高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ23函数的奇偶性与周期性学案理.docx
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高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ23函数的奇偶性与周期性学案理
§2.3 函数的奇偶性与周期性
考纲展示►
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
考点1 函数奇偶性的判断
函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有________,那么函数f(x)就叫做偶函数
关于________对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有________,那么函数f(x)就叫做奇函数
关于________对称
答案:
f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x)
原点
[教材习题改编]函数f(x)=x3,f(x)=x4,f(x)=x2-
,f(x)=
+|x|中,偶函数的个数是__________.
答案:
2
解析:
f(x)=x4和f(x)=x2-
为偶函数.
判断函数奇偶性的易错点:
忽略定义域;变形错误.
(1)函数f(x)=(x+1)
在定义域上是________函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
答案:
非奇非偶
解析:
要使函数有意义,必须使
≥0,即
≤0,解得-1 (2)函数f(x)= 在定义域上是__________函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 答案: 奇 解析: 当x>1时,-x<-1,所以f(-x)=(-x)2-2=-(-x2+2)=-f(x); 当x<-1时,-x>1,所以f(-x)=-(-x)2+2=-(x2-2)=-f(x); 当|x|≤1时,f(-x)=0=-f(x). 综上可知f(x)是奇函数. [典题1] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xlg(x+ ); (2)f(x)=(1-x) ; (3)f(x)= (4)f(x)= . [解] (1)∵ >|x|≥0, ∴函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)=(-x)lg[-x+ ] =-xlg( -x)=xlg( +x)=f(x). 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)当且仅当 ≥0时函数有意义, ∴-1≤x<1, 由于定义域关于原点不对称, ∴函数f(x)是非奇非偶函数. (3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x), 当x<0时,-x>0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数. (4)∵ ⇒-2≤x≤2且x≠0, ∴函数的定义域关于原点对称. ∴f(x)= = , 又f(-x)= =- , ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数. [点石成金] 判定函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法: (2)图象法: (3)性质法: ①设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. ②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”. [提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的. (2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有对各段上的x都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性. 考点2 函数的周期性 函数的周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有________,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________的正数,那么这个________就叫做f(x)的最小正周期. 答案: (1)f(x+T)=f(x) (2)最小 最小正数 (1)[教材习题改编]已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈(0,1]时,f(x)=log4(x2+3),则f(2017)=__________. 答案: 1 解析: 因为f(x+2)=f(x),所以f(x)是以2为周期的周期函数,所以f(2017)=f(1008×2+1)=f (1)=log4(12+3)=1. (2)[教材习题改编]设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f =________. 答案: - 周期性三个常用结论. 对f(x)定义域内任一自变量的值x,最小正周期为T. (1)若f(x+a)=-f(x),则T=__________; (2)若f(x+a)= ,则T=__________; (3)若f(x+a)=f(x+b),则T=________. 答案: (1)2|a| (2)2|a| (3)|a-b| 解析: (1)因为f(x+2a)=f(x+a+a) =-f(x+a)=f(x), 所以其最小正周期T=2|a|. (2)因为f(x+2a)=f(x+a+a) = =f(x), 所以其最小正周期T=2|a|. (3)f(x+a-b)=f[(x-b)+a] =f[(x-b)+b]=f(x), 所以其最小正周期T=|a-b|. [典题2] (1)[2017·山西晋中模拟]已知f(x)是R上的奇函数,f (1)=2,且对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2017)=________. [答案] 2 [解析] ∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0, 又对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3), ∴当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0, ∴f(-3)=0,f(3)=0, ∴f(x+6)=f(x),周期为6. 故f(2017)=f (1)=2. (2)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. ①求函数的最小正周期; ②计算f(0)+f (1)+f (2)+…+f(2015). [解] ①∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)的最小正周期为4. ②f(0)=0,f (1)=1,f (2)=0, f(3)=f(-1)=-f (1)=-1. 又∵f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f (1)+f (2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0, ∴f(0)+f (1)+f (2)+…+f(2015)=0. [题点发散1] 若本例 (2)中条件变为“f(x+2)=- ”,求函数f(x)的最小正周期. 解: ∵对任意x∈R,都有f(x+2)=- , ∴f(x+4)=f(x+2+2)=- =- =f(x),∴f(x)的最小正周期为4. [题点发散2] 若本例 (2)中条件改为: 定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.求f (1)+f (2)+f(3)+…+f(2015)的值. 解: ∵f(x+6)=f(x),∴T=6. ∵当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3时,f(x)=x. ∴f (1)=1,f (2)=2,f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1, f(6)=f(0)=0, ∴f (1)+f (2)+…+f(6)=1, ∴f (1)+f (2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2005)+f(2006)+…+f(2010)=1, ∴f (1)+f (2)+…+f(2010)=1× =335. 而f(2011)+f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=f (1)+f (2)+f(3)+f(4)+f(5)=1+2-1+0-1=1. ∴f (1)+f (2)+…+f(2015)=335+1=336. [题点发散3] 在本例 (2)条件下,求f(x)(x∈[2,4])的解析式. 解: 当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2], 由已知得f(-x)=2×(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2. ∴f(x)=x2+2x. 又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 故x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. [点石成金] 1.判断函数周期性的两种方法 (1)定义法. (2)图象法. 2.判断函数周期性的三个常用结论 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有: (1)f(x+a)=-f(x)(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2a是它的一个周期. (2)f(x+a)= (a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2a是它的一个周期. (3)f(x+a)=- (a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2a是它的一个周期. 3.函数周期性的重要应用 利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,进而求解. 1.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( ) A.6B.7 C.8D.9 答案: B 解析: ∵f(x)是最小正周期为2的周期函数,且0≤x<2时,f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1), ∴当0≤x<2时,f(x)=0有两个根,即x1=0,x2=1. 由周期函数的性质知,当2≤x<4时,f(x)=0有两个根,即x3=2,x4=3; 当4≤x≤6时,f(x)=0有两个根,即x5=4,x6=5,x7=6也是f(x)=0的根. 故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7. 2.[2017·广东广州模拟]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=-f(x),当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=________. 答案: 2.5 解析: 由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5. 考点3 函数性质的综合应用 (1)[教材习题改编]若f(x)是偶函数且在(0,+∞)上为增函数,则函数f(x)在(-∞,0)上为________. 答案: 减函数 (2)[教材习题改编]设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,则满足f(x)>0的x的取值范围是________. 答案: (-1,0)∪(1,+∞) [考情聚焦] 高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合来命题,以选择题或填空题的形式考查,难度稍大,为中高档题. 主要有以下几个命题角度: 角度一 奇偶性的应用 [典题3] (1)[2017·河北武邑中学高三上期中]已知f(x)满足对∀x∈R,f(-x)+f(x)=0,且x≥0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln5)的值为( ) A.4B.-4 C.6D.-6
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- 高考 数学 一轮 复习 第二 函数 概念 基本 初等 23 奇偶性 周期 性学