Ch3-容斥原理及应用.pdf
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1容斥原理及应用容斥原理及应用Chapter3.云南大学计算机系云南大学计算机系Fall,2009Fall,20092容斥原理容斥原理?
容斥原理是求解计数问题常用工具之一,是加法原理的推广。
容斥原理是求解计数问题常用工具之一,是加法原理的推广。
?
容斥原理又称逐步淘汰原理,是组合分析中常用的计数原理。
其思考方法是将难的问题分解成若干简单问题,通过对这些简单问题的结果代数求和得到困难问题的解。
容斥原理又称逐步淘汰原理,是组合分析中常用的计数原理。
其思考方法是将难的问题分解成若干简单问题,通过对这些简单问题的结果代数求和得到困难问题的解。
3主要内容主要内容DeMorgen公式公式容斥原理与广义容斥原理容斥原理与广义容斥原理容斥原理的应用:
错排问题容斥原理的应用:
错排问题棋盘多项式与有限制的排列棋盘多项式与有限制的排列n对夫妻问题对夫妻问题4DeMorgan定理定理:
若若,UBA,定义定义:
有限集合中元素的个数称为基数有限集合中元素的个数称为基数,记为记为.表示小于等于的最大整数表示小于等于的最大整数;表示大于等于的最小整数表示大于等于的最小整数.BABABABA=,A|AxxxxDeMorgan定理的推广定理的推广:
若若,UAAAn,21LnnnnAAAAAAAAAAAA=LLLL212121215容斥原理容斥原理(TheInclusion-ExclusionPrinciple)例例1:
求不超过求不超过20的正整数中为的正整数中为2或或3的倍数的数的个数的倍数的数的个数.2的倍数是:
的倍数是:
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20。
10个个3的倍数是:
的倍数是:
3,6,9,12,15,18。
6个个10616?
6容斥原理容斥原理(TheInclusion-ExclusionPrinciple)例例1:
求不超过求不超过20的正整数中为的正整数中为2或或3的倍数的数的个数的倍数的数的个数.2的倍数是:
的倍数是:
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20。
10个个3的倍数是:
的倍数是:
3,6,9,12,15,18。
6个个但答案不是但答案不是10+6=16个,因为个,因为6,12,18在两类中重复计数,应减去。
故答案是:
在两类中重复计数,应减去。
故答案是:
16-3=137容斥原理容斥原理(TheInclusion-ExclusionPrinciple)例例2:
求求1到到600之间不能被之间不能被6整除的整数个数整除的整数个数.已知已知1到到600之间共有之间共有600个数。
因为,每个数。
因为,每6个连续的整数中恰有个连续的整数中恰有1个能被个能被6整除,所以共有个整数能被整除,所以共有个整数能被6整除,不能被整除,不能被6整除的数有:
整除的数有:
600100500个。
个。
1006600=8容斥原理容斥原理(TheInclusion-ExclusionPrinciple)例例3:
求求1,2,n的的1不在第一个位置上的全排列的个数不在第一个位置上的全排列的个数.设设,2,121niiinLL是的一个全排列,因的一个全排列,因1不在第一个位置上,所以。
不在第一个位置上,所以。
11i方法方法1(直接方法):
(直接方法):
3,21nkiL=,,1,1,132nkkiiinLLL+是)!
1(n,因此由加法原理知的全排列数是因此由加法原理知的全排列数是11i的一个全排列,其排列数的一个全排列,其排列数为为)!
1)(1(nn9容斥原理容斥原理(TheInclusion-ExclusionPrinciple)例例3:
求求1,2,n的的1不在第一个位置上的全排列的个数不在第一个位置上的全排列的个数.设设,2,121niiinLL是的一个全排列,因的一个全排列,因1不在第一个位置上,所以。
不在第一个位置上,所以。
11i方法方法2(间接方法):
已当时,是的一个全排列,其排列数(间接方法):
已当时,是的一个全排列,其排列数)!
1(的全排列数是的全排列数是n,因此因此1不在第一个位置上的全排列数是不在第一个位置上的全排列数是)!
1)(1()!
1(!
=nnnn,2,1nL!
n11=iniiiL32,3,2nL10容斥原理容斥原理(TheInclusion-ExclusionPrinciple)例例3:
求求1,2,n的的1不在第一个位置上的全排列的个数不在第一个位置上的全排列的个数.用集合语言描述:
用集合语言描述:
设设A有限集合有限集合S的一个子集,则的一个子集,则A中元素的个数中元素的个数等于等于S中元素的个数减去中元素的个数减去S中不在中不在A内的元素的个数。
内的元素的个数。
若记若记ASA=,则有,则有|ASA=11容斥原理容斥原理(TheInclusion-ExclusionPrinciple)?
定理定理1:
设是有限集合设是有限集合,是与集合有关的个性质是与集合有关的个性质,是中具有性质的元素构成的集合是中具有性质的元素构成的集合,是中不具有性质的元素构成的集合是中不具有性质的元素构成的集合,则中不具有性质的元素个数为则中不具有性质的元素个数为SnPPP,21LiAiAiP)1(ni|)1(|2111,121nnninjinjijiinAAAAAASAAA+=LLLSSSSniPnPPP,21L12?
特别特别:
时时时时2=n|)|(|212121AAAASAA+=3=n|)|(|)|(|321133221321321AAAAAAAAAAAASAAA+=13?
定理定理2:
设是有限集合设是有限集合,是与集合有关的个性质是与集合有关的个性质,是中具有性质的元素构成的集合是中具有性质的元素构成的集合,则中至少具有一个性质的元素个数为则中至少具有一个性质的元素个数为SnPPP,21LiAiP)1(ni|)1(|211111,121nnnkjikjininjinjijiinAAAAAAAAAAAA+=LLLSSSniP14?
