《常微分方程》(王高雄)第三版课后答案.pdf
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常微分方程习题常微分方程习题2.11.xydxdy2=,并求满足初始条件:
x=0,y=1的特解.解:
对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得:
eexxycyxxcycyxdxdyy22,11,0,ln,212=+=,0)1(.22=+dyxdxy并求满足初始条件:
x=0,y=1的特解.解:
对原式进行变量分离得:
。
故特解是时,代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时,两边同时积分得;当xycyxyxcycyxydydxxy+=+=+=+=+1ln11,11,001ln1,11ln0,11123yxydxdyxy321+=解:
原式可化为:
xxyxxyxyxyyxyccccxdxxdyyyxydxdy2222222232232)1
(1)1)(1(),0(ln1ln21ln1ln2111,0111=+=+=+=+=+)故原方程的解为(即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln,ln,lnln0110000)1()1(4=+=+=+=+xycyxxycyxxycyyxxdyyydxxxxyxyxdyyydxx故原方程的解为即两边积分时,变量分离是方程的解,当或解:
由:
10ln1lnln1ln1,0ln0)ln(ln:
931:
8.coslnsinln07lnsgnarcsinlnsgnarcsin1sgn11,)1(,6ln)1ln(21111,11,0)()(:
53322222222222cdxdydxdyxycyuduudxxxyudxxydyxyydxdyyxxcdyyyyydxdycxytgxdxctgydyctgxdytgydxcxxxycxxudxxxduxdxdudxduxudxdyuxyuxyydxdyxcxarctgudxxduuuudxduxudxduxudxdyuxyuxyxyxydxdydxxydyxyeeeeeeeexyuuxyxuuxyxyyxxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+两边积分解:
变量分离:
。
代回原变量得:
则有:
令解:
方程可变为:
解:
变量分离,得两边积分得:
解:
变量分离,得:
也是方程的解。
另外,代回原来变量,得两边积分得:
分离变量得:
则原方程化为:
解:
令:
。
两边积分得:
变量分离,得:
则令解:
cxyxarctgcxarctgtdxdtdxdtdxdtdxdytyxdxdycdxdydxdyttyxeeeeexyxyyx+=+=+=+=+=+=+)(,11111,.11222)(代回变量得:
两边积分变量分离得:
原方程可变为:
则解:
令两边积分得:
解:
变量分离,122)(1yxdxdy+=解cxyxarctgyxcxarctgttdxdttttdxdtdxdtdxdytyx+=+=+=+)(1111222,代回变量,两边积分变量分离,原方程可变为,则令变量分离,则方程可化为:
令则有令的解为解:
方程组UUdXdUXUXYYXYXdXdYYyXxyxyxyxyxyxdxdyU2122222,31,3131,31;012,0121212.132+=+=+=+=.7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5(22cxyxcxtdxdttttdxdtdxdtdxdytyxyxyxdxdyyxt+=+=+=+代回变量两边积分变量分离原方程化为:
则解:
令1518)14()1(22+=xyyxdxdy原方程的解。
,是,两边积分得分离变量,所以求导得,则关于令解:
方程化为cxyxarctgdxduuudxdudxdudxdyxuyxyxxyyyxxdxdy+=+=+=+=+=+=6)383232(941494141412)14(1818161222222162252622yxxyxydxdy+=解:
,则原方程化为,令uyxxyxydxdyxxyyxydxdy=+=+=323223323222322)(32
(2)(126326322222+=+=xuxuxxuxudxdu,这是齐次方程,令cxxyxycxyxycxxyxycxzzdxxdzdzzzzzxyxyzzzzzzzdxdzxdxdzxzzzdxdzxzdxduzxu15337333533735372233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(.1261263=+=+=+=+=+=+=+=的解为时。
故原方程包含在通解中当或,又因为即(,两边积分的(时,变量分离当是方程的解。
或)方程的解。
即是(或,得当,所以,则17.yyyxxxyxdxdy+=3232332解:
原方程化为123132;)123()132(2222222222+=+=yxyxdxdyyxyyxxdxdy令)1.(123132;,22+=uvuvdvduvxuy则方程组,);令,的解为(111101230132+=+=+uYvZuvuv则有+=+=+zyzydzdyyzyz23321023032)化为,从而方程(令)2.(.232223322,所以,则有ttdzdtzttdzdtztdzdtztdzdyzyt+=+=+=当是原方程的解或的解。
得,是方程时,即222222)2(1022xyxytt=当cxyxydzzdtttt5222222)2(12223022+=+=+两边积分的时,分离变量得另外cxyxyxyxy522222222)2(2+=+=原方程的解为,包含在其通解中,故,或,这也就是方程的解。
,两边积分得分离变量得,则原方程化为令解)(并由此求解下列方程可化为变量分离方程,经变换证明方程cyxxydxxduuuuuxuuuuxyxyxdxdyyxxdydxyxyuxyxyfdxdyyx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=4ln142241)22(1dxduuxy
