清华大学运筹学课件指派问题.pdf
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清华大学运筹学课件指派问题.pdf
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指派问题指派问题指派问题指派问题例开办五家新商店,要五家建筑公司分别承建,各公例开办五家新商店,要五家建筑公司分别承建,各公司营造费用报价如下,如何指派使总造价最小司营造费用报价如下,如何指派使总造价最小商店商店费用报价费用报价BBBB3BA4公司公司871B5B2B4B3B15121A47897172A151412106912A3A87667914125A4A6101069125标准指派问题的一般提法标准指派问题的一般提法有件事要个人完成,每人做一件事,有件事要个人完成,每人做一件事,已知第已知第个人做第个人做第件事的成本是件事的成本是nnijc已知第已知第个人做第个人做第件事的成本是件事的成本是,要确定人和事之间要确定人和事之间一一对对一一的指派方案的指派方案,使使ijijc要确定人和事之间对的指派方案要确定人和事之间对的指派方案,使使完成这件事的总费用最小完成这件事的总费用最小n称为指派问题的系数矩阵称为指派问题的系数矩阵ijcCnnij件事件事个人做第个人做第若指派第若指派第ji1件事个人做第若不指派第件事个人做第若不指派第件事件事个人做第个人做第若指派第若指派第jijixij01定义定义整数规划模型整数规划模型nni整数规划模型整数规划模型xcijijijmin11nixnjij,2,1,1s.t.1njxnijj,2,1,11jixnjxijiij,1,0,2,1,11jixij,1,0去掉整数约束标准指派问题是下述产销平衡运输问题去掉整数约束标准指派问题是下述产销平衡运输问题1B1A1111c2B2A11112c1nc211nBnA111nc2nc11nnc整数容量约束整数解整数容量约束整数解0-1约束自动满足!
约束自动满足!
求解下述运输问题可得标准指派问题的解求解下述运输问题可得标准指派问题的解xcninjijijmin11nixnijij,2,1,1s.t.11njij,1njxiij,2,1,11jixij,0尽管可以用求解运输问题的算法求解标准指派尽管可以用求解运输问题的算法求解标准指派问题,由于存在大量的退化解问题,由于存在大量的退化解,经常出现换基,经常出现换基不能改进目标函数的情况不能改进目标函数的情况这种做法效率不高这种做法效率不高不能改进目标函数的情况不能改进目标函数的情况,这种做法效率不高这种做法效率不高进进一一步挖掘标准指派问题的特点可以获得更加步挖掘标准指派问题的特点可以获得更加进步挖掘标准指派问题的特点可以获得更加进步挖掘标准指派问题的特点可以获得更加有效的算法,这就是所谓的匈牙利算法有效的算法,这就是所谓的匈牙利算法标准指派问题的第一个有用的性质标准指派问题的第一个有用的性质任取和任意实数,用和分别任取和任意实数,用和分别表示将表示将的第的第行或第行或第列减去列减去以后得到以后得到nk1A1C2CCkkA表示将表示将的第的第行或第行或第列减去列减去以后得到以后得到的系数矩阵,则以,或为系数矩阵的指的系数矩阵,则以,或为系数矩阵的指AC1C2CCkk派问题的最优方案相同派问题的最优方案相同12nnnnn理由:
理由:
AxcxAcxcninjijijnjkjkjninjijij11111jjkijAxcxAcxcnnnnnAxcxAcxcijijijiikikikjjijij11111目标函数差一个常数,约束相同,最优解也相同目标函数差一个常数,约束相同,最优解也相同标准指派问题的第二个有用的性质标准指派问题的第二个有用的性质如果的所有元素中没有负数,且存在如果的所有元素中没有负数,且存在个行列号都互不相同的零元素个行列号都互不相同的零元素(简称为独立零元简称为独立零元nnnRC个行列号都互不相同的零元素个行列号都互不相同的零元素(简称为独立零元简称为独立零元素),那么对应的标准指派问题的最优目标值等素),那么对应的标准指派问题的最优目标值等于零,最优方案可以由独立零元素的位置确定于零,最优方案可以由独立零元素的位置确定例如例如26600811031405010121026600C0432140501最优解最优解15544312213xxxxx算法设想算法设想利用第个性质利用第个性质产生零元素产生零元素一、一、利用第利用第一一个性质个性质产生零元素产生零元素二二对给定矩阵找到最大的独立零元素组对给定矩阵找到最大的独立零元素组二二、对给定矩阵找到最大的独立零元素组对给定矩阵找到最大的独立零元素组三三当最大的独立零元素组的零元素数目不够当最大的独立零元素组的零元素数目不够三三、当最大的独立零元素组的零元素数目不够当最大的独立零元素组的零元素数目不够时增加独立零元素的数目时增加独立零元素的数目时增加独立零元素的数目时增加独立零元素的数目通过以上步骤的迭代找到足够的独立零元素通过以上步骤的迭代找到足够的独立零元素例、对以下矩阵各行列减去最小值得到含零等价矩阵例、对以下矩阵各行列减去最小值得到含零等价矩阵48715120431180301187917141002107301773791714100210730177369128703621023216714610018040050469121060364002340要解决的问题要解决的问题:
要解决的问题要解决的问题:
1)如何找出最大的独立零元素组如何找出最大的独立零元素组1)如何找出最大的独立零元素组如何找出最大的独立零元素组2)如果独立零元素不够怎么办如果独立零元素不够怎么办2)如果独立零元素不够怎么办如果独立零元素不够怎么办如何找出最大的独立零元素组如何找出最大的独立零元素组?
