ANSYS工程分析 基础与观念Chapter02.docx
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ANSYS工程分析基础与观念Chapter02
第2章
结构力学总复习
ReviewofStructuralMechanics
这一章的目的是希望能够在最短的时间内,帮读者对结构力学作一个总复习,以具备必要的背景知识去理解以后各章节所介绍的观念。
本章的讨论只限于线性、静态的结构之问题。
在第一节中我们先定义结构分析的问题:
一个实体(body)承受了负载(loads),我们要去求出它所产生的反应(responses)。
在这个简洁的定义中我们使用了几个名词:
body、loads、及responses,我们将一一分别讨论。
结构承受负载后的反应通常可以用变位(displacements)、应变(strains)、及应力(stresses)来表示,这些量之间存在某些关系;我们将在第二节中讨论控制着这些未知量间的方程式。
第三节我们将讨论利用有限元素法来解这些控制方程式的基本观念,包括有限元素法的基本构想及形状函数(shapefunctions)、劲度矩阵(stiffnessmatrices)等名词及其背后的重要性。
第2.1节结构分析问题的定义
DefinitionofStructuralAnalysisProblems
2.1.1结构分析问题
很多的工程分析问题都可以定义成在一个区域(domain)中,承受某些的负载(loads),而我们想要知道这个domain的反应(response)。
所谓domain可能是一固体、流体、或只是一个空间,但在结构分析问题上,domain是指一个固态的实体(solidbody)。
结构分析是一个固态的实体(body)承受负载(loads)后(如图2-1所示),求解结构反应(responses)的过程。
图2-1结构分析问题定义
图2-1中我们画了一个body,并有四个常见的负载加在这个body上。
第一个load是作用在边界S1上的均布载重F1;第二个load是作用在边界S2上的集中载重F2;第三个load是作用在边界S3上的拘束(变位为0);第四个load是作用在边界S4上的已知变位。
结构分析的目是去求解在这样的loads下所产生的结构的反应。
我们所举的四个负载都是作用在边界上,所以又可以称为「边界条件」(boundaryconditions)。
但是负载并不一定全部都作用在边界上,譬如重力可以均匀作用在body内部,这种情形我们通常不称之为边界条件,而以「负载」统称这些分布在边界上及物体内的条件。
负载种类我们将在2.1.3小节进一步介绍,而要怎么去完整的描述结构的反应,我们将在2.1.4至2.1.7小节讨论。
在2.1.2小节中我们仅以两个简单的例子来说明图2-1的意义。
2.1.2结构分析实例
图2-2的例子中的body是一根梁,这根梁承受三个负载:
一是集中载重P;二是均布载Q;三是梁左端的一个拘束(变位为0)。
我们想知道在这些负载下,结构的反应是怎样子的。
图2-3的例子是一个根梁承受了两个负载:
一是右端的已知变位D,二是左端的固定拘束。
我们想要知道在这样的情形下,它的反应会是怎样子的。
图2-2结构分析实例:
悬臂梁承受集中载重P及均布载Q
图2-3结构分析实例:
悬臂梁承受变位D
2.1.3负载
为了有效地将负载作用在body中,我们有必要对loads去作一个很清楚的分类。
前面所举的一些loads例子,都是作用在body表面上的,所以我们可以先将负载分为两大类:
作用在物体表面及作用在物体内部的loads。
图2-4列出ANSYS中所考虑的结构物负载。
作用在物体表面的loads包括了力及变位;力又可分为集中力(SI单位N)及分布力(SI单位N/m2);变位则又可分为零变位及非零变位。
以上这些负载应该都是很容易理解的。
作用在body内部的loads,最常看到的是热负载,在ANSYS中是以温度变化量(℃)描述于整个body中(而非只有表面)。
惯性力(如重力、离心力等,SI单位N/m3)也是常见的分布于整个body的力。
其它还有静电力、磁力等也是分布在body的力。
负载
作用在物体表面
力
表面分布力
点集中力
变位
零变位(固定)
非零变位
作用在物体内部
力
惯性力(重力、离心力)
其它体积分布力(电力、磁力)
热
温度变化
图2-4结构负载的分类
2.1.4反应
我们通常用变位、应变、应力来表示一个body承受loads后的结构反应。
图2-5列出本书所用的变位、应变、应力的符号及它们分量的个数。
注意,在3D的结构分析中,我们总共使用了15个分量来描述结构反应,而每一个分量都是位置的函数。
事实上,这些量之间并非是完全独立的,我们将在2.2节讨论它们之间的关系。
为什么我们要用变位、应变、应力来描述结构反应呢?
