结构优化设计-第四章-2.pdf
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结构优化的理论和方法结构优化的理论和方法赵国忠赵国忠工程力学系计算力学与工程力学系计算力学与CAE研究室工业装备结构分析国家重点实验室综合实验楼研究室工业装备结构分析国家重点实验室综合实验楼1号楼号楼51384708769(O),第四章:
数学规划法-2第四章:
数学规划法-24.6线性规划线性规划(约束)约束)4.6.1线性规划的标准形式线性规划的标准形式定义:
目标函数和约束函数都是设计变量的线性函数。
定义:
目标函数和约束函数都是设计变量的线性函数。
12find,.,min()s.t.()0,1,2,.,1,2,.,njLUiiixxxfgjJxxxin=XXX一般的优化问题描述形式:
如果:
一般的优化问题描述形式:
如果:
11(),1,2.(),1,2.0niiinjjiijiifcxingaxdjmx=xx称为线性规划问题称为线性规划问题4.6.1线性规划的标准形式线性规划的标准形式1,0njiijjjiaxsds=+=如果引进松弛变量,就可以把不等式约束写成等式约束,即如果引进松弛变量,就可以把不等式约束写成等式约束,即:
这样线性规划问题就可以写成如下的线性规划的标准形式:
这样线性规划问题就可以写成如下的线性规划的标准形式:
min.0;0st=cxaxdxd展开:
展开:
121212(,.)(,.)(,.)TnTmnxxxdddcccc=xd(成本向量成本向量)(约束向量约束向量)111212122212.nnmnmnaaaaaaaaa=aMMOMLmn维维(n维维)(n维维)(m维维)把松弛变量也进入到变量把松弛变量也进入到变量x中中4.6.1线性规划的标准形式线性规划的标准形式模型标准化模型标准化:
a)原问题中:
)原问题中:
ixP0iPx令:
令:
iixPx=则新变量为:
则新变量为:
0iixPx=b)原问题)原问题xi没有大于没有大于0的条件:
可设:
的条件:
可设:
0,0iiiiixxxxx=则:
则:
ix1)设计变量的标准化设计变量的标准化(非负)非负)4.6.1线性规划的标准形式线性规划的标准形式1njiijiaxd=a)原问题中,如果约束是不等式,则引入松弛变量)原问题中,如果约束是不等式,则引入松弛变量b)原问题)原问题dj小于小于0:
2)约束函数的标准化约束函数的标准化1()mjiijjaxd=1;0njiijjiaxdd=0,(1-k)0,且且xc
(1)0,xc
(2)0z=x
(1)=x
(2)4.6.2线性规划的性质线性规划的性质5.可得线性规划的求解思路,找到基本可行解的集合,通过比较目标函数值,就能找到最优解。
可得线性规划的求解思路,找到基本可行解的集合,通过比较目标函数值,就能找到最优解。
3.对线性规划问题,如果最优解存在,则一定落在可行域的顶点(极点对线性规划问题,如果最优解存在,则一定落在可行域的顶点(极点)4.基本可行解是可行域的顶点。
基本可行解是可行域的顶点。
4.6.3线性规划的单纯形法线性规划的单纯形法单纯形法就是从一个极点单纯形法就是从一个极点(顶点)移动到另一个临近的极点,直到找到最优解为止。
顶点)移动到另一个临近的极点,直到找到最优解为止。
4.6.3线性规划的单纯形法线性规划的单纯形法4.6.3线性规划的单纯形法线性规划的单纯形法单纯形法的典型方程式:
单纯形法的典型方程式:
01111,m+111,n122,m+112,n2mm,m+11m,n2min().s.t.+a.a+a.a.+a.a0,1,2,.,mmnnmnmnmnjffcxcxxxxdxxxdxxxdxjm+=+=+=+=X12,.mxxx表示基本变量,表示基本变量,f0是一个常数方程的特点:
是一个常数方程的特点:
1.基本变量具有正的单位系数,且要求右端项基本变量具有正的单位系数,且要求右端项dj0;2.每一约束方程式只出现一个基本变量,并且该基本变量只允许出现在这个方程式中,从典型方程式直接能看出一个基本可行解每一约束方程式只出现一个基本变量,并且该基本变量只允许出现在这个方程式中,从典型方程式直接能看出一个基本可行解3.目标函数中不包括任一基本变量。
