小学三年级数学练习与思考3.docx
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小学三年级数学练习与思考3
做应用题是一种很好的思维锻炼.做应用题不但要会算,而且要多思考,善于发现题目中的数量关系,可以说做应用题是运用数学的开始.
加、减、乘是最基本的运算,和、差、倍数是两数之间最简单的数量关系.应用题的训练,就从这
一、和差问题
说到“和差问题”,小学高年级的同学,人人都会说:
“我会!
”和差问题的计算太简单了.是的,知道两个数的和与差,求两数,有计算公式:
大数=(和+差)÷2
小数=(和-差)÷2
会算,还要会灵活运用,要把某些应用题转化成和差问题来算.
先看几个简单的例子.
例1张明在期末考试时,语文、数学两门功课的平均得分是95分,数学比语文多得8分,张明这两门功课的成绩各是多少分?
解:
95乘以2,就是数学与语文两门得分之和,又知道数学与语文得分之差是8.因此
数学得分=(95×2+8)÷2=99.
语文得分=(95×2-8)÷2=91.
答:
张明数学得99分,语文得91分.
注:
也可以从95×2-99=91求出语文得分.
例2有A,B,C三个数,A加B等于252,B加C等于197,C加A等于149,求这三个数.
解:
从B+C=197与A+C=149,就知道B与A的差是197-149,题目又告诉我们,B与A之和是252.因此
B=(252+197-149)÷2=150,
A=252-150=102,
C=149-102=47.
答:
A,B,C三数分别是102,150,47.
注:
还有一种更简单的方法
(A+B)+(B+C)+(C+A)=2×(A+B+C).
上面式子说明,三数相加再除以2,就是三数之和.
A+B+C=(252+197+149)÷2=299.因此
C=299-252=47,
B=299-149=150,
A=299-197=102.
例3甲、乙两筐共装苹果75千克,从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里,甲筐苹果还比乙筐多7千克.甲、乙两筐原各有苹果多少千克?
解:
画一张简单的示意图,
就可以看出,原来甲筐苹果比乙筐多
5+7+5=17(千克)
因此,甲、乙两数之和是75,差为17.
甲筐苹果数=(75+17)÷2=46(千克).
乙筐苹果数=75-46=29(千克).
答:
原来甲筐有苹果46千克,乙筐有苹果29千克.
例4张强用270元买了一件外衣,一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140元,买外衣和鞋比帽子多花210元,张强买这双鞋花多少钱?
解:
我们先把外衣和鞋看成一件东西,它与帽子的价格和是270元,差是210元.
外衣和鞋价之和=(270+210)÷2=240(元).
外衣价与鞋价之差是140,因此
鞋价=(240-140)÷2=50(元).
答:
买这双鞋花50元.
再举出三个较复杂的例子.如果你也能像下面的解答那样计算,那么就可以说,“和差问题”的解法,你已能灵活运用了.
例5李叔叔要在下午3点钟上班,他估计快到上班时间了,到屋里看钟,可是钟早在12点10分就停了.他开足发条却忘了拨指针,匆匆离家,到工厂一看钟,离上班时间还有10分钟.夜里11点下班,李叔叔马上离厂回到家里,一看钟才9点整.假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同,那么他家的钟停了多少时间(上发条所用时间忽略不计)?
解:
到厂时看钟是2点50分,离家看钟是12点10分,相差2小时40分,这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的.就有
钟停的时间+路上用的时间=160(分钟).
晚上下班时,厂里钟是11点,到家看钟是9点,相差2小时.这是由于钟停的时间中,有一部分时间,被回家路上所用时间抵消了.
因此
钟停的时间-路上用的时间=120(分钟).
现在已把问题转化成标准的和差问题了.
钟停的时间=(160+120)÷2=140(分钟).
路上用的时间=160-140=20(分钟).
答:
李叔叔的钟停了2小时20分.
还有一种解法,可以很快算出李叔叔路上所用时间:
以李叔叔家的钟计算,他在12点10分出门,晚上9点到家,在外共8小时50分钟,其中8小时上班,10分钟等待上班,剩下的时间就是他上班来回共用的时间,所以
上班路上所用时间=(8小时50分钟-8小时-10分钟)÷2=20(分钟).
钟停时间=2小时40分钟-20分钟
=2小时20分钟.
例6小明用21.4元去买两种贺卡,甲卡每张1.5元,乙卡每张0.7元,钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数,把乙卡张数算作甲卡张数,要找还小明3.2元.问小明买甲、乙卡各几张?
解:
甲卡与乙卡每张相差1.5-0.7=0.8(元),售货员错找还小明3.2元,就知小明买的甲卡比乙卡多3.2÷0.8=4(张).
现在已有两种卡张数之差,只要求出两种卡张数之和问题就解决了.如何求呢?
请注意
1.5×甲卡张数+0.7×乙卡张数=21.4.
1.5×乙卡张数+0.7×甲卡张数=21.4-3.2.
从上面两个算式可以看出,两种卡张数之和是
[21.4+(21.4-3.2)]÷(1.5+0.7)=18(张).
因此,甲卡张数是
(18+4)÷2=11(张).
乙卡张数是18-11=7(张).
答:
小明买甲卡11张、乙卡7张.
注:
此题还可用鸡兔同笼方法做,请见下一讲.