变位是指每一直点的位移,它代表结构的变形;所以描述结构反应时,变位是不可或缺的。
但是应力、应变的重要性又是如何呢?
一个材料它能够承受的应力、应变都是有一限度的;应力、应变超过某一程度,就会破坏掉(fracture)或降伏掉(yield),所以它们通常作为结构设计是否实用的重要检验基准。
结构反应
符号
分量数目
变位(displacements)
{u}
3
应变(strains)
{ε}
6
应力(stresses)
{σ}
6
图2-5结构负载的分类
在本书中,我们用{u}来代表变位、用{ε}来代表应变、用{σ}来代表应力。
我们会在以下的三个小节里分别来讨论这些量。
注意,这三个量都不是单一的量,所以我们用向量来表示它们。
在3D的结构系统里面,变位有3个分量,应变及应力各有六个分量,一共有15个分量。
我们把这15个量当做是我们要去求解的未知量,只要知道了这15个量,就能清楚的来描述结构反应。
注意,去选用多少的未知量是任意的,只要我们建立出等量的方程式,就可以去解出未知量。
2.1.5变位
图2-6变位
变位应该是很容易了解的。
在图2-6中,我们画了变形前及变形后的body;假设某一个特定的质点(x,y,z)在变形后移到了一个新的位置,我们把它的位移用一个向量(vector)来表示,这就是这个点的变位(displacement),我们用{u(x,y,z)}来代表。
因为它是一个向量,所以在3D中我们可以用三个分量ux、uy、uz来表示:
(2.1)
注意,2.1式中的3个分量都是位置的函数。
2.1.6应力
上一小节所讨论的「变位」是很容易了解的,它可以用向量来表示,而我们通常很熟悉向量的观念。
相对的,应力及应变的观念则有一点复杂。
严格来说「应力」用向量来表示是不精确的;比较精确的方式是用张量(tensor)来表示,但是tensor是很不容易理解的数学表示方式,所以除非必须非常深入地讨论应力,一般的结构力学讲解还是舍弃用tensor来解说应力。
应力是在描述力的密度(intensity),也就是是每单位面积有多少力量(SI单位N/m2)。
如果有一条断面积A的钢条被施以F的力量,则我们说沿着长度方向有F/A的应力。
在3D的情况下,事情变得有点复杂。
现在假想你被埋在一个body里面的A点,这个body承受了某些loads,如图2-7所示;你如何对外面的人描述你所承受到的「力的密度」呢?
