九年级数学第9讲几何问题探究与中点相关问题教案.docx
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九年级数学第9讲几何问题探究与中点相关问题教案
几何问题探究——与中点相关问题
知识点
1.中点的定义
2.中点的表示方法:
等量关系、倍的关系、分的关系
3.三角形中线的作用:
等分线段
4.全等三角形的中线的作用:
倍长中线(延长中线至*,连接**,证明三角形全等)
教学目标
熟练掌握有中点为背景的全等三角形证明的方法.
教学重点
在实际问题中能对中线倍长法模型的建立,利用中线倍长法解决问题.
教学难点
利用中线倍长法构造全等三角形解决问题.
教学过程
一、课堂导入
几何在初中数学中占有相当的比重,在全国各地的中考数学试卷中图形与几何的探究问题占到20%到30%的比重。
主要考查了图形的一些基本性质,借助图形的变换(平移变换
、旋转变换、轴对称变换、相似变换)进行线段和角的一些相关问题的探讨,主要考查了学生的观察能力、空间想象能力、动手操作能力以及所学几何基础知识的灵活运用能力。
解决几何综合问题,是需要厚积而薄发,所谓的“几何感觉”,是建立在足够的知识积累的基础上的,熟悉基本图形及常用的辅助线,在遇到特定条件时能够及时
联想到对应的模型,找到“新”问题与“旧“模型间的关联,明确努力方向,才能进一步探究综合问题。
注重对基本模型及辅助线的积累是非常必要的。
二、复习预习
三角形中线的定义:
三角形顶点和对边中点的连线。
三角形中线的相关定理:
1.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
2.等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)。
中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线(中点),我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理,尤其是在涉及线段的等量关系时,倍长中线的应用更是较为常见。
三、知识讲解
考点1三角形的中位线
1.三角形中位线的定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2.三角形中位线的定理:
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。
3.中位线判定定理:
经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边。
考点2全等三角形的概念及其性质
1.定义:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2.性质定理:
(1)全等三角形的对应角相等。
(2)全等三角形的对应边相等。
(3)能够完全重合的顶点叫对应顶点。
(4)全等三角形的对应边上的高对应相等。
(5)全等三角形的对应角的角平分线相等。
(6)全等三角形的对应边上的中线相等。
(7)全等三角形面积和周长相等。
(8)全等三角形的对应角的三角函数值相等。
考点3全等三角形的解题技巧
一般来说考试中线段和角相等需要
证明全等。
因此我们可以来采用逆向
思维的方式,要想证明全等,需要什么条件。
例如:
要想证明某某边等于某某边,那么首先要证明含有那两个边的三角形全等,然后把所得到的等式运用
(SSS/SAS/ASA/AAS/HL)证明三角形全等,有时还需要辅助线。
分析完毕后要注意书写格式,在全等三角形中,如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象,同时注意隐含的条件。
四、例题精析
考点一倍长中线问题
例1如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于F,AF=EF,求证:
AC=BE.
例2如图所示,△OAB,△OCD为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°.
(1)如图1,点C在OA边上,点D在OB边上,连接AD,BC,M为线段AD的中点,求证:
OM⊥BC.
(2)如图2,在图1的基础上,将△OCD绕点O逆时针旋转α(α为锐角),M为线段AD的中点.
①线段OM与线段BC是否存在某种确定的数量关系?
写出并证明你的结论;
②OM⊥BC是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
考点二构造中位线问题
例3如图,在△ABC和△PQD中,AC=kBC,DP=kDQ,∠C=∠PDQ,D、E分别是AB、AC的中点,点P在直线BC上,连结EQ交PC于点H.猜想线段EH与AC的数量关系,并证明你的猜想.
例4如图,在△ABC和△DAE中,AB=kAC,AD=kAE(k>1)且∠BAC=∠DAE=α,H为BC的中点,G为ED的中点,F为CD的中点,连结FG,FH,请探究FH与FG的关系,并证明你的结论。
说明:
如果你经过反复探索没有解决问题,可以选取
(1)
(2)中的一个条件完成你的探究(1
)k=1;
(2)点D在BA上,点E在AC上。
考点三证明中点问题
例5如图,△ABC≌△BDE,M、M′分别为AB、DB中点,直线MM′交CE于K.
试探索CK与EK的数量关系.
考点四与直角三角形斜边中点相关问题
例6如图1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点E在AB上,F是线段BD的中点,连接CE、FE.
(1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系(直接写出结果,不需说明理由);
(2)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转,使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连接BD,取BD的中点F,问
(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由;
(3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度(如图3),连接BD,取BD的中点F,问
(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由。
课程小结
本节课主要研究了与中点相关的问题,如若遇到一个中点,可先考虑倍长中线,注意二次全等问题;如若遇到多个中点,可先考虑尝试中位线,当然倍长中线也可以尝试考虑;如若遇到直角三角形和中点同时出现,那么一定要记得“直角三角形斜边的中线是等于斜边一半“的这条性质。
几何问题的探究,是一个长期积累的过程,注重几何知识的综合运用,积累基本型是重中之重。
例1【规范解答】延长
到
,使
,连结
∵
,
,
∴
∴
.
又∵
,∴
∴
∴
,∴
.
