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窗函数设计原理
利用窗函数法设计FIR滤波器
一.要求
用窗函数法设计线性相位FIR低通滤波器,通带截止频率0.5,阻带频率0.9,通带允许的最大衰减5dB,阻带衰减不小于40dB。
二.设计原理
1.线性相位FIR数字滤波器
对于长度为N的h(n),频率响应函数为
式中,
称为相位特性;
为相位特性
注意,这里
不用于|
|,
为w的实函数,可能取负值,而|
|总是正值。
线性相位FIR滤波器是指
是w的线性函数,即
为常数①
如果满足下式:
是起始相位②
严格地说,此时不具有线性相位特性,但以上两情况都满足群延时是一个常数,即
也称这种情况为线性相位。
一般称满足①式是第一类线性相位;满足②式为第二类线性相位。
是第二类线性相位特性常用的情况。
2.窗函数设计原理
设数字滤波器的传输函数为
是与其对应的单位脉冲响应,
为系统函数。
①
②
③
一般说来,
是无限长的,需要求对
的一个逼近。
采用窗函数设计法时,可通过对理想滤波器的单位采样响应加窗设计滤波器
④
其中,
是一个长度有限的窗,在区间0≤n≤N外值为0,且关于中间点对称
⑤
频率响应根据式3-5,由卷积定理得出
⑥
理想的频率响应被窗函数的离散时间傅立叶变换
“平滑”了。
采用窗函数设计法设计出来的滤波器的频率响应对理想响应
的逼近程度,由两个因素决定:
①
主瓣的宽度;②
旁瓣的幅度大小。
理想的情况是
主瓣的宽度窄,旁瓣的幅度小。
但对于一个长度固定的窗函数来说,这些不能独立地达到最小。
3.FIR滤波器特点
IIR数字滤波器的设计简单方便,特别是采用双线性变换法设计的数字滤波器没有频谱混叠问题,效果较好。
在有些实际应用场合,例如数据传输、图象处理等对滤波器的线性相位特性要求颇为严格,所以在这场合中一般选用FIR数字滤波器。
FIR数字滤波器可设计得具有严格的线性相位,而且其幅度特性可以随意设计。
FIR滤波器的单位冲激响应h(n)是有限长序列,其系统函数的极点位于Z平面原点,因此FIR滤波器不存在稳定问题。
另外,FIR滤波器还可以采用FFT方法实现其功能,从而大大提高了效率,因此,FIR数字滤波器日益引起人们的注意
对于线性相位的滤波器而言,通过滤波器的信号不存在相位失真,只存在固定单位的延迟,而这一点在数字通信、图象处理、语音合成等诸多应用中都极其重要。
FIR数字滤波器具有线性相位特征的条件是它的单位冲激响应h(n)满足偶对称或者奇对称。
若h(n)满足偶对称,则其相位特性
为:
(1)
若h(n)满足奇对称,则其相位特性
为:
(2)
从频域上看h(n)是长度为N的实序列,所以h(n)的N点DFT满足共轭对称性,即:
H(k)=H*(N-k)而幅度函数则一定呈偶对称特性,即:
(3)
当h(n)为偶对称,信号通过该滤波器时,其通带就产生(N-1)/2点群延迟,滤波器的相频特性是相位过原点的一条直线,其斜率为[-(N-1)/2],其幅频特性相当于对信号低通滤波;当h(n)为奇对称,信号通过该滤波器时,其通带不但产生(N-1)/2点群延迟,还对所有通带内各种频率的信号都有一个90°移相,这相当于信号先经过一个90°移相器,然后再作带通滤波。
FIR滤波器灵活,易于实现某些特殊的应用,如构建微分或积分器.
4.FIR滤波器的设计
FIR滤波器的设计方法很多,文中选取通常使用的用窗函数法、波纹逼近法、最小乘方法设计FIR滤波器。
采用不同的方法设计相同的滤波器(低通、高通、带阻、带通滤波器)并进行比较,分析不同设计方法的特点。
FIR数字低通滤波器的设计
分别采用窗函数法(凯泽窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克窗窗)、波纹逼近法、最小乘方法对FIR数字低通滤波器进行设计并比较。
窗函数法
凯泽窗设计如下:
Fs=48000Hz
Fpass=9500Hz
Fstop=12000Hz
Apass=1dB
Astop=80dB
图1凯泽窗函数法设计101阶FIR数字低通滤波器
汉宁窗、汉明窗与布莱克曼窗设计如下:
Fs=48000Hz
Fc=10800Hz
图2汉宁窗函数法设计101阶FIR数字低通滤波器
图3汉明窗函数法设计101阶FIR数字低通滤波器
图4布莱克曼窗函数法设计101阶FIR数字低通滤波器
比较三种不同窗函数设计的滤波器可以看出:
在相同阶数下,凯泽窗最小阻带衰减最大,但过度带较宽。
三.函数说明
1.B=fir1(N,Wn);
这个函数设计了一个N阶、截止频率参数为Wn的线性相位FIR低通滤波器(这里的Wn是用半取样率归一化后的参数)。
B=fir(N,Wn,‘high’);高通滤波器
B=fir(N,【W1,W2】);带通滤波器
B=fir(N,【W1,W2】,‘stop’);带阻滤波器
2.wn=hamming(N)
列向量wn中返回长度为N的哈明窗函数w(n)
3.[H,w]=freqz(b,a,N)
b和a分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量,返回量H则包含了离散系统频响在0~pi范围内N个频率等分点的值(其中N为正整数),w则包含了范围内N个频率等分点。
调用默认的N时,其值是512。
可以先调用freqz()函数计算系统的频率响应,然后利用abs()和angle()函数及plot()函数,绘制出系统的频响曲线。
4.哈明窗-----改进的升余弦窗
其频谱函数
其幅度函数
当
时,其可近视的表示为
四.设计内容
1.设计思路
利用窗函数的原理,结合FIR滤波器的特点,进行设计
⑴.首先,对长度为N的
设频率响应函数
⑵.其次,求单位冲激响应
⑶.由题意,阻带衰减不小于40dB,根据窗函数的基本参数表,选取hamming窗函数进行设计,根据过度带宽求得滤波器所用窗函数的最小长度。
⑷.求得所设计的FIR滤波器的单位冲激响应
2.设计流程
按照设计思路,在MAYLAB中设计正确的程序表达式,一步步的调试,运行,直到结果表示正确为止
3.仿真结果
五.设计总结
通过本次用窗函数设计FIR低通滤波器的实验,我掌握了很多窗函数方面的知识,知道了什么情况改用什么窗函数,对一些基本的MATLAB常用函数有一定的巩固,本实验也可以采用布莱克曼窗和凯塞窗,为了简单,选用常用的哈明窗。
六.参考文献
数字信号处理课本第3版,数字信号处理参考资料。
七.程序设计
>wp=0.5*pi;
ws=0.9*pi;
wdelta=ws-wp;
N=ceil(8*pi/wdelta);
Nw=N;
wc=(wp+ws)/2;
n=0:
N-1;
alpha=(N-1)/2;
m=n-alpha+eps;
hd=sin(wc*m)./(pi*m);
win=hamming(Nw);
h=hd.*win';
>>b=h;
>>figure
(1);
>>[H,f]=freqz(b,1,512,20);
subplot(2,1,1),plot(fabs(H));
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅/dB');
>>gridon;
>>subplot(2,1,2),plot(angle(H));
xlabel('频率/Hz');ylabel(‘相位/^o’);
gridon;
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