R《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版习题解答.pdf
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初等数论习题解答(初等数论习题解答(第三第三版)版)广东石油化工学院广东石油化工学院1/77第一章第一章整数的可除性整数的可除性1整除的概念带余除法1证明定理3定理3若12naaa,都是m得倍数,12nqqq,是任意n个整数,则1122nnqaqaqa是m得倍数证明:
12,naaa都是m的倍数。
存在n个整数12,nppp使1122,nnapmapmapm又12,nqqq是任意n个整数1122nnqaqaqa1122nnqpmqpmqpm1122()nnpqqpqpm即1122nnqaqaqa是m的整数2证明3|
(1)(21)nnn证明
(1)(21)
(1)(21)nnnnnnn
(1)
(2)
(1)
(1)nnnnnn又
(1)
(2)nnn,
(1)
(2)nnn是连续的三个整数故3|
(1)
(2),3|
(1)
(1)nnnnnn3|
(1)
(2)
(1)
(1)nnnnnn从而可知3|
(1)(21)nnn3若00axby是形如axby(x,y是任意整数,a,b是两不全为零的整数)的数中最小整数,则00()|()axbyaxby初等数论习题解答(初等数论习题解答(第三第三版)版)广东石油化工学院广东石油化工学院2/77证:
ab不全为0在整数集合|,SaxbyxyZ中存在正整数,因而有形如axby的最小整数00axby,xyZ,由带余除法有0000(),0axbyaxbyqrraxby则00()()rxxqayyqbS,由00axby是S中的最小整数知0r00|axbyaxby00|axbyaxby(,xy为任意整数)0000|,|axbyaaxbyb00|(,).axbyab又有(,)|aba,(,)|abb00(,)|abaxby故00(,)axbyab4若a,b是任意二整数,且0b,证明:
存在两个整数s,t使得|,|2babstt成立,并且当b是奇数时,s,t是唯一存在的当b是偶数时结果如何?
证:
作序列33,0,2222bbbbbb则a必在此序列的某两项之间即存在一个整数q,使122qqbab成立()i当q为偶数时,若0.b则令,22qqstabsab,则有02222bqqqabstababbt若0b则令,22qqstabsab,则同样有2bt()ii当q为奇数时,若0b则令11,22qqstabsab,则有初等数论习题解答(初等数论习题解答(第三第三版)版)广东石油化工学院广东石油化工学院3/771102222bbqqtabsababt若0b,则令11,22qqstabsab,则同样有2bt,综上所述,存在性得证下证唯一性当b为奇数时,设11abstbst则11()ttbssb而111,22bbttttttb矛盾故11,sstt当b为偶数时,,st不唯一,举例如下:
此时2b为整数11312(),22222bbbbbbbtt2最大公因数与辗转相除法最大公因数与辗转相除法1证明推论4.1推论4.1a,b的公因数与(a,b)的因数相同证:
设d是a,b的任一公因数,d|a,d|b由带余除法111222111111,0nnnnnnnnnnabqrbrqrrrqrrrqrrrrb(,)nabrd|1abq1r,d|122brqr,,d|21(,)nnnnrrqrab,即d是(,)ab的因数。
初等数论习题解答(初等数论习题解答(第三第三版)版)广东石油化工学院广东石油化工学院4/77反过来(,)ab|a且(,)ab|b,若|(,),dab则|,|dadb,所以(,)ab的因数都是,ab的公因数,从而,ab的公因数与(,)ab的因数相同。
2证明:
见本书P2,P3第3题证明。
3应用1习题4证明任意两整数的最大公因数存在,并说明其求法,试用你的所说的求法及辗转相除法实际算出(76501,9719)解:
有1习题4知:
0,abZbstZ使,|2babstt。
,11,st,使1112|,|,22tbbsttt如此类推知:
21,;nnnnnnstttst11111,;nnnnnnstttst且1221|2222nnnnntttbt而b是一个有限数,,nN使10nt1121(,)(,)(,)(,)(,)(,0)nnnnabbttttttttt,存在其求法为:
1(,)(,)(,()abbabsabsbabss(76501,9719)(9719,7650197197)(8468,97198468)(1251,846812516)(3,1)14证明本节
(1)式中的loglog2bn初等数论习题解答(初等数论习题解答(第三第三版)版)广东石油化工学院广东石油化工学院5/77证:
由P31习题4知在
(1)式中有12112102222nnnnnnrrrbrr,而1nr1,22nnbb,2logloglog2bnb,即loglog2bn3整除的进一步性质及最小公倍数整除的进一步性质及最小公倍数1证明两整数a,b互质的充分与必要条件是:
存在两个整数s,t满足条件1axbt证明必要性。
若(,)1ab,则由推论1.1知存在两个整数s,t满足:
(,)asbtab,1asbt充分性。
若存在整数s,t使as+bt=1,则a,b不全为0。
又因为(,)|,(,)|abaabb,所以(,|)abasbt即(,)|1ab。
