理论力学相关课件-动能定理.pdf
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第二章第二章动动能能定定理理动动力力学学西北工业大学西北工业大学支希哲支希哲朱西平朱西平侯美丽侯美丽动动能能定定理理第二章第二章动动能能定定理理2-1力的功力的功2-2几种特殊力的功几种特殊力的功2-3作用于质点系上的力系的功作用于质点系上的力系的功2-5动能定理动能定理第第二二章章动动能能定定理理2-6势力场势力场势能势能机械能守恒定理机械能守恒定理2-4动能动能动动力力学学目录第二章第二章动动能能定定理理2-1力的功2-1力和功常力在直线路程中的功变力在曲线路程中的功合力的功定理第二章第二章动动能能定定理理2-1力的功力的功是力在一段路程中对物体作用所累积的效果,其结果引起能力的功是力在一段路程中对物体作用所累积的效果,其结果引起能量的转变和转化。
下面讨论力的功的计算方法。
量的转变和转化。
下面讨论力的功的计算方法。
一、常力在直线路程中的功设一物体设一物体,在常力在常力F作用下沿直线由作用下沿直线由A1平动平动到到A2,所经历的路程是所经历的路程是s。
则该常力则该常力F在此路程在此路程中的功为中的功为W=Fcoss其中其中Fcos为力为力F在运动方向上的投影,可正可负。
可见力的功是代在运动方向上的投影,可正可负。
可见力的功是代数量。
数量。
功的基本单位在国际单位制中采用功的基本单位在国际单位制中采用J:
1J=1NmFAA1A2s一、常力在直线路程中的功第二章第二章动动能能定定理理设在质点设在质点A上作用着变力上作用着变力F,现在把其轨迹曲线现在把其轨迹曲线A1A2分成许多微小弧分成许多微小弧段段,使得每个元弧段使得每个元弧段ds(即元路程即元路程)可视为直线段可视为直线段,而力而力F则视为常力则视为常力,应用应用常力在直线路程中的功常力在直线路程中的功的计算式的计算式,力力F在每个元路程在每个元路程ds中的功中的功dW=Fcosds式中式中是力是力F与速度与速度v间的可变夹角间的可变夹角。
由于元路由于元路程程ds对应于位移的大小对应于位移的大小|dr|=|v|dt,故上式可以改故上式可以改写成写成dW=Fdr=Fvdt2-1力的功上式上式称为力称为力F在元路程在元路程ds中的中的元功元功。
1.元功的定义元功的定义OA1AFxyzA2vr+drrdsdr二、变力在曲线路程中的功第二章第二章动动能能定定理理力力F在有限路程在有限路程A1A2中的总功中的总功W,是该力在,是该力在这段路程中全部元功的代数和,可表示成曲线这段路程中全部元功的代数和,可表示成曲线积分积分dW=Fxdx+Fydy+Fzdz这就是这就是元功的解析表达式元功的解析表达式。
因为因为F=Fxi+Fyj+Fzk,dr=dxi+dyj+dzk,代入上式得代入上式得2121)ddd(dcosAAzyxAAzFyFxFsFW2-1力的功dW=Fdr=Fvdt2.2.功的解析表达式。
功的解析表达式。
3.3.变力在曲线路程中的总功变力在曲线路程中的总功变力的功变力的功OA1AFxyzA2vr+drrdsdr第二章第二章动动能能定定理理2-1力的功如在质点上同时作用着几个力,则由合力投影定理可以推如在质点上同时作用着几个力,则由合力投影定理可以推知,知,合力在某一路程上的功,等于各分力分别在该路程中的合力在某一路程上的功,等于各分力分别在该路程中的功的代数和功的代数和。
这个结论称为。
这个结论称为合力之功定理合力之功定理。