【总结与反思】作倍长AD,得到
,可以把AC转移到△BDG中,利用等腰的性质得到两边相等。
例2【规范解答】1、证明:
∵△AOB和△COD是等腰直角三角形,∴OA=OB,OD=OC,∠AOB=90°
∴△AOD≌△BOC,∴∠OAD=∠OBC,∵M是AD中点,∴OM=AM,∴∠OAD=∠MOA,
∴∠OBC=∠MOA∵∠MOA+∠MOB=∠AOB=90°,∴∠OBC+∠MOB=90°
∴∠BMO=180°-90°=90°,∴OM⊥BC。
2、结论:
BC=2OM,OM⊥BC。
延长OM至E,使OM=EM,连接AE,又AM=DM,∠AME=∠DMO
∴△AME≌△DMO,∴AE=DO,∠EAM=∠ODM
∵△AOB和△COD是等腰直角三角形,
∴OA=OB,①OD=OC,∠AOB=∠DOC=90°
∴AE=OC。
②
∵∠OAE=∠OAD+∠EAM==∠OAD+∠ODM=180°-∠AOD
∠BOC=∠AOB+∠COD-∠AOD=90°+90°-∠AOD=180°-∠AOD
∴∠OAE=∠BOC,③
由①②③可得,△OAE≌△BOC,∴OE=BC,∠AOE=∠OBC,
∵OE=2OM,∴BC=2OM。
延长BC交OE于F,∵∠AOE+∠BOE=∠AOB=90°,∴
∠OBC+∠BOE=90°∴∠BFO=180°-90°=90°
,∴OE⊥BF
即OM⊥BC。
【总结与反思】
(1)根据等腰直角三角形的性质,可证△AOD≌△BOC,根据全等三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质即可证明O
M⊥BC;
(2)延长OM至E,使OM=EM,连接AE,先证明△AME≌△DMO,再证明△OAE≌△BOC即可证明BC=2OM,延长BC交OE于F,推导出∠BFO=90°,即可证明OM⊥BC.
例3【规范解答】证明:
取BC中点M,连接DE,DM∵D、E分别是AB、AC的中点
∴DM=
AC且DM∥AC,DE=
BC且DE∥BC,∴∠C=∠MDE
又∵∠PDQ=∠C,∴∠PDQ=∠C,又∵∠PDQ+∠QDM=∠MDE+∠QDM,∴∠PDM=∠QDE
又∵AC=kBC,∴DM=kDE,又∵DP=kDQ
,∴△PDM∽△DQE,∴∠DEQ=∠DMP,
又∵DE∥BC,DM∥AC,∴∠DEQ=∠EHC,∠DMP=∠C,∴∠EHC=∠C,
∴EH=EC=
AC
【总结与反思】本题中出现了两个中点,由所给信息,运用中位线的知识我们可以构造出△PDM∽△DQE,从而得到角的关系,便可以证明EH与AC的数量关系了。
例4【规范解答】证明:
连接BD、CE
∵∠BAC=∠DAE=α,∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE
即∠BAD=∠CAE
又∵AB=kAC,AD=kAE,∴△ACE∽△ABD,∴BD=kCE
又∵H为BC的中点,G为ED的中点,F为CD的中点,
∴HF=
BD,FG=
CE
∴HF=kFG
【总结与反思】本题要我们探究FH与FG的关系,观察图形及所给的已知信息,我们可以首先考虑尝试运用中位线,连接BD,CE,要探究FH与FG的关系便可以转化为探究BD及CE的关系
,我们可以通过证明△ACE∽△ABD便可以得到BD及CE的关系,同样就可以得知FH与FG的关系了。
例
5【规范解答】CK与EK的数量关系为相等,理由如下
:
延长MK到N,使得NK=MM′,连接EM′、CM、EN,如图,
可得NK+KM′=MM′+M′K,即NM′=MK,∵△ABC≌△BDE,M、M′分别为AB、DB中点,
∴EM′=CM,BM′=BM,∠EM′D=∠CMB,由BM′=BM得:
∠BM′M=∠BMM′=∠KM′D,
∴∠NM′E=∠CMK,在△EM′N和△CMK中,NM′=MK,∠NM′E=∠CMK,EM′=CM,
∴△EM′N≌△CMK,(SAS)∴CK=EN,∠N=∠CKM=∠NKE,∴EK=EN,∴CK=EK.
【总结与反思】由已知条件不能得到相关条件,可作辅助线,延长MK到N,使得NK=MM′,连接EM′、CM、EN,再根据辅助条件证明△EM′N≌△CMK即可.
例6【规范解答】
(1)如图1,连接CF,线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE;
(2)
(1)中的结论仍然成立.如图2,连接CF,延长EF交CB于点G,
∵∠ACB=∠AED=90°,∴DE∥BC,∴∠EDF=∠GBF,又∵∠EFD=∠GFB,DF=BF,∴△EDF≌△GBF,∴EF=GF,BG=DE=AE,∵AC=BC,∴CE=CG,∴∠EFC=90°,CF=EF,∴△CEF为等腰直角三角形,∴∠CEF=45度,∴CE=FE;
(3)
(1)中的结论仍然成立.如图3,取AD的中点M,连接EM,MF,取AB的中点N,连接FN、CN、CF,
∵DF=BF,∴FM∥AB,且FM=AB,∵AE=DE,∠AED=90°,∴AM=EM,∠AME=90°,
∵CA=CB,∠ACB=90°∴CN=AN=AB,∠ANC=90°,∴MF∥AN,FM=AN=CN,∴四边形MFNA为平行四边形,
∴FN=AM=EM,∠AMF=∠FNA,∴∠EMF=∠FNC,∴△EMF≌△FNC,∴FE=CF,∠
EFM=∠FCN,
由MF∥AN,∠ANC=90°,可得∠CPF=90°,∴∠FCN+∠PFC=90°,∴∠EFM+∠PFC=90°,∴∠EFC=90°,
∴△CEF为等腰直角三角形,∴∠CEF=45°,∴CE=FE.
【总结与反思】
(1)连接CF,直角△DEB中,EF是斜边BD上的中线,因此EF=DF=BF,∠FEB=∠FBE,同理可得出CF=DF=BF,∠FCB=∠FBC,因此CF=EF,由于
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