离散数学课后习题.docx
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离散数学课后习题
一、选择或填空
(数理逻辑部分)
1、下列哪些公式为永真蕴含式?
( )
(1)
Q=>Q→P
(2)
Q=>P→Q(3)P=>P→Q(4)
P
(P
Q)=>
P
答:
(1),(4)
2、下列公式中哪些是永真式?
()
(1)(┐P
Q)→(Q→
R)
(2)P→(Q→Q)(3)(P
Q)→P(4)P→(P
Q)
答:
(2),(3),(4)
3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?
()
(1)P=>P
Q
(2)P
Q=>P(3)P
Q=>P
Q
(4)P
(P→Q)=>Q(5)
(P→Q)=>P(6)
P
(P
Q)=>
P
答:
(2),(3),(4),(5),(6)
4、公式x((A(x)B(y,x))zC(y,z))D(x)中,自由变元是(),约束变元是()。
答:
x,y,x,z
5、判断下列语句是不是命题。
若是,给出命题的真值。
()
(1)是中华人民国的首都。
(2)师大是一座工厂。
(3)你喜欢唱歌吗?
(4)若7+8>18,则三角形有4条边。
(5)前进!
(6)给我一杯水吧!
答:
(1)是,T
(2)是,F(3)不是
(4)是,T(5)不是(6)不是
6、命题“存在一些人是大学生”的否定是(),而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答:
所有人都不是大学生,有些人不会死
7、设P:
我生病,Q:
我去学校,则下列命题可符号化为()。
(1) 只有在生病时,我才不去学校
(2)若我生病,则我不去学校
(3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4)若我不生病,则我一定去学校
答:
(1)
(2)
(3)
(4)
8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是()。
(1)xy(x+y=0)
(2)yx(x+y=0)
答:
(1)对任一整数x存在整数y满足x+y=0
(2)存在整数y对任一整数x满足x+y=0
9、设全体域D是正整数集合,确定下列命题的真值:
(1)xy(xy=y) ( )
(2)xy(x+y=y) ( )
(3)xy(x+y=x) ( ) (4)xy(y=2x) ( )
答:
(1)F
(2)F(3)F(4)T
11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是()。
答:
2不是偶数且-3不是负数。
12、永真式的否定是()
(1)永真式
(2)永假式 (3)可满足式 (4)
(1)--(3)均有可能
答:
(2)
13、公式(
P
Q)
(
P
Q)化简为(),公式Q
(P
(P
Q))可化简为()。
答:
P,Q
P
15、令R(x):
x是实数,Q(x):
x是有理数。
则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为()。
答:
x(R(x)
Q(x))
(二元关系部分)
28、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉|x=y2},求
(1)R
(2)R-1。
答:
(1)R={<1,1>,<4,2>}
(2)R
={<1,1>,<2,4>}
29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。
( )
答:
A上的恒等关系
30、集合A上的等价关系的三个性质是什么?
()
答:
自反性、对称性和传递性
31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么?
()
答:
自反性、反对称性和传递性
32、设S={1,2,3,4},A上的关系R={〈1,2〉,〈2,1〉,〈2,3〉,〈3,4〉}
求
(1)R
R
(2)R-1。
答:
R
R={〈1,1〉,〈1,3〉,〈2,2〉,〈2,4〉}
R-1={〈2,1〉,〈1,2〉,〈3,2〉,〈4,3〉}
33、设A={1,2,3,4,5,6},R是A上的整除关系,求R={( )}。
答:
R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,
<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}
34、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉|x=2y},求
(1)R
(2)R-1。
答:
(1)R={<1,1>,<4,2>,<6,3>}
(2)R
={<1,1>,<2,4>,(3,6>}
35、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉|x=y2},求R和R-1的关系矩阵。
答:
R的关系矩阵=
R
的关系矩阵=
36、集合A={1,2,…,10}上的关系R={
A},则R的性质为()。
(1)自反的
(2)对称的 (3)传递的,对称的(4)传递的
答:
(2)
(代数结构部分)
37、设A={2,4,6},A上的二元运算*定义为:
a*b=max{a,b},则在独异点中,单位元是(),零元是()。
答:
2,6
38、设A={3,6,9},A上的二元运算*定义为:
a*b=min{a,b},则在独异点中,单位元是(),零元是();
答:
9,3
(半群与群部分)
39、设〈G,*〉是一个群,则
(1)若a,b,x∈G,a
x=b,则x=();
(2)若a,b,x∈G,a
x=a
b,则x=()。
答:
(1)a
b
(2)b
40、设a是12阶群的生成元,则a2是()阶元素,a3是()阶元素。
答:
6,4
41、代数系统
答:
单位元
42、设a是10阶群的生成元,则a4是()阶元素,a3是()阶元素。
答:
5,10
43、群
答:
单位元,1
44、素数阶群一定是()群,它的生成元是()。
答:
循环群,任一非单位元
45、设〈G,*〉是一个群,a,b,c∈G,则
(1)若c
a=b,则c=();
(2)若c
a=b
a,则c=()。
答:
(1)b
(2)b
46、 >是 >的子群的充分必要条件是()。 答: >是群或a,b G,a b H,a-1 H或a,b G,a b-1 H 47、群<A,*>的等幂元有( )个,是( ),零元有( )个。 答: 1,单位元,0 48、在一个群〈G,*〉中,若G中的元素a的阶是k,则a-1的阶是()。 答: k 49、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的? () (1)a*b=a-b (2)a*b=max{a,b} (3)a*b=a+2b (4)a*b=|a-b| 答: (2) 50、任意一个具有2个或以上元的半群,它()。 (1)不可能是群 (2)不一定是群 (3)一定是群 (4)是交换群 答: (1) 51、6阶有限群的任何子群一定不是()。 (1)2阶 (2)3阶(3)4阶 (4)6阶 答: (3) (数理逻辑部分) 二、求下列各公式的主析取式和主合取式: 1、(P→Q) R 解: (P→Q) R ( P Q) R ( P R) (Q R)(析取式) ( P (Q Q) R) (( P P) Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R)(主析取式) ((P→Q) R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)(原公式否定的主析取式) (P→Q) R (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)(主合取式) 2、(P R) (Q R) P 解: (P R) (Q R) P(析取式) (P (Q Q) R) ((P P) Q R) ( P (Q Q) (R R)) (P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)(主析取式) ((P R) (Q R) P) (P Q R) (P Q R)(原公式否定的主析取式) (P R) (Q R) P ( P Q R) ( P Q R)(主合取式) 3、( P→Q) (R P) 解: ( P→Q) (R P) (P Q) (R P)(合取式) (P Q (R R)) (P (Q Q)) R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)(主合取式) (( P→Q) (R P)) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)(原公式否定的主合取式) ( P→Q) (R P) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (主析取式) 4、Q→(P R) 解: Q→(P R) Q P R(主合取式) (Q→(P R)) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)(原公式否定的主合取式) Q→(P R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)(主析取式) 5、P→(P (Q→P)) 解: P→(P (Q→P)) P (P ( Q P)) P P T(主合取式) ( P Q) ( P Q) (P Q) (P Q)(主析取式) 6、 (P→Q) (R P) 解: (P→Q) (R P) ( P Q) (R P) (P Q) (R P)(析取式) (P Q (R R)) (P ( Q Q) R) (P Q R) (P Q R) (P
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