目标函数中不包括任一基本变量。
对任一线性规划问题,经过一系列线性变换,总可以得到以上单纯形法的典型方程式对任一线性规划问题,经过一系列线性变换,总可以得到以上单纯形法的典型方程式4.6.3线性规划的单纯形法线性规划的单纯形法极点怎么移动:
极点怎么移动:
1)在在cm+1,cn中寻找负的最大的系数中寻找负的最大的系数cp,则则xp就是要进到基本解中去的变量就是要进到基本解中去的变量(进基进基),如果如果cm+1,cn中数值都为正,则当前的基本解就是最优解。
中数值都为正,则当前的基本解就是最优解。
2)离基)离基:
有一个进,就有一个出。
离基的评判标准:
既要使目标函数降的多,又要满足约束条件。
离基的是哪个变量:
有一个进,就有一个出。
离基的评判标准:
既要使目标函数降的多,又要满足约束条件。
离基的是哪个变量:
xq,min.,0jqjpjpqpddaaa=如果所有如果所有,1,2.jpajm=则退出,原问题的解无界则退出,原问题的解无界hx2下降方向下降方向F(x)=Cx1都小于都小于0,1)为什么)为什么0?
2)为什么取最小的为什么取最小的?
4.6.3线性规划的单纯形法线性规划的单纯形法单纯形法的基本步骤:
单纯形法的基本步骤:
1.化成典型方程式的形式化成典型方程式的形式2.进基进基3.离基离基4.判断收敛与否,如不收敛,重复判断收敛与否,如不收敛,重复1-4步,收敛则结束步,收敛则结束01111,m+111,n122,m+112,n2mm,m+11m,n2min().s.t.+a.a+a.a.+a.a0,1,2,.,mmnnmnmnmnjffcxcxxxxdxxxdxxxdxjm+=+=+=+=X进基,离基的实现:
线性变换主要求解方法:
迭代法,列表法进基,离基的实现:
线性变换主要求解方法:
迭代法,列表法4.6.3线性规划的单纯形法线性规划的单纯形法1212121212min1011s.t.3+495+28-210,0xxxxxxxxxx
(1)引入引入松弛松弛变量,变量,x3,x4,x5,化不等式约束为等式约束用迭代法求解化不等式约束为等式约束用迭代法求解1231241253+49
(1)5+28
(2)-21(3)xxxxxxxxx+=+=+=自动的形成典型方程式的形式,当前的基本变量:
自动的形成典型方程式的形式,当前的基本变量:
x3=9,x4=8,x5=1;非基本变量:
非基本变量:
x1,x2
(2)判断进基变量,由于判断进基变量,由于x2前面系数是前面系数是-11,选选x2进基例进基例1:
都是不等式约束都是不等式约束4.6.3线性规划的单纯形法线性规划的单纯形法(3)离基离基a)判断离基变量判断离基变量:
2,1,2,.jjdjma=具体做法:
把具体做法:
把
(2)、(3)两式中两式中x2项消去项消去12314311533+49
(1)7+27
(2)*2-
(1)2+3x+2+=11(3)*2+
(1)xxxxxxxxx+=为枢轴,不动123134135319+(4)444717+(5)2225111+=(6)222xxxxxxxxx+=比较比较b)进基离基操作进基离基操作:
基本变量系数归一基本变量系数归一当前的基本变量:
当前的基本变量:
x2=9/4,x4=7/2,x5=11/2;非基本变量:
非基本变量:
x1,x3;(4)判断收敛性与进基变量,由于判断收敛性与进基变量,由于x1前面系数是前面系数是-7/4,选选x1进基进基使之最小的那个使之最小的那个j对应的基本变量要求离基,这样就确定对应的基本变量要求离基,这样就确定j=1,即即x3离基,这样基本解变成离基,这样基本解变成x2,x4,x5C)基本变量从方程式中解出代入目标函数基本变量从方程式中解出代入目标函数:
从从(4)式得:
式得:
x2=9/4-3/4x1-1/4x3,再代入目标函数得:
再代入目标函数得:
