全等三角形新课.docx
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全等三角形新课
§13.1全等三角形
一、知识探究:
知识要点
(一)全等三角形
1.全等形:
的两个图形叫做全等形.全等形的形状,大小.
2.全等三角形:
的两个三角形叫做全等三角形.
3.全等的符号表示:
“≌”读作“全等于”,如图,△ABC全等于△DEF,
记作.
4.对应元素:
对应顶点:
当两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点.如:
和,和,和.
对应边:
当两个三角形全等时,互相重合的边叫做对应边.如:
和,和,和.
对应角:
当两个三角形全等时,互相重合的角叫做对应角.如:
和,和,和.
知识要点
(二)全等三角形的性质
(1)全等三角形的;
(2)全等三角形的;
二、经典例题:
例1.如图1,把△ABC沿直线BC平移,得到△DEF,
如图2,把△ABC沿直线BC翻折180°,得到△DBC,
如图3,把△ABC绕点A旋转180°,得到△AED,
各图中的两个三角形全等吗?
如果全等,请指出对应元素.
例2.
(1)如图:
△ABC≌△DEF,AB∥DE,AC∥DF,EF=20cm,EC=8cm,
那么,△DEF是将△ABC沿着直线BF平移cm后得到的.
(2)如图:
△AOB≌△COD,∠AOB=95°,∠BOC=60°,则∠AOC=,
∠BOD=,△COD可以看成是将△AOB绕点O时针旋转度得到的.
例3.如图,一张长方形纸片ABCD,将它的一角沿GF翻折,使得点C落在点E处,作∠EFB的平分线FH,试判断FH与FG的位置关系,并进行证明.
例4.已知:
如图,等边三角形ABC.
请你分别将它分成两个全等三角形,三个全等三角形,四个全等三角形.
例5.
(1)如图,A、D、C、F四点共线,且△ABC≌△DEF,
求证:
AB∥DE,BC∥EF
(2)如图,△ABC≌△ADE,∠ACB=120°,∠D=28°,∠CAD=28°,
求∠EFD和∠EAB的度数.
三、反馈练习:
1.下列图形是常见的全等三角形的基本图形,请你数出每个图形中分别有几对全等三角形,并指出对应元素.
小结:
你是怎样区分对应元素的?
2.△EFG≌△NMH,EF=2.1cm,EH=1.1cm,HN=3.3cm,
(1)求证:
EF∥NM
(2)求线段NM和HG的长.
3.有公共边的两个全等三角形,分别位于公共边两侧,沿着公共边所在的直线进行折叠,这两个三角形一定能重合吗?
请画图加以说明.
§13.2三角形全等的条件
(1)----SSS、SAS
一、知识探究:
1.议一议:
科技小组的同学们在一次活动中,不小心将一块三角形形状的玻璃摔成如图所示的三块,他们决定去玻璃店配一块同样形状、大小的玻璃.应该怎么办呢?
甲说:
“应该带A去.”
乙说:
“应该带B去.”
丙说:
“应该带C去.”
丁说:
“应该把A、B、C都带去.”
他们谁说的有道理?
你还有其他办法吗?
2.你认为要想得到一个与原三角形全等的三角形,至少要知道几个条件?
哪几个条件?
情况一:
知道其中一个元素
(1)知道一角
(2)知道一边
情况二:
知道其中两个元素
(1)知道两角
(2)知道两边(3)知道一边一角
情况三:
知道其中三个元素
(1)知道三个角
(2)知道三条边(3)知道两角及夹边
(4)知道两角及一角对边(5)知道两边及夹角(6)知道两边及一边对角
知识要点:
判定两个三角形全等的方法
1.边边边公理:
,简记为.
2.边角边公理:
,简记为.
3.角边角公理:
,简记为.
4.角角边定理:
,简记为.
图1图2图3图4
符号语言:
二、经典例题:
例1.
(1)已知三条线段a、b、c,请你分别以a、b、c为三边作三角形.
(2)先画一个△ABC,再画出一个△DEF,使AB=DE,AC=DF,∠A=∠D.
例2.如图,AB=AC,AE=AD,BD=CE,
(1)求证:
△AEB≌△ADC(你能用两种方法证明吗?
)
(2)求证:
∠AEB=∠ADC(你能用两种方法证明吗?
)
例3.如图,AE=AC,AB=AD,∠BAE=∠DAC,
(1)求证:
△AEB≌△ADC(你能用两种方法证明吗?
)
(2)求证:
∠E=∠C
(3)若DE=5cm,求BC的长.
例4.已知AB=CD,AE=CF,点B,E,F,D在一条直线上,
(1)要用“边边边”证明△ABE≌△CDF,还应该有什么的条件?
有几种添加方法?
(2)要用“边角边”证明△ABE≌△CDF,还应该有什么的条件?
三、反馈练习:
1.如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架.
求证:
△ABD≌△ACD
2.已知:
如图,AOD和BOC都是直线,OA=OC,OB=OD,AB=6cm,
求CD的长.
3.已知:
如图,BD=CA,CD=BA,∠ABC=40°,∠ACB=60°,
求∠D和∠ACD的度数.
4.工人师傅常用角尺平分一个任意角。
做法如下:
如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合。
过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线。
你知道为什么吗?
5.已知:
如图,AE=AC,AD=AB,
(1)求证:
△ADE≌△ABC.
(2)用ASA证明△BEF≌△DCF.
(3)求证:
AF平分∠EAC.
6.请你利用SAS可以证明两个三角形全等的知识,设计一个
可以测量池塘宽的方案.
作业:
1.
