考研数学公式总结.pdf

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1高等数学高等数学高中公式高中公式三角函数公式三角函数公式和差角公式和差角公式和差化积公式和差化积公式sin（）sincoscossincos（）coscossinsin（）11（）tgtgtgtgtgctgctgctgctgctgsinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos-2sinsin22积化和差公式积化和差公式倍角公式倍角公式1sincossin（）sin（）21cossinsin（）sin（）21coscoscos（）cos（）21sinsincos（）cos（）222222222233322tansin22sincos1tancos22cos112sin1tancossin1tan212212sin33sin4sincos34cos3cos3313tgctgtgctgtgctgtgtgtgtg半角公式半角公式1cos1cossincos22221cos1cossin21cossin1cos1cos1cossin21cossin1costgctg11V=SHV=SHV=H（S+S）33SS棱柱棱锥棱台球的表面积：

4R2球的体积：

343R椭圆面积：

ab椭球的体积：

43abc第第1章章极限与连续极限与连续1.1集合、映射、函数集合、映射、函数空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理：

凡有上（下）界的非空数集必有有限的上（下）确界。

映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，因变量，基本初等函数1.2数列的极限数列的极限性质：

1.（唯一性）收敛数列的极限必唯一。

2.（有界性）收敛数列必为有界数列。

3.（子列不变性）若数列收敛于a，则其任何子列也收敛于a。

注1.一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。

注2.若数列xn有两个子列xp,xq均收敛于a，且这两个子列合起来就是原数列，则原数列也收敛于a。

注3.性质3提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：

若能从该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。

4.（对有限变动的不变性）若数列xn收敛于a，则改变xn中的有限项所得到的新数列仍收敛于a。

5.（保序性）若lim,limnnnnxayb，且aN时，有xnN时，xnynzn，且limnxn=limnzn=a,则limnyn=a。

2.单调收敛原理：

单调有界数列必收敛。

注：

任何有界的数列必存在收敛的子数列。

3.柯西收敛准则：

数列xn收敛的充要条件是：

对于任意给定的正数，都存在正整数N，使得当m，nN时，有|xm-xn|0,0,x,x0（,）oUx,有|f（x）-f（x）|0（0）时，x0必为f（x）的极小（大）值点。

3.设函数f（x）在点x0处有n阶导数，且

（1）000（）（）.（）0nfxfxfx，但（）0（）0nfx，则（i）当n为偶数时，f（x）在点x0处取极值，当（）0（）0nfx时取极小值，当（）0（）0nfx时取极大值；（ii）当n为奇数时f（x0）不是极值。

3.4函数作图函数作图定理：

设函数f（x）在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）内可导，则f（x）在a,b上是凸（凹）函数的充要条件是：

1.f（x）在开区间（a,b）内单调递减（增）。

2.f（x1）+（1-）x2）f（x1）+（1-）f（x2）,（0,1）.3.f（x0）（）0.若函数f（x）在点x0处凹凸性相反，则点x0称为f（x）的拐点。

拐点的必要条件：

f（x0）=0或f（x0）不存在。

拐点的充要条件：

f（x）经过时变号。

渐近线：

1.垂直渐近线：

x=a是垂直渐近线0limxa或0limxa.32.斜渐近线：

f（x）=ax+b,（）lim,lim（）xxfxabfxaxx或（）lim,lim（）xxfxabfxaxx（水平渐近线为其特例）。

函数作图的步骤：

1.确定函数的定义域；2.观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等；3.判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线；4.确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表；5.适当确定一些特殊点的函数值；6.根据上面提供的数据，作图。

第第4章章积分积分4.1不定积分不定积分4.1.1.基本积分表基本积分表1111ln|1lnsincoscossintanln|cos|cotln|sin|secln|sectan|cscln|csccotln|csccotln|tanxxxdxxCdxxCadxaCxaxdxxCxdxxCxdxxCxdxxCxdxxxCxxdxxxCxxC2222|2sectancsccottansecseccsccotcsc1arcsinarccos11arctanarccot1CxdxxCxdxxCxxdxxCxxdxxCdxxCxCxdxxCxCx或或2222222222222222222222222111arctanarcsin111ln|ln|2111ln|ln（）2arcsin222xxdxCdxCaxaaaaxaxdxCdxxxaCaxaaxxaxadxCdxxxaCxaaxaxaxaxaxdxaxCaxxadxxa22222222222222ln2ln（）22cos（cossin）sin（sincos）axaxaxaxaxxaCxaxadxxaxxaCeebxdxabxbbxCabeebxdxabxbbxCab不可积的几个初等函数：

2221sincossincoslnxxxexxxxx4.1.2.换元积分法和分部积分法换元积分法和分部积分法换元积分法：

1.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。

2.第二类换元积分法，拆分。

分部积分法：

（）（）（）（）（）（）uxvxdxuxvxuxvxdx4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分有理函数和可化为有理函数的积分有理函数有理函数（）（）（）PxRxQx的积分可以归结为下列四种简单分式的积分：