(2)0.x,c2故原方程的解为原也包含在此通解中。
0y,c2即,c2两边同时积分得:
dxx12udu变量分离得:
),(2ux1dxdu则方程化为u,xy令1dxdyyx时,方程化为0sxy是原方程的解,当0y或0x当:
(1)解程。
故此方程为此方程为变u)(uf(u)x11)(f(u)xu1)y(f(u)dxduf(u),1dxduy1得:
ydxdudxdyx所以,dxdydxdyxy求导导得x关于u,xy证明:
因为22).2()1(.1)(18.222222222222224223322222222xyxyxyxyxuuuuyx19.已知f(x)=xxfxdtxf0)(,0,1)(的一般表达式试求函数.解:
设f(x)=y,则原方程化为=xydtxf01)(两边求导得12yyy=cxyycxdyydxdxdyy+=+=21;121;1;233所以两边积分得代入把cxy+=21=xydtxf01)(xyccxccxcxdtctx21,02)2(;2210=+=+=+所以得20.求具有性质x(t+s)=)()
(1)()(sxtxsxtx+的函数x(t),已知x(0)存在。
解:
令t=s=0x(0)=)0
(1)0()0(xxx+=)0()0
(1)0(2xxx若x(0)0得x2=-1矛盾。
所以x(0)=0.x(t)=)
(1)(0()()
(1)
(1)(lim)()(lim22txxtxtxttxtxttxttx+=+=+)
(1)(0()(2txxdttdx+=dtxtxtdx)0()
(1)(2=+两边积分得arctgx(t)=x(0)t+c所以x(t)=tgx(0)t+c当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=tgx(0)t02411黄罕鳞(41)甘代祥(42)习题习题2.22.2求下列方程的解1dxdy=xysin+解:
y=edx(xsinedxcdx+)=ex-21ex(xxcossin+)+c=cex-21(xxcossin+)是原方程的解。
2dtdx+3x=et2为解:
原方程可化:
dtdx=-3x+et2所以:
x=edt3(et2edt3cdt+)=et3(51et5+c)=cet3+51et2是原方程的解。
3dtds=-stcos+21t2sin解:
s=etdtcos(t2sin21edtdt3c+)=etsin(+cdttettsincossin)=etsin(cetett+sinsinsin)=1sinsin+tcet是原方程的解。
4dxdynxxeynx=,n为数常.为解:
原方程可化:
dxdynxxeynx+=)(cdxexeeydxxnnxdxxn+=)(cexxn+=是原方程的解.5dxdy+1212yxx=0为解:
原方程可化:
dxdy=-1212+yxx=dxxxey212(cdxedxxx+221)21(ln2+=xe)(1ln2+cdxexx=)1(12xcex+是原方程的解.6dxdy234xyxx+=解:
dxdy234xyxx+=23yx+xy令xyu=则uxy=dxdy=udxdux+因此:
dxduxu+=2ux21udxdu=dxduu=2cxu+=331cxxu+=33(*)将xyu=带入(*)中得:
3433cxxy=是原方程的解.3332()21()227.
(1)12
(1)12(),()
(1)1
(1)()1
(1)dxPxdxxPxdxdyyxdxxdyyxdxxPxQxxxeexeQxdxcx+=+=+=+=+P(x)dx232解:
方程的通解为:
y=e=(x+1)(*(x+1)dx+c)=(x+1)(x+23221
(1)()211,()()dyyxcdyydxxydxxydyyyQyyyeyQydyc+=+=+2243P(y)dyP(y)dyP(y)dy1)dx+c)=(x+1)即:
2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。
8.=x+y解:
则P(y)=e方程的通解为:
x=ee2331*)22ydycyycyy+=y(=即x=+cy是方程的通解,且y=0也是方程的解。
()()()19.,1),()()01adxPxdxaxPxdxPxdxaadyayxadxxxaxPxQxxxeexeeQxdxcaa+=+=+=为常数解:
(方程的通解为:
y=1x+1=x(dx+c)xx当时,方程的通解为y=x+ln/x/+c当时,方程01aaaa的通解为y=cx+xln/x/-1当,时,方程的通解为x1y=cx+-1-3331()()()310.11(),()1()(*)dxPxdxxPxdxPxdxdyxyxdxdyyxdxxPxQxxxeexeeQxdxcxxdxccxcx+=+=+33解:
方程的通解为:
y=1=xx=4x方程的通解为:
y=4()()()223333233232332311.2()2()()2,()2()
(2)pxxdxxpxpxxdyxyxydxxyxydxxyxydxxyxdxyzdzxzxdxPxxQxxedxeeedxedxQxdxcex+=+=+=+=+=+23-2xdy解:
两边除以ydydy令方程的通解为:
z=e222)11)1,0xxdxcceycey+=22=x故方程的通解为:
(x且也是方程的解。
22212111()()222ln112.(ln2)424ln2ln2ln22ln2ln(),()()ln1()(PxdxPxdxdxdxxxcxyxydxxdyxdyxyydxxxydyxyydxxxdyxydxxxyzdzxzdxxxxPxQxxxzeeQxdxcxzeedxcxx=+=+=+=解:
两边除以令方程的通解为:
222ln()ln1424ln1:
()1,424xdxcxxcxxcxyx+=+=方程的通解为且y=0也是解。
13222
(2)2122xydyyxdxdyyxydxxyxy=这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以1y,212dyyydxx=令2
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