(1)请你自己设计一道题并解答,要求:
要用到SSS公理及全等三角形的性质.
(2)请你自己设计一道题并解答,要求:
要用到SAS公理及全等三角形的性质.
2.请画图说明
(1)SSA不能证明两个三角形全等.
(2)两角及一边对应相等的两个三角形不一定全等.
§13.2三角形全等的条件
(2)----ASA、AAS
一、经典例题:
例1.已知:
如图,∠ADB=∠ADC,AD平分∠BAC.
求证:
BD=CD,∠B=∠D.
例2.已知:
如图,∠BAE=∠DAC,∠B=∠D,AC=AE.
求证:
BC=DE,∠C=∠E.
二、反馈练习:
1.已知:
如图,AB∥CD,BF=DE,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F.
求证:
∠A=∠C.
2.已知:
如图,AD是△ABC中BC边上的中线,BE⊥AD交AD的延长线于E,
CF⊥AD于F.BE=10cm.
求CF的长.
§13.2三角形全等的条件(3)----HL
一、知识探究:
直角三角形全等的判定:
1.可以用前面的四种判定方法:
、、、.
2.特别的,的两个直角三角形全等.简记为.
符号语言:
二、经典例题:
例1.已知,如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D.
求证:
∠BAD=∠CAD,BD=CD.
例2.已知:
如图,AB⊥BD于B,ED⊥BD于D,AB=CD,AC=CE.
试判断AC与CE的位置关系,并进行证明.
三、反馈练习:
1.已知:
如图,∠B=∠D=90°,AE=AC,AD=AB.
求证:
∠BAE=∠DAC.
2.已知:
如图,正方形ABCD,E是CD边上一点,F是CB延长线上一点,
且满足AE=AF.
试判断AF与AE的位置关系,并进行证明.
§13.2三角形全等的条件(4)----二次全等
一、经典例题:
例1.已知:
如图,AC=AB,DC=DB.
(1)求证:
AD平分∠CAB
(2)求证:
CE=BE.
例2.已知:
如图,AD=BC,AB=CD,过BD中点O作直线交AD、BC于E、F.
求证:
O是EF的中点.
二、反馈练习:
1.已知:
如图,点O既是AB中点,又是CD中点,EF过点O.
求证:
O也是EF中点.
2.已知:
如图,AE=AC,∠E=∠C.
求证:
OE=OC.
§13.2三角形全等的条件(5)----开放题
一、经典例题:
例1.已知:
如图,要证明△ABC≌△ABD,已具备的条件是,
还需补充的条件是、()
或、()
或、()
或、()
或、()
或、()
例2.如图,在△ABC和△DEF中,A、B、C、D四点共线,有下面四个论断:
(1)AB=DE,
(2)AF=DC,(3)∠B=∠E,(4)AB∥DE,请用其中三个作为条件,
余下的一个作为结论,编一道数学题,并写出解答过程.
二、反馈练习:
1.已知:
如图,AB=DC,∠B=∠C,请你再添加一个条件,使得
△ABE≌△DCF,并完成证明.
2.已知:
如图,在平行四边形ABCD中(提示:
平行四边形对边平行且相等),
AE=CF,请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,
猜想它和图中已有的那条线段相等,并进行证明.
(1)连线:
(2)猜想:
(1)证明:
§13.2三角形全等的条件(6)----添加辅助线
一、经典例题:
例1.已知:
如图AB=CD,AD=BC.
求证:
∠A=∠C.
例2.已知:
如图AB=AD,CB=CD,
(1)求证:
∠B=∠D.
(2)若E、F分别是AB、AD的中点,
试猜想CE与CF的大小关系并证明.
二、反馈练习:
1.已知:
如图,△ABC中,∠B=∠C.
求证:
AB=AC
2.已知:
如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB.
求证:
∠ABC=∠CDA,∠BAD=∠DCB.
§13.3角平分线的性质
一、知识探究:
知识要点
(一)角平分线的尺规作图
已知:
如图,∠AOB.
(1)求作:
∠AOB的平分线OC.
(2)在射线OC上任取点E(不与点O重合),过点E分别作EM⊥OA于M,
EN⊥OB于N,试猜想EM与EN的数量关系,并进行证明.
(3)联结MN,试判断MN与OC的位置关系,并进行证明.
知识要点
(二)角平分线的性质:
1.定理:
角平分线上的点.
符号语言:
2.逆定理:
.
符号语言:
二、经典例题:
例1.填空:
(1)已知:
如图,OC平分∠AOB,DE⊥OA于E,
DF⊥OB于F,若DE=5cm,则DF=.
(2)已知:
如图,DE⊥OA于E,DF⊥OB于F,且DE=DF,
若∠AOC=25°,则∠AOB=.
例2.已知:
如图,△ABC中,两条角平分线BD、CE交于点O.
求证:
点O到△ABC三边距离都相等.
拓展:
1.已知:
如图,△ABC的内条角平分线BD与一个外角的
平分线CE交于点O.
求证:
点O到△ABC三边所在直线距离都相等.
2.已知:
如图,△ABC的两个外角的平分线AD、CE交于点O.
求证:
点O到△ABC三边所在直线距离都相等.
小结:
到三角形三边距离相等的点有个,是的交点.
到三角形三边所在直线距离相等的点有个,是的交点.
例3.已知:
如图,△ABC.
求作:
点P,使得P到△ABC三边距离都相等(不写作法).
三、反馈练习:
1.已知:
如图,△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,
DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
求证:
AB=AC
2.已知:
如图,OC平分∠AOB,DE⊥OA于E,DF⊥OB于F,G是OC上
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