（1）Adxxa；

（2）A（）ndxxa；（3）2Mx+Ndxxpxq；（4）2Mx+N（）ndxxpxq12222212123（）2

（1）（）2

（1）nnnndxxnIIxaanxaan三角函数有理式三角函数有理式的积分一般用万能代换tan2xt，对于如下形式可以采用更灵活的代换：

对于积分22（sin,cos）Rxxdx，可令tanx=t；对于积分（sin）cosRxxdx，可令sinx=t；对于积分（cos）sinRxxdx，可令cosx=t，等等。

某些可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分1.（,）naxbRxdxcxd型积分，其中n1，其中adbc。

这里的关键问题是消去根号，可令axbtcxd。

2.2（,Rxaxbxcdx型积分,其中240bac，a0。

由于22224（）24bacbaxbxcaxaa，故此类型积分可以化为以下三种类型：

22（,）Rukudx，可用三角替换sinukt；22（,）Ruukdx，可用三角替换secukt；22（,）Ruukdx，可用三角替换tanukt。

121tantan1nnnnIxdxxIn倒代换：

2411xdxx，2411xdxx，由此还可以求出411dxx，241xdxx2211sincos,（0）sincosaxbxdxabaxbx解：

设11sincos（sincos）（cossin）axbxAaxbxBaxbx，为此应有11aAbBabAaBb，解得11112222,aabbabbaABabab，故11sincos（sincos）sincossincosaxbxaxbxdxAdxBdxaxbxaxbx11112222ln|sincos|aabbabbaxaxbxCabab4.2定积分定积分4.2.1.可积条件可积条件可积的必要条件：

若函数f（x）在闭区间a,b上可积，则f（x）在a,b上有界。

可积函数类：

闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。

4.2.2.定积分的计算定积分的计算1.换元积分法（）（）（）bafxdxfttdx从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类换元积分法。

2.分部积分法（）（）（）（）|（）（）bbbaaauxvxdxuxvxuxvxdx常见的积分和式11（）（）（）lim（）

（1）（）（）（）lim（）nbaninbaniibabafxdxfannibabafxdxfann41011lim（）（）nniiffxdxnn22002002000（sin）（cos）（sin）2（sin）（sin）（sin）（sin）2fxdxfxdxfxdxfxdxxfxdxfxdxfxdx222001sincos,nnnnnnIxdxxdxIIn使用分部积分法的常见题型：

被积函数的形式所用方法（）,（）sin,（）cosxnnnPxePxxPxx进行n次分部积分，每次均取,sin,cosxexx为（）vx（）ln,（）sin,（）arctannnnPxxPxarcxPxx取（）nPx为（）vxsin,cosxxexex取xe为（）vx，进行两次分部积分4.2.3.定积分的应用定积分的应用

（1）平面图形的面积21（）（）（）2dSfxdxydyrd

（2）旋转体的体积22（）（）2（）dVfxdxydyxfxdx（3）弧长、曲率弧微分公式：

2222（）（）1（）1（）dsdxdyfxdxydy2222（）（）（）（）xtytdtrrd曲率：

223/223/2|（）（）（）（）|（）（）

（1）dytxtytxtyKdsxtyty（4）静矩、转动惯量mr,mr2（5）122mmFGr引力均匀细杆质量为M，长度为l，在杆的延长线上离右端为a处有一质量为m的质点，则质点与细杆之间的引力为F=kMm/a（a+l）.均匀圆环质量为M，半径为r，在圆心的正上方距离为b处有一质量为m的质点，则质点与均匀圆环之间的引力为3222F=（）kMmbrb.均匀圆盘可以看作是无数个均匀圆环。

4.3广义积分广义积分广义积分审敛法1.比较法f（x）kg（x）,k02.比较法的极限形式（）lim（）xfxkgx3.柯西收敛准则|（）|AAfxdx几个常见的广义积分,1,11.,0,0（）,1,1,1,03.,1,0ln,1,0kbppaaxpaappdxdxaaxxapppdxaxedxkxxp收敛收敛；发散发散收敛收敛；发散发散2011I=

（1）

（1）4xIdxtxx2xedx第第5章章无穷级数无穷级数常数项级数敛散性的判定1.若lim0nnu，级数发散，等于零，需进一步判定。

2.若1nnu为正项级数，根据一般项的特点选择相应判别法：

一般项中含有n!

或n的乘积形式，采用比值判别法；一般项中含有以n为指数幂的因子，采用根值判别法；一般项中含有形如n（不一定是整数）的因子，采用比较判别法；利用已知敛散性的结果，结合级数的性质，判别其敛散性；采用定义，部分和数列Sn有上界。

3.若1nnu为任意级数，若其为交错级数，采用莱布尼茨判别法，若不为交错级数或是交错级数但不满足莱布尼茨判别法的条件，采用比值判别法和根值判别法。

求函数项级数的收敛域：

（1）比值法1（）lim|1（）nnnuxux；

（2）根值法lim（）1nnnux。

求幂级数的收敛域：

（1）比值法11（）lim|lim|1（）nnnnn