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高中数学必修一至必修五知识点总结完整版
高中数学必修1知识点总结
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义:
某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性
说明:
(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:
{„}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2(集合的表示方法:
列举法与描述法。
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于”属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:
a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a?
A,相反,a不属于集合A记作
列举法:
把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号含有有限个元素的集合
(2)(无限集含有无限个元素的集合
(3)(空集不含任何元素的集合例:
{x|x2=,5,
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2(“相等”关系(5?
5,且5?
5,则5=5)
-1-
实例:
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论:
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:
A=B
任何一个集合是它本身的子集。
?
真子集:
如果且那就说集合A是集合B的真子集,记作或
?
如果那么
?
如果同时那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1(交集的定义:
一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集(
记作A?
B(读作”A交B”),即A?
B={x|x?
A,且x?
B}(
2、并集的定义:
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。
记作:
A?
B(读作”A并B”),即A?
B={x|x?
A,或x?
B}(
3、交集与并集的性质:
A?
A=A,A?
φ=φ,A?
B=B?
A,A?
A=A,A?
φ=A,A?
B=B?
A.
4、全集与补集
,由S中所有不属于
(1)补集:
设S是一个集合,A是S的一个子集(即)
A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
(2)全集:
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
四、函数的有关概念
1(函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A?
B为从集合A到集合B的一个函数(记作:
y=f(x),x?
A(其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x?
A}叫做函数的值域(注意:
如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式(
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数
-2-
不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意:
求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)
构成函数的三要素:
定义域、对应关系和值域
注意:
(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域(由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法:
?
表达式相同;?
定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
3.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x?
A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x?
A)的图象(集合C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x
?
A},图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2)画法
A、描点法:
根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。
提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4(了解区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示(
5(什么叫做映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,
-3-
那么就称对应f:
A?
B为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f:
A?
B”给定一个集合A到B的映射,如果a?
A,b?
B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明:
函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,?
集合A、B及对应法则f是确定的;?
对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;?
对于映射f:
A?
B来说,则应满足:
(?
)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(?
)集
合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(?
)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点:
1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2解析法:
必须注明函数的定义域;3图象法:
描点法作图要注意:
确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4列表法:
选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征(解析法:
便于算出函数值。
列表法:
便于查出函数值。
图象法:
便于量出函数值.
补充一:
分段函数(参见课本P24-25)
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况(
(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集(
补充二:
复合函数
M),u=g(x),(x?
A),则y=f[g(x)]=F(x),(x?
A)称为f、g的复如果y=f(u),(u?
合函数。
例如:
y=2sinxy=2cos(2x+1)
7(函数单调性
(1)(增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a,b,当a<b时,都有f(a)<f(b),那么就说f(x)在区间D上是增函数。
区间D称为y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念)
如果对于区间D上的任意两个自变量的值a,b,当a<b时,都有f(a),f(b),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:
1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;2必须是对于区间D内的任意两个自变量a,b;当a<b时,总有f(a)<f(b)。
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
-4-
(A)定义法:
任取a,b?
D,且a<b;2作差f(a),f(b);3变形(通常是因式分解和配方);4定号(即判断差f(a),f(b)的正负);5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)(
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关
注意:
1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗,
8(函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域
(2)、利
-5-
用图象求函数的最大(小)值(3)、利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
,那么x叫做a的n次方根(nthroot),1(根式的概念:
一般地,如果
其中n>1,且n?
N*(
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数(此时,a的n次方根用符号a表示(式子a叫做根式(radical),这里n叫做根指数(radicalexponent),a叫做被开方数(radicand)(
当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数(此时,正数a的正的n次方根用符号a表示,负的n次方根用符号,a表示(正的n次方根与负的n次方根可以合并成?
a(a>0)(由此可得:
负数没有偶次方根;0的任何次方根
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