也就是说你的每单位表面积受到多少力。
图2-7结构系统中的某一点A的应力
为了说明,我们假设有一个坐标系统xyz可供参照,如图所示。
如果这个body是一静止的液体,你会受到四面八方相同的压力,所以只要一个量就可以完整地描述你承受的应力。
假设压应力大小是p(SI单位N/m2),那么你可以如此描述:
「我感受到p的压应力」。
当我们感受力量向着自己时,这个应力称为压应力;反之当我们感受力量远离自己时,这个应力称为张应力。
注意,当图中的body是静止液体时,你永远会感受力量向着自己的,亦即永远是压应力,而且此压应力大小与方向无关。
当图中的body是固态实体时,你会在不同的方向感受到不同大小的力量,所以若要精确地描述所承受的力,必须先说明在哪个方向,譬如:
「我在某方向感受到p的应力」。
注意,p本身是一个向量,当向着你自己时,这个应力称为压应力;反之当远离自己时,这个应力称为张应力。
图2-8物体中某一点的应力描述
我们以图2-8来进一步说明上述这一句话(在某方向感受到p的应力)的意义。
图2-8中,我们以围绕在A点(图2-7)的6个平面来分别代表+x、-x、+y、-y、+z及-z方向,譬如垂直于+x方向的平面称为+x平面、垂直于-x方向的平面称为-x平面、其它类同。
假设你在+x方向感受到p的应力(注意,其SI单位为N/m2),亦即有p的应力作用在+x平面上。
若将此应力拆成三个分量,分别平行于x、y、及z方向——在图2.8中我们以σx、τxy、τxz来表示,注意其中第一个下标x是指作用在+x平面上、第二个下标是指应力的方向。
因为σx垂直于+x平面,所以我们称之为该平面上的正向应力;而因为τxy、τxz相切于+x平面,所以我们称之为该平面上的剪向应力。
图2-9是与图2-8是完全一样的,只是转个方向而已。
图2-9物体中某一点的应力描述(X-YPlaneView)
为了描述某一个点的应力,只有描述一个方向(或平面)的应力是不够的;在3D的世界里,我们最少需要描述三个方向的应力才能完整地描述某一点的应力状态。
其它方向的应力可以从这三个方向的应力来推算出来,但是这三个方向必须是独立的,一般我们选择+x、+y、及+z方向。
如前面所讨论的,我们以σx、τxy、τxz来表示+x方向的正应力及平行于+y及+z方向的剪应力;同样的我们以σy、τyx、τyz来表示+y方向的正应力及平行于+x及+z方向的剪应力;而以σz、τzx、τzy来表示+z方向的正应力及平行于+x及+y方向的剪应力。
所以我们可以用9个分量来表示一个点的应力状态:
(2.2)
这9个应力分量分别表示在图2-8中的立方体上。
事实上这9个分量也并不是完全的独立的,我们可以证明
(2.3)
也就是说2.2式中的矩阵是对称的。
所以只要用6个分量就可以来描述,用向量的方式来表示,我们可以写成
(2.4)
2.3式的证明很简单,只要将图2-8的立方体视为一个自由体(freebody),再取下列力平衡条件即可得到证明:
2.1.7应变
图2-10质点A的应变
应变是在描述某一质点被拉申或压缩的程度,它的单位是每单位长度的拉伸长度(SI单位m/m,所以相当于无单位)。
如果有一长度L的物体被均匀拉长∆L,则我们说沿着长度方向有∆L/L的应变。
在3D的情况下,应变比应力更难理解。
现在让我们来思考一个body内的一个质点A及邻近的点B和C,如图2-10所示。
注意,我们故意选择三个点的位置使的AB和AC互相垂直。
假设这个body变形以后ABC三个点变为A’B’C’三个点。
为了要计算AB和AC这两根纤维在变形后被拉伸了多少,我们先将变位前后的纤维迭合在一起做比较,亦即将变形后的纤维A’B’C’作一个旋转变成A’B”C”,再作一个平移变成AB’’’C’’’。
注意,经过旋转及平移后并不影响其两根纤维的相对关系(即长度及夹角)。
现在可以很清楚地看出原来的x方向的一条小纤维AB被拉伸成AB’’’,其总伸长可以用向量BB’’’来表示。
这个伸长量BB’’’可拆成两个分量:
正向伸长量BD及剪向伸长量DB’’’,我们将它们除以原来的长度AB就是正向应变(用εx表示)及剪向应变(用γxy表示):
注意我们使用了和应力一样的下标,亦即第一个下标x是指作用在+x平面上、第二个下标是指应变的方向。
以上的诱导主要是要让读者在观念上理解到正向应变及剪向应变的涵义。
根据上式,正向应变(normalstrain)是很容易理解的:
x平面上(有关x平面的定义请参照2.1.6小节
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