材料力学第9章(平面弯曲杆件的变形与刚度计算).pdf
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19-1挠曲线挠曲线挠度和转角挠度和转角9-2挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程9-3积分法求梁的变形积分法求梁的变形9-4叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形9-5梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计9-6用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁2研究范围:
等直梁在对称弯曲时位移的计算。
研究目的:
对梁作刚度校核;解超静定梁(为变形几何条件提供补充方程)。
399-11挠曲线挠曲线挠度和转角挠度和转角一、挠曲线:
一、挠曲线:
变形后,轴线变为光滑曲线,该曲线称为挠曲线。
其方程为:
=(x)Px(x)C(x)C11.1.挠度挠度:
横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。
用表示。
2.2.转角转角:
横截面绕其中性轴转动的角度。
用表示,顺时针转动为正,反之为负。
梁变形用两个量来描述梁变形用两个量来描述4AABBaabbMMABBAaabbdMM变形后变形后5二、转角与挠曲线的关系:
二、转角与挠曲线的关系:
(1)ddtgx小变形小变形Px(x)C(x)C1(x)与轴正向一致为正,反之为负。
挠曲线上某点处的斜率为正,则该处横截面的转角为正。
单位正负挠度mm转角rad699-22挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程EI)x(M1EI)x(M)x(式(式(22)就是挠曲线近似微分方程。
)就是挠曲线近似微分方程。
11232)x()x(小变形小变形xM00xMb时,时,x值将小于值将小于a,最大,最大挠度将发生在挠度将发生在AC段中。
段中。
322139)bl(EIlFb)xx(max212211212211366x)bl(lEIFbxbllEIFbx20讨论:
讨论:
1、此梁的最大挠度和最大转角。
、此梁的最大挠度和最大转角。
lEI)bl(FabxAmaxmax6001111左左侧侧段:
段:
右右侧侧段:
段:
lEI)al(FablxBmaxmax602222lEI)al(FabBmax6322122393230)bl(lEIFbax)ba(ablxxxmaxmax最大挠度一定在左侧段最大挠度一定在左侧段FC1xABab2xlFblFa当当ab时时当当ab时时最大挠度发生在最大挠度发生在AC段段212、a=b时时此梁的最大挠度和最大转角。
此梁的最大挠度和最大转角。
EIFl;EIFlLxCmaxBAmax4816322FCABab若b值很小,l.lx57703EIFbl.lFblmax220642039EIFbl.EIFbllx22210625016可以用跨中截面的挠度代替挠度最大值。
2299-44叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形一、一、前提条件:
前提条件:
线线弹性、小变形。
二、二、叠加原理:
叠加原理:
各荷载同时作用下,梁任一截面的挠度或转角,等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。
)()()(),(221121nBnBBnBFFFFFF)F()F()F()F,F,F(nBnBBn2211211、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查;2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
三、三、叠加法的特征:
叠加法的特征:
23四、结构形式叠加(逐段刚化法)四、结构形式叠加(逐段刚化法)在研究前一梁段的变形时,暂时将后各梁段视为刚体,前一梁段的末端截面的位移为后一梁段提供了一个刚体位移;在研究后一梁段的变形时,将已变形的前梁段的挠曲线刚化,再将后梁段的变形叠加在前梁段所提供的刚体位移上,从而得到后梁段的总位移。
24结构形式叠加(逐段刚化法)原理说明。
=+Fl1l2ABCBCFl212等价等价xx21Fl1l2ABC刚化刚化AC段段Pl1l2ABC刚化刚化BC段段Fl1l2ABCMx25例例99-44按叠加原理求按叠加原理求A点转角点转角和和C点挠度。
点挠度。
解:
解:
荷荷载荷分解如图由梁的简单载荷变形表,查简单载荷引起的变形。
EIFa)(FC63EIFa)(FA42EIqa)(qA33qqFF=+AAABBBCaaEIqa)(qC245426qqFF=+AAABBBCaa叠加qAFAA)()()qaF(EIa43122EIFaEIqaC624534EIFa)(FC63EIFa)(FA42EIqa)(qA33EIqa)(qC245427l/2l/2qAACCA=+例例9-5求图示梁C截面的挠度和两端截面的转角,梁的弯曲刚度EI为常数。
