概率论公式大全.pdf
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考研数学知识点-概率统计Editedby杨凯钧2005年10月1一一.随机事件和概率1、概率的定义和性质
(1)概率的公理化定义随机事件和概率1、概率的定义和性质
(1)概率的公理化定义设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
10P(A)1,2P()=13对于两两互不相容的事件1A,2A,有=11)(iiiiAPAP常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件A的概率。
(2)古典概型(等可能概型)
(2)古典概型(等可能概型)1n21,=,2nPPPn1)()()(21=。
设任一事件A,它是由m21,组成的,则有P(A)=)()()(21m=)()()(21mPPP+nm=基本事件总数所包含的基本事件数A=2、五大公式(加法、减法、乘法、全概、贝叶斯)
(1)加法公式2、五大公式(加法、减法、乘法、全概、贝叶斯)
(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(2)减法公式
(2)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)当A=时,P(B)=1-P(B)(3)条件概率和乘法公式(3)条件概率和乘法公式定义设A、B是两个事件,且P(A)0,则称)()(APABP为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为=)/(ABP)()(APABP。
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
(4)全概公式(4)全概公式设事件nBBB,21满足1nBBB,21两两互不相容,),2,1(0)(niBPi=,2niiBA1=,则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP+=。
此公式即为全概率公式。
(5)贝叶斯公式(5)贝叶斯公式设事件1B,2B,nB及A满足11B,2B,nB两两互不相容,)(BiP0,=i1,2,n,2niiBA1=,0)(AP,则=njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(,i=1,2,n。
此公式即为贝叶斯公式。
)(iBP,(1=i,2,n),通常叫先验概率。
)/(ABPi,(1=i,2,n),通常称为后验概率。
如果我们把A当作观察的“结果”,而1B,2B,nB理解为“原因”,则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。
3、事件的独立性和伯努利试验
(1)两个事件的独立性3、事件的独立性和伯努利试验
(1)两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP=,则称事件A、B是相互独立的(这个性质不是想当然成立的)。
若事件A、B相互独立,且0)(AP,则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP=所以这与我们所理解的独立性是一致的。
若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。
(证明)由定义,我们可知必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。
(证明)同时,与任何事件都互斥。
(2)多个事件的独立性
(2)多个事件的独立性设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,百度文库考研数学知识点-概率统计Editedby杨凯钧2005年10月2P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
两两互斥互相互斥。
两两独立互相独立?
(3)伯努利试验(3)伯努利试验定义我们作了n次试验,且满足?
每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;?
n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;?
每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为qp=1,用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率,二.随机变量及其分布1、随机变量的分布函数
(1)离散型随机变量的分布率二.随机变量及其分布1、随机变量的分布函数
(1)离散型随机变量的分布率设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk,k=1,2,,则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形式给出:
|)(2121kkkpppxxxxXPX=。
显然分布律应满足下列条件:
(1)0kp,,2,1=k,
(2)=11kkp。
(2)分布函数
(2)分布函数对于非离散型随机变量,通常有0)(=xXP,不可能用分布率表达。
例如日光灯管的寿命X,0)(0=xXP。
所以我们考虑用X落在某个区间,(ba内的概率表示。
定义定义设X为随机变量,x是任意实数,则函数)()(xXPxF=称为随机变量X的分布函数。
)()()(aFbFbXaP=可以得到X落入区间,(ba的概率。
也就是说,分布函数完整地描述了随机变量X随机取值的统计规律性。
分布函数)(xF是一个普通的函数,它表示随机变量落入区间(,x内的概率。
)(xF的图形是阶梯图形,,21xx是第一类间断点,随机变量X在kx处的概率就是)(xF在kx处的跃度。
分布函数具有如下性质:
1,1)(0xF+x;2)(xF是单调不减的函数,即21xx时,有)(1xF)(2xF;30)(lim)(=xFFx,1)(lim)(=+xFFx;4)()0(xFxF=+,即)(xF是右连续的;5)0()()(=xFxFxXP。
(3)连续型随机变量的密度函数(3)连续型随机变量的密度函数定义设)(xF是随机变量X的分布函数,若存在非负函数)(xf,对任意实数x,有=xdxxfxF)()(,则称X为连续型随机变量。
)(xf称为X的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。
)(xf的图形是一条曲线,称为密度(分布)曲线。
由上式可知,连续型随机变量的分布函数)(xF是连续函数。