变力的功变力的功三、合力的功定理三、合力的功定理第二章第二章动动能能定定理理2-2几种特殊力的功2-2几种特殊力的功重力的功弹性力的功牛顿引力的功第二章第二章动动能能定定理理2-2几种特殊力的功一、一、重力的功设物体的重心设物体的重心A沿某一曲线由沿某一曲线由A1运动运动到到A2。
物体的重力。
物体的重力G在坐标轴系上的投影在坐标轴系上的投影为为Fx=Fy=0,Fz=G得重力的元功得重力的元功dW=Gdz故重力在曲线路程故重力在曲线路程A1A2上的功为上的功为21)(d21zzGhzzGzGW由元功表达式由元功表达式dW=Fxdx+Fydy+Fzdz一、重力的功OA1(x1,y1,z1)AGxyzA2(x2,y2,z2)第二章第二章动动能能定定理理式中式中z1和和z2分别是重心的路程起点和终分别是重心的路程起点和终点的纵坐标;点的纵坐标;h=z1-z2是物体重心降落是物体重心降落的高度的高度,称为称为高度降高度降。
2-2几种特殊力的功重力的功重力的功OA1(x1,y1,z1)AGxyzA2(x2,y2,z2)21)(d21zzGhzzGzGW故重力在曲线路程故重力在曲线路程A1A2上的功为上的功为有有结结论论
(2)重力的功与运动路径无关。
(1)重力的功等于重力与重心高度降的乘积。
(3)重心下降,重力作正功;否则,重力做负功。
第二章第二章动动能能定定理理当当rl00时时,=(rl0),弹簧压弹簧压缩缩,弹性力弹性力F指向点指向点A,其矢量表示式为其矢量表示式为当当rl00时,时,=rl0,弹簧拉长,弹弹簧拉长,弹性力性力F指向点指向点O,其矢量表示式为,其矢量表示式为二二、弹性力的功设弹簧未变形时长度是设弹簧未变形时长度是l0,刚度系数是刚度系数是k。
弹簧的一端弹簧的一端O固定固定,而另一而另一端端A作任意曲线运动作任意曲线运动,且弹簧始终处于直线状态且弹簧始终处于直线状态。
现求在点现求在点A由位置由位置A1沿沿某一路线运动到位置某一路线运动到位置A2的路程中弹性力所作的功的路程中弹性力所作的功。
在任意位置在任意位置A,弹簧,弹簧的变形为的变形为=rl0,矢径方向的单位矢量为矢径方向的单位矢量为r/r。
F=k(r/r)=k(rl0)(r/r)2-2几种特殊力的功1.弹性力的矢量表示弹性力的矢量表示F=kr/r=k(rl0)r/rOA1drA2r1rr2FA二、弹簧力的功第二章第二章动动能能定定理理弹性力的矢量表示弹性力的矢量表示F=k(rl0)r/r式中式中r/r是矢径方向的单位矢量。
是矢径方向的单位矢量。
2-2几种特殊力的功2.弹性力的元功弹性力的元功得得弹性力弹性力F的元功的元功考虑到考虑到rdr=d(rr)/2=d(r2)/2=rdr=rd(rl0),即得即得弹性力弹性力F在曲线路程在曲线路程A1A2中的功中的功dW=Fdr=k(rl0)(rdr/r)dW=k(rl0)d(rl0)2121)()
(2)(d)(d20220100rrAAlrlrklrlrkWW由元功表达式由元功表达式dW=Fdr=Fvdt3.弹性力的功弹性力的功弹性力的功弹性力的功OA1drA2r1rr2FA第二章第二章动动能能定定理理2-2几种特殊力的功弹性力弹性力F在曲线路程在曲线路程A1A2中的功中的功2121)()
(2)(d)(d20220100rrAAlrlrklrlrkWW以以1=r1l0和和2=r2l0分别表示路程始末端分别表示路程始末端A1和和A2处弹簧的变形量,处弹簧的变形量,则则上式写成上式写成)(22221kW有有结结论论
(2)弹性力的功与运动路径无关。
(1)弹性力的功,等于弹簧初变形的平方和末变形的平方之差与弹簧刚度系数乘积的一半。
