考研数学试题详解及评分参考.pdf

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郝海龙：

考研数学复习大全配套光盘2011年数学试题详解及评分参考2011年第1页2011年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学试题详解及评分参考数学试题详解及评分参考数数学

（一）学

（一）一选择题：

一选择题：

1-8小题，每小题小题，每小题4分，共分，共32分分.下列每题给出的四个选项中，只有一下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.

（1）曲线234

（1）

（2）（3）（4）yxxxx=的拐点是（A）（1,0）（B）（2,0）（C）（3,0）（D）（4,0）【答】应选（C）.【解】显然1,2,3,4x=分别是（）yx的一、二、三、四重根，因此有

（2）0,y（3）0,y=（4）0,（3）0,（4）0yyy=，由此可见，点（2,0）不是拐点，点（3,0）是拐点.故选（C）.注：

注：

上述解法虽然无法直接排除选项（A）和（D），但作为单选题，排除选项（B），并选择（C）的理由却是十分充分的.

（2）设数列na单调减少，lim0nna=，1（1,2,）nnkkSan=?

无界，则幂级数1

（1）nnnax=的收敛域为（A）（1,1（B）1,1）（C）0,2）（D）0,2（【答】应选（C）.【解】因1

（1）nnnax=的收敛区间必定是以1x=为中心的区间，所以应排除（A）和（B）；由于na单调递减，且lim0nxa=，故由莱布尼茨判敛法，知1

（1）nnna=收敛，即幂级数1

（1）nnnax=在0x=处收敛，又由1nnkkSa=无界，知幂函数1

（1）nnnax=在2x=处发散，因此1

（1）nnnax=的收敛半径必为1R=，收敛域必为0,2），故选（C）.（3）设函数（）fx具有二阶连续导数，且（）0,（0）0fxf=，则函数（）ln（）zfxfy=在点（0,0）处取得极小值的一个充分条件是（A）（0）1,（0）0ff（B）（0）1,（0）0ff（C）（0）1,（0）0ff（D）（0）1,（0）0ff，（）00f时，有22（0）ln（0）0BACff=.因而（）ln（）zfxfy=在点0,0（）处取得极小值.故应选（A）.（4）设40lnsinIxdx=,40lncotJxdx=,40lncosKxdx=,则,IJK的大小关系为（A）IJK（B）IKJ（C）JIK（D）KJI【答】应选（B）.【解】因04x时，有0sincosxx，于是（）（）lnsinlncosxx，从而4400ln（sin）ln（cos）xdxxdx，即IK，而40ln（sin）0Kxdx=.因此JKI，故选（B）.（5）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵.记1100110001P=，2100001010P=，则A=（A）12PP（B）112PP（C）21PP（D）121PP【答】应选（D）.【解】易见12,PP正是与题中所给初等变换相对应的初等矩阵，故由初等矩阵的性质，有1BAP=，2EPB=，从而21EPAP=，即1121APP=.又122PP=，111PP，所以121APP=，但21APP，故选（D）.（6）设1234（,）A=是4阶矩阵，*A为A的伴随矩阵.若（1,0,1,0）T是方程组0Ax=的一个基础解系，则*0Ax=的基础解系可为（A）13,（B）12,（C）123,（D）234,【答】应选（D）.郝海龙：

考研数学复习大全配套光盘2011年数学试题详解及评分参考2011年第3页【解】因方程组0Ax=的基础解系只包含1个解向量（）1,0,1,0T，所以（）413rA=，于是有*（）1rA=，从而方程组*0Ax=的基础解系包含*4（）413rA=个解向量，由此可排除（A）和（B）；又因（）1,0,1,0T是0Ax=的解，所以（）1234（,）1,0,1,00T=，即130+=，因此13,线性相关，从而123,线性相关，故排除（C）；对于选项（D），由（）3rA=，知=0A，于是根据*AAAE=，有*0AA=，因此A的列向量1234,都是方程组*0Ax=的解.再由（）3rA=，知向量组1234,中存在三个向量线性无关，而根据前述已知13,线性相关，故234,必定线性无关，于是234,可以成为*0Ax=的基础解系，故选（D）.（7）设1（）Fx与2（）Fx为两个分布函数，其相应的概率密度1（）fx与2（）fx是连续函数，则必为概率密度的是（A）12（）（）fxfx（B）212（）（）fxFx（C）12（）（）fxFx（D）1221（）（）（）（）fxFxfxFx+【答】应选（D）.【解】由题意，有1（）1F+=，1（）0F=，2（）1F+=，2（）0F=，且11（）（）Fxfx=，22（）（）Fxfx=.由此不难验证，只有选项（D）满足密度函数的性质+-（）1fxdx=，而其他选项并不满足.事实上，对于选项（D），有+12211221-（）（）（）（）（）（）（）（）（）fxdxfxFxfxFxdxFxFxFxFxdx+=+=+12121212（）（）=（）（）=（）（）（）（）1FxFxdxFxFxFFFF+=+=，故选（D）.（8）设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记max,UXY=，min,VXY=，则（）EUV=（A）EUEV（B）EXEY（C）EUEY（D）EXEV【答】应选（B）.【解】由max,UXY=，min,VXY=，易见UVXY=，又X与Y相互独立，因此（）（）EUVEXYEXEY=，故选（B）.二、填空题：