特别特别:
时时时时2=n|212121AAAAAA+=3=n|)|(|321133221321321AAAAAAAAAAAAAAA+=15?
例例1:
1与与1000之间不能被之间不能被5,6,8整除的整数有多少个整除的整数有多少个?
321,AAA分别表示分别表示S中能被中能被5,6,8整除的整数集合,整除的整数集合,解:
设解:
设S=1,2,1000,则则|S|=1000.设设有有8)8,6,5(1000|,41241000)8,6(1000|,25851000|,33651000|12581000|,16661000|,20051000|321323121321=lcmAAAlcmAAAAAAAAA于于6008)412533()125166200(1000|)|(|)|(|321323121321321=+=+=+=AAAAAAAAAAAASAAA16?
例例2:
求这求这6个字母的全排列中不允许出现和图象的排列数个字母的全排列中不允许出现和图象的排列数.fedcba,acedf1Aace2Adf解:
解:
为为作为一个元素出现的排列集,作为一个元素出现的排列集,为为作为一个元素出现的排列集,作为一个元素出现的排列集,21AA为同时出现和的排列集,则为同时出现和的排列集,则acedf!
3|,!
5|,!
4|2121=AAAA于是,不允许出现和的排列数是于是,不允许出现和的排列数是acedf582!
3)!
4!
5(!
6|21=+=AA17?
例例3:
求由这四个字符构成的位符号串中求由这四个字符构成的位符号串中,至少出现一次的符号串数目至少出现一次的符号串数目.dcba,ndcba,4321,AAAA分别为不出现的位符号分别为不出现的位符号dcba,n串的集合。
由于位符号串的每一位都可以取串的集合。
由于位符号串的每一位都可以取ndcba,四个符号中的任一个,共有个,其中,不出现的四个符号中的任一个,共有个,其中,不出现的n4a符号串的每一位都可以取中的任一个,共有个。
符号串的每一位都可以取中的任一个,共有个。
dcb,n3类似地类似地0|,1|4,3,2,1,2|,3|4321=AAAAAAAjijiAAAkjinjini设设于于426344|4321+=nnnAAAA18例例4:
欧拉函数表示小于且与互素的个数欧拉函数表示小于且与互素的个数,求求.解解:
将分解成素因子的乘积形式将分解成素因子的乘积形式:
设为不大于且为的倍数的自然数的集合设为不大于且为的倍数的自然数的集合,则因与互素则因与互素,所以与的最小公倍数为所以与的最小公倍数为,所以小于并与互素的自然数是集合中的那些不属于任何一个集合的数所以小于并与互素的自然数是集合中的那些不属于任何一个集合的数,由容斥原理知由容斥原理知)(nnnnnnn)(nkkpppnL2121=iAipki1kipnAii,2,1/|L=ipjpipjp)(jijipp),2,1,(|kjijippnAAjijiL=,2,1nAL=),2,1(kiAiL=+=kkikjikkjiikpppnpppnppnpnnAAAn111111)1(|)(21112121LLLL19260235,111(60)60
(1)
(1)
(1)16235n=例如则即比即比60小且与小且与60无公因子的数有无公因子的数有16个:
个:
7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59,此外尚有一个,此外尚有一个1。
=kpppnn111111)(21L欧拉函欧拉函20广义容斥原理广义容斥原理?
定理定理:
设是一有限集合设是一有限集合,是上的性质集合是上的性质集合,表示中具有性质的元素个数表示中具有性质的元素个数,令规定令规定,设集合中恰好具有个性质的元素个数为设集合中恰好具有个性质的元素个数为,则则S,21nPPPPL=),(21kiiiPPPNLSSkiiiPPP,21L=niiiiiikkPPPNkLL21211),()(n=)0(Sm)(m)()1()2()1()()(21nCmCmCmmnmmnmmmm+=L推推)()1()2()1()0()0(nn+=L21,21nxxxM=Lr?
例题:
具有有限重复数的多重集合的组合数例题:
具有有限重复数的多重集合的组合数r的组合数为的组合数为多重集多重集1+rnrC,相当于线性方程,相当于线性方程rxxxn=+L21的非负整数解的数目。
的非负整数解的数目。
22例例1:
求方程满足的整数解数目求方程满足的整数解数目.15321=+xxx70,60,50321xxx转化为求解问转化为求解问0,15321321=+xxxxxx的整数解数目的整数解数目减去问减去问8,7,6,15321321=+xxxxxx的整数解数目的整数解数目方法方法1:
显然,问题:
显然,问题0,15321321=+xxxxxx的整数解数目的整数解数目为为1361715131515=+CC对于问题对于问题8,7,6,15321321=+xxxxxx如何求解?
如何求解?
23令令N为全体非负整数解,为全体非负整数解,1A为其中的解,为其中的解,61x2A为其中的解,为其中的解,72x3A为其中的解。
为其中的解。
83x求问题求问题8,7,6,15321321=+xxxxxx的整数解数目。
的整数解数目。
24对于性质,相当于对于性质,相当于1A15)6(321=+xxx即即615321的非负整数解数目的非负整数解数目=+xxx的非负整数解,的非负整数解,112119136156151|CCCA=+同理,对于性质,同理,对于性质,2A102108137157152|CCCA=+对于性质,对于性质,3A9297138158153|CCCA=+于于10)3()2()1()0()0()0(0|)3(|)2(|)1(172171513151532113871587151386158615137615761532312192102112321=+=+=+=+=+=+CCCAAACCCAAAAAACCCAAA25方法方法2:
作置换:
作置换3322117,6,5
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- Ch3 原理 应用