高考数学不等式试题汇编.docx
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高考数学不等式试题汇编
2014年高考数学不等式试题汇编
数学
E单元不等式
E1不等式的概念与性质
5.,,2014•山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()
A.1x2+1>1y2+1B.ln(x2+1)>ln(y2+1)
C.sinx>sinyD.x3>y3
5.D
4.2014•四川卷]若a>b>0,cA.ac>bdB.acC.ad>bcD.ad4.D
E2绝对值不等式的解法
9.、2014•安徽卷]若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为()
A.5或8B.-1或5
C.-1或-4D.-4或8
9.D解析]当a≥2时,
f(x)=3x+a+1(x>-1),x+a-1-a2≤x≤-1,-3x-a-1x由图可知,当x=-a2时,fmin(x)=f-a2=a2-1=3,可得a=8.
当a-a2,-x-a+1-1≤x≤-a2,-3x-a-1(x由图可知,当x=-a2时,fmin(x)=f-a2=-a2+1=3,可得a=-4.综上可知,a的值为-4或8.
E3一元二次不等式的解法
2.、2014•全国卷]设集合M={x|x2-3x-4A.(0,4]B.0,4)
C.-1,0)D.(-1,0]
2.B
12.、2014•新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)=3sinπxm,若存在f(x)的极值点x0满足x20+f(x0)]2<m2,则m的取值范围是()
A.(-∞,-6)∪(6,+∞)
B.(-∞,-4)∪(4,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
12.C
E4简单的一元高次不等式的解法
E5简单的线性规划问题
5.2014•安徽卷]x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-2y-2≤0,2x-y+2≥0.若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()
A.12或-1B.2或12
C.2或1D.2或-1
5.D
6.2014•北京卷]若x,y满足x+y-2≥0,kx-y+2≥0,y≥0,
且z=y-x的最小值为-4,则k的值为()
A.2B.-2C.12D.-12
6.D
11.2014•福建卷]若变量x,y满足约束条件x-y+1≤0,x+2y-8≤0,x≥0,则z=3x+y的最小值为________.
11.1
3.2014•广东卷]若变量x,y满足约束条件y≤x,x+y≤1,y≥-1,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=()
A.5B.6
C.7D.8
3.B
14.2014•湖南卷]若变量x,y满足约束条件y≤x,x+y≤4,y≥k,且z=2x+y的最小值为-6,则k=________.
14.-2
14.2014•全国卷]设x,y满足约束条件x-y≥0,x+2y≤3,x-2y≤1,则z=x+4y的最大值为________.
14.5
9.、2014•新课标全国卷Ⅰ]不等式组x+y≥1,x-2y≤4的解集记为D,有下面四个命题:
p1:
∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,
p2:
∃(x,y)∈D,x+2y≥2,
p3:
∀(x,y)∈D,x+2y≤3,
p4:
∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是()
A.p2,p3B.p1,p2
C.p1,p4D.p1,p3
9.B
9.2014•新课标全国卷Ⅱ]设x,y满足约束条件x+y-7≤0,x-3y+1≤0,3x-y-5≥0,则z=2x-y的最大值为()
A.10B.8C.3D.2
9.B
9.2014•山东卷]已知x,y满足约束条件x-y-1≤0,2x-y-3≥0,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值25时,a2+b2的最小值为()
A.5B.4C.5D.2
9.B
18.,2014•陕西卷]在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.
(1)若PA→+PB→+PC→=0,求|OP→|;
(2)设OP→=mAB→+nAC→(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.
18.解:
(1)方法一:
∵PA→+PB→+PC→=0,
又PA→+PB→+PC→=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),
∴6-3x=0,6-3y=0,解得x=2,y=2,
即OP→=(2,2),故|OP→|=22.
方法二:
∵PA→+PB→+PC→=0,
则(OA→-OP→)+(OB→-OP→)+(OC→-OP→)=0,
∴OP→=13(OA→+OB→+OC→)=(2,2),
∴|OP→|=22.
(2)∵OP→=mAB→+nAC→,
∴(x,y)=(m+2n,2m+n),
∴x=m+2n,y=2m+n,
两式相减得,m-n=y-x,
令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.
5.,2014•四川卷]执行如图11所示的程序框图,如果输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为()
图11
A.0B.1C.2D.3
5.C
2.2014•天津卷]设变量x,y满足约束条件x+y-2≥0,x-y-2≤0,y≥1,则目标函数z=x+2y的最小值为()
A.2B.3C.4D.5
2.B
13.2014•浙江卷]当实数x,y满足x+2y-4≤0,x-y-1≤0,x≥1时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是________.
13.1,32
E6基本不等式
16.、2014•辽宁卷]对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,3a-4b+5c的最小值为________.
16.-2
14.,2014•山东卷]若ax2+bx6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为________.
14.2
10.,2014•四川卷]已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA→•OB→=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()
A.2B.3C.1728D.10
10.B
14.,2014•四川卷]设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|•|PB|的最大值是________.
14.5
E7不等式的证明方法
20.2014•北京卷]对于数对序列P:
(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),记
T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),
其中max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}表示Tk-1(P)和a1+a2+…+ak两个数中最大的数.
(1)对于数对序列P:
(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;
(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:
(a,b),(c,d)和P′:
(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小;
(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)
20.解:
(1)T1(P)=2+5=7,
T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.
(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},
T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}.
当m=a时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.
因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P′).
当m=d时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.
因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P′).
所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P′)都成立.
(3)数对序列P:
(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小,
T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.
19.、、2014•天津卷]已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},
集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.
(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.
(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:
若an19.解:
(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2•2+x3•22,xi∈M,i=1,2,3},可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.
(2)证明:
由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及ans-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1
≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn-2-qn-1
=(q-1)(1-qn-1)1-q-qn-1
=-1所以sE8不等式的综合应用
9.、2014•安徽卷]若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为()
A.5或8B.-1或5
C.-1或-4D.-4或8
9.D
13.2014•福建卷]要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________(单位:
元).
13.160
21.,,,2014•陕西卷]设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设n∈N+,比较g
(1)+g
(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.
21.解:
由题设得,g(x)=x1+x(x≥0).
(1)由已知,g1(x)=x1+x,
g2(x)=g(g1(x))=x1+x1+x1+x=x1+2x,
g3(x)=x1+3x,…,可得gn(x)=x1+nx.
下面用数学归纳法证明.
①当n=1时,g1(x)=x1+x,结论成立.
②假设n=k时结论成立,即gk(x)=x1+kx.
那么,当n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x))=gk(x)1+gk(x)=x1+kx1+x1+kx=x1+(k+1)x,即结论成立.
由①②可知,结论对n∈N+成立.
(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥ax1+x恒成立.
设φ(x)=ln(1+x)-ax1+x(x≥0),
则φ′(x)=11+x-a(1+x)2=x+1-a(1+x)2,
当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立),
∴φ(x)在0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0,
∴φ(x)≥0在0,+∞)上恒成立,
∴a≤1时,ln(1+x)≥ax1+x恒成立(仅当x=0时等号成立).
当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ′(x)∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减,
∴φ(a-1)即a>1时,存在x>0,使φ(x)故知ln(1+x)≥ax1+x不恒成立.
综上可
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