用结点表示第行,结点表示第列,用边表示用结点表示第行,结点表示第列,用边表示零元素位置零元素位置可得二分图可得二分图(所有边端点分属两个点集所有边端点分属两个点集)jjii零元素位置零元素位置,可得二分图可得二分图(所有边端点分属两个点集所有边端点分属两个点集)03011801773212102321005043300504023405454求左边矩阵最大独立零元素组等价于求右边二分图求左边矩阵最大独立零元素组等价于求右边二分图的最的最大基对集大基对集,即,互相之间没有相同端点的边的最大集合,即,互相之间没有相同端点的边的最大集合对于,给定对集对于,给定对集(用红线表示),定义(用红线表示),定义,GNEMEM-(非)饱和点(非)饱和点:
和:
和M的边(不)关联的点的边(不)关联的点M交错交错路路由属于和不属于由属于和不属于M的的边交错形成的路边交错形成的路M-增广增广路路:
起点和终点都是起点和终点都是M-非饱和点的交错路非饱和点的交错路M-交错交错路路:
由属于和不属于由属于和不属于M的的边交错形成的路边交错形成的路M-增广增广路路:
起点和终点都是起点和终点都是M-非饱和点的交错路非饱和点的交错路匈牙利树匈牙利树:
起点是:
起点是M-非饱和点但终点不是的交错路非饱和点但终点不是的交错路11覆盖覆盖:
中每条边都有端点属于:
中每条边都有端点属于KNKE22最小覆盖最小覆盖:
所含端点数最少的覆盖:
所含端点数最少的覆盖434324113是匈牙利树是匈牙利树2144右图是右图是M-增广路增广路5524113是匈牙利树是匈牙利树是覆盖是覆盖1451,对集的边数和覆盖的点数之间的关系:
对集的边数和覆盖的点数之间的关系:
任何对集的边数都不会大于任何覆盖的点数任何对集的边数都不会大于任何覆盖的点数理由:
对集每条边的两个端点至少有一个在覆盖中理由:
对集每条边的两个端点至少有一个在覆盖中扩大扩大给定对集给定对集的途径的途径:
M扩大扩大给定对集给定对集的途径的途径:
M在在中找中找M增广路增广路G11在在中找中找M-增广路增广路G理由理由如右如右图用图用替换替换3232理由理由:
如右如右图用图用替换替换就可扩大就可扩大2144,14,44M就可扩大就可扩大14,55M通过标号寻找二分图增广路通过标号寻找二分图增广路11211221132323232323254444441555551155增广路增广路211121214212443322443314554455重新标号重新标号11111133221232232443344334433555555由于从左边的非饱和点出发只能得到匈牙利树由于从左边的非饱和点出发只能得到匈牙利树可知可知由于从左边的非饱和点出发只能得到匈牙利树由于从左边的非饱和点出发只能得到匈牙利树,可知可知不可能再有不可能再有M-增广路增广路113ST用和分别表示左右两边的点集合用和分别表示左右两边的点集合221用表示被标注点集合可看出:
用表示被标注点集合可看出:
是左边没标上的点集是左边没标上的点集SLL4433是左边没标上的点集是左边没标上的点集,每个不在匈牙利树上的对边每个不在匈牙利树上的对边一一定和这定和这145,SL55每个不在匈牙利树上的对边定和这每个不在匈牙利树上的对边定和这里面的某个点关联里面的某个点关联ST1TL是出现在左边的右边的点,每个属于某个是出现在左边的右边的点,每个属于某个匈牙利树的边定和这面的某个点关联匈牙利树的边定和这面的某个点关联KSLTL匈牙利树的边匈牙利树的边一一定和这定和这里里面的某个点关联面的某个点关联是和对边数目相等的覆盖是和对边数目相等的覆盖KSLTL是和对边数目相等的覆盖是和对边数目相等的覆盖M是是G的最大对集的充要条件是的最大对集的充要条件是G中没有中没有M-增广路增广路以上过程可以直接在费用矩阵上实现以上过程可以直接在费用矩阵上实现121203011801773330232100504545402340521103011824403011822403011801773023210301180177302321443314023210050410232100504550234002340重新标号重新标号303011810177302321023210050402340不能再标号不能再标号,停止停止,利用最后的匈牙利树利用最后的匈牙利树可可3,1,1,202340不能再标号不能再标号,停止停止,利用最后的匈牙利树利用最后的匈牙利树可可得最小覆盖得最小覆盖,1,4,51KSLTL03011801773对对用行线用行线017730232100504对对用行线用行线对对用列线用列线TLSL0050402340对对用列线用列线独立零元素不够怎么办独立零元素不够怎么办?
找出未覆盖处最小的数,在找出未覆盖处最小的数,在没被行直线覆盖的行减去最没被行直线覆盖的行减去最377108110301没被行直线覆盖的行减去最没被行直线覆盖的行减去最小数,然后在有负数的列加小数,然后在有负数的列加123203771011上这个最小数上这个最小数043204050081103181103012660081103126601811030405010121040500012110432104320继续用找对集方法找最大的独立零元素组继续用找对集方法找最大的独立零元素组32426600811031130118006621012102660000662012101043214050110504123402得最优解得最优解15544312213xxxxx非标准指派问题非标准指派问题目标函数求最大目标函数求最大nnnniijijijijijijxcnAxc1111minmaxninjijijninjijxcxA1111minnnijijijijxcA1111minijijijxcA11min取取,令令,得得标准指派问题标准指派问题nnijcAijcAC取取令令得得标准指派问题标准指派问题ijij11nnij其它非标准情况其它非标准情况其它非标准情况其它非标准情况1)人数和事情不等)人数和事情不等2)某人可能不能做某些事某人可能不能做某些事2)某人可能不能做某些事某人可能不能做某些事采取下述相应措施可转换成标准指派问题采取下述相应措施可转换成标准指派问题采取下述相应措施可转换成标准指派问题采取下述相应措施可转换成
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