二、填空题：

914小题，每小题小题，每小题4分，共分，共24分分.请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上.（9）曲线0tan（0）4xytdtx=的弧长s=.【答】应填ln（12）+.郝海龙：

考研数学复习大全配套光盘2011年数学试题详解及评分参考2011年第4页【解】（）2244400011tansecsydxxdxxdx=+=+=/40=ln（sectan）ln（21）xx+=+.（10）微分方程cosxyyex+=满足条件（0）0y=的解为y=.【答】应填sinxex.【解】根据一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得（）（cos）=（cos）=（sin）dxdxxxxyxeCexedxeCxdxeCx=+由（0）0y=，得0C=，故sinxyex=.（11）设函数20sin（,）1xytFxydtt=+，则2022xyFx=.【答】应填4.【解】因（）22sin1xyFyxxy=+，故（）（）（）（）22222222cos12sin1yxyxyxyxyFyxxy+=+，于是20224xyFx=.（12）设L是柱面221xy+=与平面zxy=+的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22yLxzdxxdydz+=?

.【答】应填.【解】将L的方程化为参数式cos,sin,cossin,xtytztt=+（）02t，则原式2201=cos（cossin）（sin）coscossin（sincos）2tttttttttdt+222001cos2=cos2ttdtdt+=.（13）设二次曲面方程22232224xyzaxyxzyz+=经正交变换化为221144yz+=，则a=.【答】应填1.【解】显然22232224xyzaxyxzyz+=与221144yz+=的左端都是二次型，且由题意知，22114yz+是2223222xyzaxyxzyz+经过正交变换化成的标准型，所以两二次型的矩阵相似，因此其秩都是2，从而有郝海龙：

考研数学复习大全配套光盘2011年数学试题详解及评分参考2011年第5页（）2110=311.111aaa=由此可解得1a=.（14）设二维随机变量（,）XY服从正态分布22（,;,;0）N，则2（）EXY=.【答】应填23+.【解】因（,）XY服从正态分布22（,;,;0）N，故2（,）XN，2（,）XN，且X与Y相互独立，因此EXEY=，2222（）（）EYDYEY=+=+，从而222223（）（）（）EXYEXEY=+=+三、解答题（三、解答题（1523小题，共小题，共94分分.）（15）（本题满分（本题满分10分）分）求极限110ln

（1）lim（）xexxx+.解：

解：

记11ln

（1）（）xexyx+=.当0x时，lnln

（1）lnln1xxxye+=，00011lnln

（1）ln

（1）ln

（1）limlnlimlim11xxxxxxxxxye+=4分0

（1）ln

（1）lim

（1）ln

（1）xxxxxxx+=+20

（1）ln

（1）limxxxxx+=01ln

（1）11lim22xxx+=.9分当0x时，lnln

（1）ln（）ln1xxxye+=，00lnln

（1）ln（）1limlnlim12xxxxxye+=.综上可知，110ln

（1）1lim（）xexxxe+=.10分（16）（本题满分（本题满分9分）分）设函数（,（）zfxyygx=，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数（）gx可导且在1x=处取得极值

（1）1g=，求211|xyzxy=.解：

解：

由题意

（1）0g=2分因12（）zyfygxfx=+，4分21111222122（）（）（）（）zfyxfgxfgxfygxxfgxfxy=+，8分郝海龙：

考研数学复习大全配套光盘2011年数学试题详解及评分参考2011年第6页所以211xyzxy=11112（1,1）（1,1）（1,1）fff=+.9分（17）（本题满分（本题满分10分）分）求方程arctan0kxx=不同实根的个数，其中k为参数.解：

解：

令（）arctanfxkxx=，则（）fx是（,）+上的奇函数，且221（0）0,（）1kxffxx=+.3分当10k即1k时，（）0（0）fxx即1k时，在（0,1）k内，（）0fx，（）fx单调增加；在（1,）k+内，（）0fx.又arctanlim（）lim

（1）xxkxfxxx+=，所以存在（1,）k+，使得（）0f=.由（）fx是奇函数及其单调性可知：

当1k时，方程（）0fx=有且仅有三个不同实根,0,xxx=.10分（18）（本题满分（本题满分10分）分）（I）证明：

对任意的正整数n，都有111ln

（1）1nnn+成立.（II）设111ln（1,2,）2nannn=+=?

，证明数列na收敛.解：

解：

（I）根据拉格朗日中值定理，存在（,1）nn+，使得11ln

（1）ln

（1）lnnnn+=+=，所以1111ln

（1）1nnn+=+.4分（II）当1n时，由（I）知111ln

（1）01nnaann+=+?

ln

（1）ln0nn=+，所以数列na单调下降且有下界，故na收敛.10分（19）（本题满分（本题满分11分）分）已知函数（,）fxy具有二阶连续偏导数，且（1,）0fy=，（,1）0fx=，（,）Dfxydxdya=，其中（,）|01,01Dxyxy=，计算二重积分（,）xyDIxyfxydxdy=.郝海龙：

考研数学复习大全配套光盘2011年数学试题详解及评分参考2011年第7页解：

解：

因为（1,）0fy=，（,1）0fx=，所以（1,）0yfy=，（,1）0xfx=.2分从而1100I（,）xyxdxyfxydy=4分111000（,）|（,）yxyxxyf