212二次函数的图象和性质.docx
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212二次函数的图象和性质
21.2 二次函数y=ax2的图象和性质
(1)
教学目标:
1.会用描点法画出二次函数y=x2的图象,概括出图象的特点及函数的性质.
2.经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的
经验.
3.在利用图象讨论二次函数的性质时,让学生尽可能多地合作交流,以便使学生能够从多个角度看问题,进而比较准确地理解二次函数的性质.
重点难点:
重点:
根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.
难点:
能够作出二次函数y=2x2的图象,并能比较它与y=x2的图象的异同.
教学过程:
一、新课引入
我们在学习了正比例函数、一次函数定义后,研究了它们各自的图象特征,知道正比例
函数的图象是_______,一般的一次函数的图象是_______上节课我们学习了二次函
数的一般形式为________,那么它的图象是否也为直线呢?
本节课我们将一起来研究有
关问题.
二、讲授新课
小组活动一
【问题展示】
例1:
作二次函数y=x2的图象.
你知道画函数图象的一般步骤吗?
【合作探究】
描点法画函数y=x2的图象前,想一想,列表时如何合理选值?
以什么数为中心?
当x取互为相反数的值时,y的值如何?
【问题解答】
(1)列表:
┏━━━┳━━━┳━━━┳━━━┳━━━┳━━━┳━━━┳━━━┓
┃x┃-3┃-2┃-1┃0┃1┃2┃3┃
┣━━━╋━━━╋━━━╋━━━╋━━━╋━━━╋━━━╋━━━┫
┃y┃9┃4┃1┃0┃1┃4┃9┃
┗━━━┻━━━┻━━━┻━━━┻━━━┻━━━┻━━━┻━━━┛
(2)在直角坐标系中描点(略).
(3)用平滑的曲线连接各点,便得到函数y=x2的图象.
小组活动二
【问题展示】
例2:
观察二次函数y=x2的图象,描述性质,
【合作探究】
(1)图象的形状是什么?
交流并描述.
(2)图象是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是什么?
请你找出几对对称点,并交流.
(3)当x<0时,随着.x值的增大,y的值如何变化?
当x>0时呢?
(4)图象与x轴有交点吗?
如果有,交点坐标是什么?
(5)当T取什么值时,y的值最小?
最小值是什么?
你是如何知道的?
【问题解答】
(l)y=x2的图象是一条抛物线,并且开口方向向上.
(2)它是轴对称图形,对称轴是y轴.对称点为(2,4),(-2,4);(4,16),(-4,16)等.
(3)当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.
(4)图象与x轴有交点,这个交点也是对称轴与抛物线的交点,称为抛物线的顶点,同时也是图象的最低点,交点坐标为(0,0).
(5)因为图象有最低点,所以函数有最小值,当x=0时,y最小=0.
小组活动三
【问题展示】
例3:
(1)在同一平面直角坐标系下作出y=2x2和y=x2的图象.
(2)分析y=2x2的图象的性质.
【合作探究】
1.列表:
略
2.
(1)二次函数y=2x2的图象是什么形状?
(2)它与二次函数y=x2的图象有什么相同点和不同点?
(3)它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
【问题解答】
小组讨论,代表发言。
三、做一做
1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2与y=1/2x2的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?
又有什么区别?
2.在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较这两个函数的图象,你能发现什么?
3.将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么?
对于1,在学生画函数图象的同时,教师要指导中下水平的学生,讲评时,要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。
两个函数图象的共同点以及它们的区别,可分组讨论。
交流,让学生发表不同的意见,达成共识,两个函数的图象都是抛物线,都关于y轴对称,顶点坐标都是(0,0),区别在于函数y=x2的图象开口向上,函数y=-x2的图象开口向下。
对于2,教师要继续巡视,指导学生画函数图象,两个函数的图象的特点;教师可引导学生类比1得出。
对于3,教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论:
四个函数的图象都是抛物线,都关于y轴对称,它的顶点坐标都是(0,0).
四、归纳、概括
函数y=x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例,由函数y=x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2的图象的共同特点,可猜想:
函数y=ax2的图象是一条________,它关于______对称,它的顶点坐标是______。
如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质,应如何分类?
为什么?
让学生观察y=x2、y=2x2的图象,填空;
当a>0时,抛物线y=ax2开口______,在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称轴的右边,曲线自左向右______,______是抛物线上位置最低的点。
图象的这些特点反映了函数的什么性质?
先让学生观察下图,回答以下问题;
(1)XA、XB大小关系如何?
是否都小于0?
(2)yA、yB大小关系如何?
(3)XC、XD大小关系如何?
是否都大于0?
(4)yC、yD大小关系如何?