(3)弹簧的变形量减小弹性力作正功;否则,做负功。
弹性力的功弹性力的功OA1drA2r1rr2FA第二章第二章动动能能定定理理2-3作用于质点系上的力系的功2-3作用于质点系上的力系的功平动刚体上力的功定轴转动刚体上外力的功平面运动刚体上力的功质点系和刚体内力的功约束力的功之和等于零的情形第二章第二章动动能能定定理理2-3作用于质点系上的力系的功一、一、平动刚体上力的功平动刚体上力的功设一刚体在设一刚体在力力F作用下作平动作用下作平动,其质心在其质心在C点点,刚体上点刚体上点A的矢径的矢径是是r,速度是速度是v,则力则力F的元功的元功dW=Fdr=FdrC2.2.总总功功一、平动刚体上力的功OdrxrFAvyz1.1.元元功功CdrCvCdW=Fvdt=FvCdt或或dW=Fvdt=FvCdtdW=Fdr=FdrC或或第二章第二章动动能能定定理理2-3作用于质点系上的力系的功二、二、定轴转动刚体上外力的功定轴转动刚体上外力的功设刚体绕定轴设刚体绕定轴z转动转动,角速度角速度=k,刚体上点刚体上点A的矢径是的矢径是r,速度是速度是v=r。
作用着力作用着力F,当刚体有一微小转角当刚体有一微小转角dd时时,力力F的元的元功功dW=Fdr=Fvdt=F(r)dt由静力学知,力由静力学知,力F对点对点O的矩矢的矩矢mO(F)=rF,而力而力F对轴对轴z的矩的矩mz(F)等于等于mO(F)在轴在轴z上的上的投影投影,即即mz(F)=mO(F)k所以,混合积所以,混合积F(r)=(rF)=kmO(F)=mz(F)。
二、定轴转动刚体上的力的功OkdrxrFAvdyz混合积混合积F(r)=(rF)1.1.元功元功第二章第二章动动能能定定理理因此有因此有元功元功dW=mz(F)dt=mz(F)d在刚体由角在刚体由角1转到角转到角2的过程中,力的过程中,力F的总功为的总功为特别是,若力矩是常量,则力在上述过程中的总功为特别是,若力矩是常量,则力在上述过程中的总功为W=mz(F)(21)如果刚体上作用着一个力系,则其元功为如果刚体上作用着一个力系,则其元功为dW=mz(F)dt=Mzd)102(d)(21FmWz2-3作用于质点系上的力系的功定轴转动刚体上定轴转动刚体上外力的功外力的功2.总功有有结结论论作用于定轴转动刚体上的力的功,等于该力对转轴的矩与刚体微小转角的乘积的积分。
OkdrxrFAvdyz第二章第二章动动能能定定理理2-3作用于质点系上的力系的功定轴转动刚体上定轴转动刚体上外力的功外力的功假设扭簧上的杆处于水平假设扭簧上的杆处于水平时扭簧未变形,且变形时在弹时扭簧未变形,且变形时在弹性范围之内。
变形时扭簧作用性范围之内。
变形时扭簧作用于杆上的力对点于杆上的力对点O之矩为之矩为kM其中其中k为扭簧的刚度系数。
当杆从角度为扭簧的刚度系数。
当杆从角度11转到角度转到角度22时所时所作的功为作的功为2122121211d22Wkkk扭转弹簧力矩的功第二章第二章动动能能定定理理2-3作用于质点系上的力系的功三、三、平面运动刚体上力的功平面运动刚体上力的功设一刚体在设一刚体在力力F作用下作平面运动作用下作平面运动,其质心在其质心在C点点,速度是速度是vC,刚体上点刚体上点A的速度是的速度是vA,则力则力F的元功的元功2.2.总总功功三、平面运动刚体上的力的功1.1.元元功功dW=FvAdt=F(vC+vAC
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- 理论 力学 相关 课件 动能 定理