又(,)0ab,(,)1ab2证明定理3定理31212,|,|,|nnaaaaaa证:
设121,naaam,则1|(1,2,)iamin1|(1,2,)iamin又设122|,|,|naaam则21|mm。
反之若2|iam,则2|iam,12|mm从而12mm,即12,naaa=122|,|,|naaa3设1110nnnnaxaxaxa
(1)是一个整数系数多项式且0a,na都不是零,则
(1)的根只能是以0a的因数作分子以na为分母的既约分数,并由此推出2不是有理数证:
设
(1)的任一有理根为pq,(,)1,1pqq。
则初等数论习题解答(初等数论习题解答(第三第三版)版)广东石油化工学院广东石油化工学院6/771110()()0nnnnpppaaaaqqq111100nnnnnnapapqapqaq
(2)由11110
(2)nnnnnnapapqapqaq,所以q整除上式的右端,所以|nnqap,又(,)1,1pqq,所以(,)1,|nnqpqa;又由
(2)有11110nnnnnnapapqapqaq因为p整除上式的右端,所以0|nPaq,(,)1,1pqq,所以(,)1,|nnqppa故
(1)的有理根为pq,且0|,|npaqa。
假设2为有理数,22,20xx,次方程为整系数方程,则由上述结论,可知其有有理根只能是1,2,这与2为其有理根矛盾。
故2为无理数。
另证,设2为有理数2=,pq(,)1,1pqq,则2222222222,2,(,)(2,)1pqppqqpqq但由(,)1,1pqq知22(,)1pq,矛盾,故2不是有理数。
4质数质数算术基本定理算术基本定理1试造不超过100的质数表解:
用Eratosthenes筛选法
(1)算出10010a
(2)10内的质数为:
2,3,5,7初等数论习题解答(初等数论习题解答(第三第三版)版)广东石油化工学院广东石油化工学院7/77(3)划掉2,3,5,7的倍数,剩下的是100内的素数将不超过100的正整数排列如下:
1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495969798991002求82798848及81057226635000的标准式解:
因为8|848,所以38|,827988488103498562AAB,又8|856,所以8|B,3812937322BC,又4|32,所以4|C,243234332CD又9|(3+2+3+4+3+3),所以9|D,29359373DE,又9|(3+5+9+3+7),所以9|E,93993E又3399331331311所以8532311A;同理有3343281057226635000235711172337。
3证明推论证明推论3.3并推广到并推广到n个正整数的情形个正整数的情形推论3.3设a,b是任意两个正整数,且1212nnappp,0i,1,2,ik,1212nnbppp,0i,1,2,ik,则1212(,)kkabppp,1212,kkabppp,初等数论习题解答(初等数论习题解答(第三第三版)版)广东石油化工学院广东石油化工学院8/77其中min(,)iii,min(,)iii,1,2,ik证:
min(,)iii,0,0iiii|,|iiiiiiiipppp(1,2)ik11iikkiiiipp,11iikkiiiipp.1212|(,)kkpppab,又显然1212(,)|kkabppp1212(,)kkpppab,同理可得1212,kkpppab,max,iii推广设11112112kkappp,22122212kkappp,1212,nnnknkappp(其中jp为质数1,2,ijka为任意n个正整数1,2,0ijin),则1212121(,),min,1,2,iiikknijijinpppaaajk1212121,max,1,2,iiikknijijinpppaaajk4应用推论3.3证明3的定理4(ii)证:
设12111212kkkkapppbppp,其中p1,p2,pk是互不相同的素数,i,i(1ik)都是非负整数,有11111212(,)min,1,max,1kkkiiikiiiabpppikabpppik,。
由此知(a,b)a,b=min,max,111iiiiiiiikkkiiiiiippp=ab;从而有,(,)ababab若n21是质数(n1),则n是2的方幂证:
(反证法)设2(knll为奇数),则2222
(1)2
(2)2121
(2)1(21)221kkkkknllll初等数论习题解答(初等数论习题解答(第三第三版)版)广东石油化工学院广东石油化工学院9/7722121
(2)121kkln,21n为合数矛盾,故一定为的方幂5函数函数x,x及其在数论中的一个应用及其在数论中的一个应用1求30!
的标准分解式解:
30内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29223453030303030222221543102332343030303033331031014523303030610755572303040477,1123030202111113230302021313,13230302021313
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