(XA 其次,让学生填空。 当X<0时,函数值y随着x的增大而______,当X>O时,函数值y随X的增大而______;当X=______时,函数值y=ax2(a>0)取得最小值,最小值y=______ 以上结论就是当a>0时,函数y=ax2的性质。 思考以下问题: 观察函数y=-x2、y=-2x2的图象,试作出类似的概括,当a 它反映了当a 让学生讨论、交流,达成共识,当a 图象的这些特点,反映了当a 五、课堂练习: P10练习1、2、3、4、5 六、小结: 1.如何画出函数y=ax2的图象? 2.函数y=ax2具有哪些性质? 六、作业布置 基础训练 七、个性化设计与课后反思: 21.2二次函数的图象和性质 第二课时 教学目标: 1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax2+b的图象。 2、让学生经历二次函数y=ax2+bx+c性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+b的性质及它与函数y=ax2的关系。 3、通过学生合作交流来解决问题,培养学生的合作交流能力. 重点难点: 1、会用描点法画出二次函数y=ax2+b的图象,理解二次函数y=ax2+b的性质,理解函数y=ax2+b与函数y=ax2的相互关系。 2、正确理解二次函数y=ax2+b的性质,理解抛物线y=ax2+b与抛物线y=ax2的关系是教学的难点。 教学过程: 一、提出问题 1.在同一直角坐标系内,画出二次函数y=- x2,y=- x2-1的图象,并回答: (1)两条抛物线的位置关系。 (2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。 (3)说出它们所具有的公共性质。 2.二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗? 这两个函数的图象之间有什么关系? 二、分析问题,解决问题 问题1: 你将用什么方法来研究上面提出的问题? (画出二次函数y=2(x-1)2和二次函数y=2x2的图象,并加以观察) 问题2: 你能在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2与y=2(x-1)2的图象吗? 教学要点 1.让学生完成下表填空。 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x2 y=2(x-1)2 2.让学生在直角坐标系中画出图来: 3.教师巡视、指导。 问题3: 现在你能回答前面提出的问题吗? 教学要点 1.教师引导学生观察画出的两个函数图象.根据所画出的图象,完成以下填空: 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x2 y=2(x-1)2 2.让学生分组讨论,交流合作,各组选派代表发表意见,达成共识: 函数y=2(x-1)2与y=2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同;函数y=2(x-1)2的图象可以看作是函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的,它的对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,0)。 问题4: 你可以由函数y=2x2的性质,得到函数y=2(x-1)2的性质吗? 教学要点 1.教师引导学生回顾二次函数y=2x2的性质,并观察二次函数y=2(x-1)2的图象; 2.让学生完成以下填空: 当x______时,函数值y随x的增大而减小;当x______时,函数值y随x的增大而增大;当x=______时,函数取得最______值y=______。 三、做一做 问题5: 你能在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图象,并比较它们的联系和区别吗? 教学要点 1.在学生画函数图象的同时,教师巡视、指导; 2.请两位同学上台板演,教师讲评; 3.让学生发表不同的意见,归结为: 函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图象开口方向相同,但顶点坐标和对称轴不同;函数y=2(x+1)2的图象可以看作是将函数y=2x2的图象向左平移1个单位得到的。 它的对称轴是直线x=-1,顶点坐标是(-1,0)。 问题6;你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2(x+1)2的性质吗? 教学要点 让学生讨论、交流,举手发言,达成共识: 当x<-1时,函数值y随x的增大而减小;当x>-1时,函数值y随x的增大而增大;当x=一1时,函数取得最小值,最小值y=0。 问题7: 在同一直角坐标系中,函数y=- (x+2)2图象与函数y=- x2的图象有何关系? (函数y=- (x+2)2的图象可以看作是将函数y=- x2的图象向左平移2个单位得到的。 ) 问题8: 你能说出函数y=- (x+2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? (函数y=- (x十2)2的图象开口向下,对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,0))。 问题9: 你能得到函数y= (x+2)2的性质吗? 教学要点 让学生讨论、交流,发表意见,归结为: 当x<-2时,函数值y随x的增大而增大; 当x>-2时,函数值y随工的增大而减小;当x=-2时,函数取得最大值,最大值y=0。 四、课堂练习: P12/13练习1、2、3 五、小结: 1.在同一直角坐标系中,函数y=a(x-h)2的图象与函数y=ax2的图象有什么联系和区别? 2.你能说出函数y=a(x-h)2图象的性质吗? 3.谈谈本节课的收获和体会。 六、作业布置 教材P15/16练习1、2、3、4、5 基础训练 七、个性化设计与课后反思: 21.2二次函数的图象和性质 第三课时 教学目标: 1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax2+b的图象。 2、让学生经历二次函数y=ax2+bx+c性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+b的性质及它与函数y
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