度向终点A运动;同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动,过点N作NP垂直于x轴于P点连接AC交NP于Q,连接MQ.
(1)写出C点的坐标;
(2)若动点N运动t秒,求Q点的坐标;(用含t的式子表示)
(3)其△AMQ的面积S与时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(4)当t取何值时,△AMQ的面积最大;
(5)当t为何值时,△AMQ为等腰三角形.
6.
已知:
如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3厘米,CB=4厘米.两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动.当点Q运动到点A时,P、Q两点运动即停止.点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒,设点P运动时间为t(秒).
(1)当时间t为何值时,以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积(图中的阴影部分)等于2平方厘米
(2)当点P、Q运动时,阴影部分的形状随之变化.设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S(平方厘米),求出S与时间t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围;
(3)点P、Q在运动的过程中,阴影部分面积S有最大值吗?
若有,请求出最大值;若没有,请说明理由.
.
7.如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点M作MP⊥OA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了x秒.
(1)P点的坐标为多少(用含x的代数式表示);
(2)试求△NPC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值;
(3)当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?
简要说明理由.
8.如图1,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(0,10),(8,4),顶点C,D在第一象限.点P从点A出发,沿正方形按逆时针方向运动,同时,点Q从点E(4,0)出发,沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时,P,Q两点同时停止运动.设运动时间为t(s).
(1)求正方形ABCD的边长;
(2)当点P在AB边上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(s)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图2所示),求P,Q两点的运动速度;
(3)求
(2)中面积S(平方单位)与时间t(s)的函数解析式及面积S取最大值时点P的坐标;
(4)若点P,Q保持
(2)中的速度不变,则点P沿着AB边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点P沿着这两边运动时,能使∠OPQ=90°吗?
若能,直接写出这样的点P的个数;若不能,直接写不能.
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形OACB的边OA,OB分别在x轴上和y轴上,线段OA,OB的长分别是一元二次方程x2-18x+72=0的两个根,且OA>OB;点P从点O开始沿OA边匀速移动,点M从点B开始沿BO边匀速移动.如果点P,点M同时出发,它们移动的速度相同,设OP=x(0≤x≤6),设△POM的面积为y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)连接矩形的对角线AB,当x为何值时,以P,O,M为顶点的三角形与△AOB相似;
(3)当△POM的面积最大时,将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM,试判断D点是否在矩形的对角线AB上,请说明理由.
10.已知:
如图,在坐标平面内,A(0,0),B(12,0),C(12,6),D(0,6),点Q沿DA边从点D开始向点A以1单位/秒的速度移动.点P沿AB边从点A开始向B以2单位/秒的速度移动,假设P、Q同时出发,t表示移动的时间(0≤t≤6).
(1)写出△PQA的面积S与t的函数关系式;
(2)四边形APCQ的面积与t有关吗?
请说明理由;
(3)当t为何值时,△PQC面积最小,并求此时△PQC的面积;
(4)△APQ能否成轴对称图形?
若能,请求出相应的t值,并写出其对称轴的函数关系式;若不能,请说明理由.
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=6,等边三角形DEF从初始位置(点E与点B重合,EF落在BC上,如图1所示)在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移,DE、DF分别与AB相交于点M、N.当点F运动到点C时,△DEF终止运动,此时点D恰好落在AB上,设△DEF平移的时间为x.
(1)求△DEF的边长;
(2)求M点、N点在BA上的移动速度;
(3)在△DEF开始运动的同时,如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE⇒EF运动,最终运动到F点.若设△PMN的面积为y,求y与x的函数关系式,写出它的取值范围;并说明当P点在何处时,△PMN的面积最大?
12.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(4,0)、(4,3),动点M、N分别从点O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动,其中点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动,过点N作NP⊥BC,交AC于点P,连接MP,当两动点运动了t秒时.
(1)P点的坐标为______(用含t的代数式表示)
(2)记△MPA的面积为S,求S与t的函数关系式(0<t<4);
(3)当t=____,S有最大值,最大值为_____.
(4)若点Q在y轴上,当S有最大值且△QAN为等腰三角形时,求直线AQ的解析式.
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动,动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动.P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.在运动过程中,△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ.设运动时间为t(秒).
(1)设四边形PCQD的面积为y,求y与t的函数关系式;
(2)t为何值时,四边形PQBA是梯形;
(3)是否存在时刻t,使得PD∥AB?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)通过观察、画图或折纸等方法,猜想是否存在时刻t,使得PD⊥AB?
若存在,请估计t的值在括号中的哪个时间段内(0≤t≤1;1<t≤2;2<t≤3;3<t≤4);若不存在,请简要说明理由.
14.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且12a+5c=0.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动.
①移动开始后第t秒时,设S=PQ2(cm2),试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取得最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.
15.如图:
正方形ABCO的边长为3,过A(0,3)点作直线AD交x轴于D点,且D点的坐标为(4,0),线段AD上有一动点,以每秒一个单位长度的速度移动.
(1)求直线AD的解析式;
(2)若动点从A点开始沿AD方向运动2.5秒时到达的位置为点P,求经过B、O、P三点的抛物线的解析式;
(3)若动点从A点开始沿AD方向运动到达的位置为点P1,过P1作P1E⊥x轴,垂足为E,设四边形BCEP1的面积为S,请问S是否有最大值?
若有,请求出P点坐标和S的最大值;若没有,请说明理由.
16.如图,抛物线y=-x2+2mx+m+2的图象与x轴交于A(-1,0),B两点,在x轴上方且平行于x轴的直线EF与抛物线交于E,F两点,E在F的左侧,过E,F分别作x轴的垂线,垂足是M,N.
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;
(2)设BN=t,矩形EMNF的周长为C,求C与t的函数表达式;
(3)当矩形EMNF的周长为10时,将△ENM沿EN翻折,点M落在坐标平面内的点记为M',试判断点M'是否在抛物线上?
并说明理由.
17.如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm.设P,Q分别为BD,BC上的动点,在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时,点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动,移动的速度均为1cm/s,设P,Q移动的时间为t(0<t≤4).
(1)写出△PBQ的面积S(cm2)与时间t(s)之间的函数表达式,当t为何值时,S有最大值,最大值是多少?
(2)当t为何值时,△PBQ为等腰三角形?
(3)△PBQ能否成为等边三角形?
若能,求t的值;若不能,说明理由.
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