解解:
载荷分解如图查梁的简单载荷变形表EIlqC3842541l/2AACCAq/2l/2(a)l/2l/2AACCAq/2q/2(b)EIlqBA242311EIllqBA24232202c28l/2l/2qAACCA=+EIqlEIl)/q(CCC7685384254421叠加l/2AACCAq/2l/2(a)l/2l/2AACCAq/2q/2(b)21AAAEIlqEIlq242224233EIql1283321BBBEIqlEIlqEIlq3847242224233329=+AABBlaaCCqqqaqaAABBlCCM=qa2/2(b)例例9-6求图示梁B截面的挠度(EI已知)。
已知)。
解解:
结构分解如图查梁的简单载荷变形表BBCCqq(a);EIqaB841EIlqaaEIl)qa(aCB6321322230=+AABBLLaaCCqqqaqaAABBLLCCM=qa2/2(b)叠加BBCCqq(a);EIqaB841EI)la(qaEIlqaEIqaBBB24436833421EIlqaaEIl)qa(aCB6321322231BBCCFFEI2EIAAl/2l/2BBFFAACC0B1B0BFFBBAAFl/2CCC0BC求图示阶梯梁自由端B的转角和挠度。
EIFlEIlFl)EI(lFC16322222222EIFl)EI(lFl)EI(lFC9652222232323EIFlCB16320EIFlEIFlEIFllCCB4873239652333032BBCCFFEI2EIAABBFFAABBFFAAl/2l/2Fl/2CCC0BCC0B1B0BCEIFlCB16320EIFlB48730EIFlEIlFB822221EIFlEIlFB2432331EIFlEIFlEIFlBBB165816322210EIFlEIFlEIFlBBB16324487333101B33)(lllmax100012501:
(对土建工程一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件其中称为许用转角;/l称为许用挠跨比。
通常依此条件进行如下三种刚度计算:
校核刚度:
设计截面尺寸;设计载荷。
(但:
对于土建工程,强度常处于主要地位,刚度常处于从属地位。
特殊构件例外)max99-55梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计)(l00100150001:
(工程机械械34例9-7由No.40a工字钢制成的吊车大梁如图a所示。
跨度l=10m,起吊的最大重量FP=300kN,材料的许用应力=140MPa,弹性模量E=200GPa,梁的许用挠度/l=l/500。
若考虑梁自重的影响,试校核梁的强度和刚度。
35解:
画校核强度和刚度的计算简图。
梁的自重用均布荷载q表示。
起吊重物处于跨中时,跨中截面的弯矩和挠度值均为最大。
由型钢表可知4631010901090mcmWz47410217221720mcmIZm/N.q566236校核梁的正应力强度。
842qllFMPmax8105662410103023.)(mN.3102883由叠加法求得梁的最大弯矩值为根据弯曲正应力强度条件,得zmaxmaxWM63101090102883.MPa.Pa.476104766MPa14037校核梁的刚度由梁的变形表并用叠加法,求得EIqlEIlFPmax38454843)qlF(EIlP38454833841056625481030102172010200103893.mm.m.371610371633310637110103716.lmax3102500ll综上,该梁满足强度和刚度要求。
38二、梁的合理刚度设计条件梁的弯曲变形与梁的受力、支承条件、跨度长短及梁的弯曲刚度有关。
梁的合理刚度设计适当减少梁的跨度;合理安排梁的约束与加载方式;合理选择截面形状;合理选择材料。
39处理方法:
变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合,求全部未知力。
解:
建立静定基确定超静定次数,用约束力代替多余约束所得到的结构静定基。
=EIqLABLqMABAqLFRBABx99-66用变形比较法解简用变形比较法解简单超静定梁单超静定梁40几何方程变形协调方程0RBBFBqB+qLFRBAB=FRBABqAB物理方程变形与力的关系补充方程EILF;EIqLRBRBBFBq383403834EILFEIqLRB83qLFRB求解其它问题(约束力、应力、变形等)41几何方程变形协调方程解:
建立静定基BCBBFBqBL=例例99-88结构如图,求BC杆所受力。
LBCEAxqLFBABCqLFBABEI=FBAB+qABEI42=LBCEAxfqLFBABCFBAB+qAB物理方程变形与力的关系补充方程求解其它问题(约束力、应力、变形等)EILF;EIqLBBBFBq3834EALFEILFEIqLBCBB3834)ILAL(IqLFBCB3834EALFLBCBBC
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- 关 键 词:
- 材料力学 平面 弯曲 变形 刚度 计算