例7有两个一样大小的长方形,拼合成两种大长方形,如右图.大长方形(A)的周长是240厘米,大长形(B)的周长是258厘米,求原长方形的长与宽各为多少厘米?
解:
大长方形(A)的周长是原长方形的
长×2+宽×4.
大长方形(B)的周长是原长方形的
长×4+宽×2.
因此,240+258是原长方形的
长×6+宽×6.
原长方形的长与宽之和是
(240+258)÷6=83(厘米).
原长方形的长与宽之差是
(258-240)÷2=9(厘米).
因此,原长方形的长与宽是
长:
(83+9)÷2=46(厘米).
宽:
(83-9)÷2=37(厘米).
答:
原长方形的长是46厘米、宽是37厘米
二、倍数问题
当知道了两个数的和或者差,又知道这两个数之间的倍数关系,就能立即求出这两个数.小学算术中常见的“年龄问题”是这类问题的典型.先看几个基础性的例子.
例8有两堆棋子,第一堆有87个,第二堆有69个.那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆,就能使第二堆棋子数是第一堆的3倍.
解:
两堆棋子共有87+69=156(个).
为了使第二堆棋子数是第一堆的3倍,就要把156个棋子分成1+3=4(份),即每份有棋子
156÷(1+3)=39(个).
第一堆应留下棋子39个,其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是
87-39=48(个).
答:
应从第一堆拿48个棋子到第二堆去.
例9有两层书架,共有书173本.从第一层拿走38本书后,第二层的书比第一层的2倍还多6本.问第二层有多少本书?
解:
我们画出下列示意图:
我们把第一层(拿走38本后)余下的书算作1“份”,那么第二层的书是2份还多6本.再去掉这6本,即
173-38-6=129(本)
恰好是3份,每一份是
129÷3=43(本).
因此,第二层的书共有
43×2+6=92(本).
答:
书架的第二层有92本书.
说明:
我们先设立“1份”,使计算有了很方便的计算单位.这是解应用题常用的方法,特别对倍数问题极为有效.把份数表示在示意图上,更是一目了然.
例10某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人,全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人.问全校有男、女生各多少人?
解:
设六年级学生人数是“1份”.
男生是4份-23人.
女生是3份+11人.
全校是7份-(23-11)人.
每份是(975+12)÷7=141(人).
男生人数=141×4-23=541(人).
女生人数=975-541=434(人).
答:
有男生541人、女生434人.
例9与例10是一个类型的问题,但稍有差别.请读者想一想,“差别”在哪里?
70双皮鞋.此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2倍.问原来两种鞋各有几双?
解:
为了计算方便,把原来旅游鞋算作4份,售出1份,还有3份.那么原有皮鞋增加70双后将是3×2=6(份).400+70将是3+1+6=10(份).每份是
(400+70)÷10=47(双).
原有旅游鞋47×4=188(双).
原有皮鞋47×6-70=212(双).
答:
原有旅游鞋188双,皮鞋212双.
设整数的份数,使计算简单方便.小学算术中小数、分数尽可能整数化,使思考、计算都较简捷.因此,“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中.
下面例子将是本节的主要内容──年龄问题.
年龄问题是小学算术中常见的一类问题,这类题目中常常有“倍数”这一条件.解年龄问题最关键的一点是:
两个人的年龄差总保持不变.
例12父亲现年50岁,女儿现年14岁.问几年前,父亲的年龄是女儿年龄的5倍?
解:
父女相差36岁,这个差是不变的.几年前还是相差36岁.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时,父亲仍比女儿大36岁.这36岁是女儿年龄的(5-1)倍.
36÷(5-1)=9.
当时女儿是9岁,14-9=5,也就是5年前.
答:
5年前,父亲年龄是女儿年龄的5倍.
例13有大、小两个水池,大水池里已有水300立方米.小水池里已有水70立方米.现在往两个水池里注入同样多的水后,大水池水量是小水池水量的3倍.问每个水池注入了多少立方米的水.
解:
画出下面示意图:
我们把小水池注入水后的水量算作1份,大水池注入水后的水量就是3份.从图上可以看出,因为注入两个水池的水量相等,所以大水池比小水池多的水量(300-70)是2份.
因此每份是
(300-70)÷2=115(立方米).
要注入的水量是
115-70=45(立方米)·
答:
每个水池要注入45立方米的水.
例13与年龄问题是完全一样的问题.“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”.
例14今年哥俩的岁数加起来是55岁.曾经有一年,哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同,那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁?
解:
当哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍时,我们设那时弟弟的岁数是1份,哥哥的岁数是2份,那么哥哥与弟弟的岁数之差是1份.两人的岁数之差是不会变的,今年他们的年龄仍相差1份.
题目又告诉我们,那时哥哥岁数,与今年弟弟的岁数相同,因此今年弟弟的岁数也是2份,而哥哥今年的岁数应是2+1=3(份).
今年,哥弟俩年龄之和是
3+2=5(份).
每份是55÷5=11(岁).
哥哥今年的岁数是11×3=33(岁).
答:
哥哥今年33岁.
作为本节最后一个例子,我们将年龄问题进行一点变化.
例15父年38岁,母年36岁,儿子年龄为11岁.
问多少年后,父母年龄之和是儿子年龄的4倍?
解:
现在父母年龄之和是
38+36=74.
现在儿子年龄的4倍是11×4=44.相差
74-44=30.
从4倍来考虑,以后每年长1×4=4,
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