所以,)()()()()()(1221212121xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP=密度函数具有下面4个性质:
10)(xf。
2+=1)(dxxf。
百度文库考研数学知识点-概率统计Editedby杨凯钧2005年10月31)()(=+dxxfF的几何意义;在横轴上面、密度曲线下面的全部面积等于1。
如果一个函数)(xf满足1、2,则它一定是某个随机变量的密度函数。
3)(21xXxP)()(12xFxF21)(xxdxxf。
4若)(xf在x处连续,则有)()(xfxF=。
dxxfdxxXxP)()(+它在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP=)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
)(),(,独立性古典概型,五大公式,APAE)()()()(xXPxFxXX=对于连续型随机变量X,虽然有0)(=xXP,但事件)(xX=并非是不可能事件。
+=+=hxxdxxfhxXxPxXP)()()(令0h,则右端为零,而概率0)(=xXP,故得0)(=xXP。
不可能事件()的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件()的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。
2、常见分布01分布2、常见分布01分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布二项分布在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为p。
事件A发生的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为n,2,1,0。
knkknnqpkPkXPC=)()(,其中nkppq,2,1,0,10,1=,2,1,0=k,则称随机变量X服从参数为的泊松分布,记为)(X或者P()。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=,n)。
超几何分布超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM=随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布。
几何分布几何分布,3,2,1,)(1=kpqkXPk,其中p0,q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布。
均匀分布均匀分布设随机变量X的值只落在a,b内,其密度函数)(xf在a,b上为常数k,即=,0,)(kxf其他,其中k=ab1,则称随机变量X在a,b上服从均匀分布,记为XU(a,b)。
分布函数为0,xa,,abaxaxbaxb百度文库考研数学知识点-概率统计Editedby杨凯钧2005年10月4=xdxxfxF)()(当ax1x2b时,X落在区间(21,xx)内的概率为P(=,则称随机变量X服从参数为的指数分布。
X的分布函数为记住几个积分:
10=+dxxex,202=+dxexx)!
1(01=+ndxexxn+=01)(dxexx,)()1(=+正态分布正态分布设随机变量X的密度函数为222)(21)(=xexf,+为常数,则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为),(2NX。
)(xf具有如下性质:
1)(xf的图形是关于=x对称的;2当=x时,21)(=f为最大值;3)(xf以ox轴为渐近线。
特别当固定、改变时,)(xf的图形形状不变,只是集体沿ox轴平行移动,所以又称为位置参数。
当固定、改变时,)(xf的图形形状要发生变化,随变大,)(xf图形的形状变得平坦,所以又称为形状参数。
若),(2NX,则X的分布函数为dtexFxt=222)(21)(。
参数0=、1=时的正态分布称为标准正态分布,记为)1,0(NX,其密度函数记为2221)(xex=,+x,分布函数为dtexxt2221)(。
)(x是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。
(x)和(x)的性质如下:
1(x)是偶函数,(x)(-x);2当x=0时,(x)21为最大值;3(-x)1-(x)且(0)21。
如果X),(2N,则X)1,0(N。
所以我们可以通过变换将)(xF的计算转化为)(x的计算,而)(x的值是可以通过查表得到的。
=b。
=)(xf,xe0x,0,0x,=)(xF,1xe0x,0x0。
百度文库考研数学知识点-概率统计Editedby杨凯钧2005年10月5若有某些)(ixg相等,则应将对应的iP相加作为)(ixg的概率。
(2)
(2)X是连续型随机变量是连续型随机变量先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。
三.二维随机变量及其分布1、二维随机变量的基本概念
(1)二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布三.二维随机变量及其分布1、二维随机变量的基本概念
(1)二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布对于二维随机向量),(YX=,如果存在非负函数),)(,(+yxyxf,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|axb,cyyfxfYX分别为X,Y的边缘分布密度。
(3)常见的二维分布(3)常见的二维分布均匀分布均匀分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为=其他,0),
(1),(DyxSyxfD其中SD为区域D的面积,则称(X,Y)服从D上的均匀分布,记为(X,Y)U(D)。
正态分布正态分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为,121),(2222121211221)
(2)1(212+=yyxxeyxf其中1|,0,0,2121,共5个参数,则称(X,Y)服从二维正态分布,记为(X,Y)N().,2221,21由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,反推则错。
即XN().(),22,2211NY(5)二维随机向量联合分布函数及其性质(5)二维随机向量联合
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