f(x)=-7/4x1+11/4x3-99/44.6.3线性规划的单纯形法线性规划的单纯形法(5)离基离基a)判断离基变量判断离基变量:
1,1,2,.jjdjma=具体做法:
把具体做法:
把(4)、(6)两式中两式中x4项消去项消去234134345533-(6)1414212+1(7)7765-+=3(8)77xxxxxxxxx+=比较比较b)进基离基操作进基离基操作:
当前的基本变量:
当前的基本变量:
x1=1x2=3/2,x5=3;非基本变量:
非基本变量:
x3,x4;从;从(7)式得:
式得:
x1=1-2/7x4+1/7x3,再代入目标函数得:
再代入目标函数得:
f(x)=-99/4-7/4+10/4x3+2/4x4=-26.5+2.5x3+0.5x4(6)判断收敛性,由于变量前面系数都为正判断收敛性,由于变量前面系数都为正,收敛收敛使之最小的那个使之最小的那个j对应的基本变量要求离基,这样就确定对应的基本变量要求离基,这样就确定j=2,即即x4离基,这样基本解变成离基,这样基本解变成x1,x2,x5基本变量系数归一基本变量系数归一4.6.3线性规划的单纯形法线性规划的单纯形法123123123123min4s.t.2+24
(1)3+3+3
(2)0,0,0xxxxxxxxxxxx+=不是典型方程式的形式,先化成典型方程式例不是典型方程式的形式,先化成典型方程式例2,都是等式约束,都是等式约束有利条件:
约束都是方程式不利条件:
看不出基本变量,不是有利条件:
约束都是方程式不利条件:
看不出基本变量,不是每一约束方程式只出现一个变量,并且该变量只允许出现在这个方程式每一约束方程式只出现一个变量,并且该变量只允许出现在这个方程式中的这种形式中的这种形式4.6.3线性规划的单纯形法线性规划的单纯形法123232+29
(1)3/227
(2)+
(1)*(-3/2)xxxxx+=为枢轴,不动123231+2(3)23-23(4)2xxxxx+=具体操作:
把具体操作:
把
(2)式的式的x1消去消去
(1)把方程转化成典型方程式的形式把方程转化成典型方程式的形式(前处理)前处理)这样这样x1成为类似基本变量的形式,这时成为类似基本变量的形式,这时不用进行目标函数的判断。
不用进行目标函数的判断。
b)判断类似基本变量个数,还差一个,再任选一个变量作为类似基本变量,比如选判断类似基本变量个数,还差一个,再任选一个变量作为类似基本变量,比如选x3,使之只出现在,使之只出现在
(2)式中式中。
具体操作:
把。
具体操作:
把(3)式的式的x3消去消去1223+5/41/2(3)+(4)*1/23/223(4)xxxx=为枢轴,不动1223+5/41/2(5)-3/43/2(6)xxxx=+=基本变量系数归一基本变量系数归一约束已经是典型方程式的形式,基本变量:
基本变量系数归一基本变量系数归一约束已经是典型方程式的形式,基本变量:
x1=1/2,x3=3/2,;非基本变量:
非基本变量:
x2a)任选一个变量作为任选一个变量作为类似基本变量类似基本变量,比如比如选选x1,使之只出现在,使之只出现在
(1)式中。
式中。
C)基本变量从方程式中解出代入目标函数基本变量从方程式中解出代入目标函数:
从从(5)、(6)式得:
式得:
x1=1/2-5/4x2;x3=3/2+/4x2,再代入目标函数得:
,再代入目标函数得:
f(x)=7/2-13/4x2,目标函数也已是典型方程式的形式,目标函数也已是典型方程式的形式.前处理完成,以后执行标准单纯形法前处理完成,以后执行标准单纯形法4.6.3线性规划的单纯形法线性规划的单纯形法
(2)判断收敛性与进基变量,由于判断收敛性与进基变量,由于x2前面系数是前面系数是-13/4,选选x2进基进基a)判断离基变量判断离基变量:
2,1,2,.jjdjma=具体做法:
把具体做法:
把(6)式中式中x1项消去
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- 结构 优化 设计 第四
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