分岔理论(Ⅱ).pdf
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chaoschaos分岔理论分岔理论()第讲第讲chaoschaos8.5周期解的稳定性周期解的稳定性1动力系统的周期解动力系统的周期解很多动力系统不仅存在定态解,而且还存在周期解,作为例子,一维动力系统很多动力系统不仅存在定态解,而且还存在周期解,作为例子,一维动力系统(),xfdtdx=(8-74)若满足若满足()()txTtx=+(8-75)则系统存在以为周期的周期解,且它在空间所对应的轨道是一条封闭曲线。
这种曲线称之为则系统存在以为周期的周期解,且它在空间所对应的轨道是一条封闭曲线。
这种曲线称之为极限环极限环。
Tchaoschaos对于二维动力系统对于二维动力系统()()=,21yxfyyxfx&(8-76)若在相平面存在一条封闭的相轨线若在相平面存在一条封闭的相轨线(亦称闭轨道亦称闭轨道),它对应系统的周期解。
这里给出轨道稳定性定义。
,它对应系统的周期解。
这里给出轨道稳定性定义。
()yx,chaoschaos【轨道稳定性定义轨道稳定性定义】任给的小正数,若能找到对应的,使得时,在距离闭轨道的以内的另一条轨道上的点,在】任给的小正数,若能找到对应的,使得时,在距离闭轨道的以内的另一条轨道上的点,在0()00tt=c()()()tytx,0tt时仍留在内,则称为为闭轨道稳定;否则称为不稳定。
由稳定的闭轨道表示的周期解称作稳定,否则为不稳定。
只有孤立的闭轨道时仍留在内,则称为为闭轨道稳定;否则称为不稳定。
由稳定的闭轨道表示的周期解称作稳定,否则为不稳定。
只有孤立的闭轨道(即在它附近没有其它的闭轨道即在它附近没有其它的闭轨道)才叫极限环。
才叫极限环。
cchaoschaos【极限环的稳定性极限环的稳定性】稳定的极限环位于环邻域内的每一条相轨线,当时,都处于极限环;对于不稳定的极限环,位于环邻域内的每一条相轨线,当时,都趋向极限环,如图】稳定的极限环位于环邻域内的每一条相轨线,当时,都处于极限环;对于不稳定的极限环,位于环邻域内的每一条相轨线,当时,都趋向极限环,如图8-21所示。
所示。
ttchaoschaos(a)稳定的闭轨道稳定的闭轨道图图8-21周期解的稳定性周期解的稳定性chaoschaos(b)稳定的极限环稳定的极限环图图8-21周期解的稳定性周期解的稳定性chaoschaos(c)不稳定的极限环不稳定的极限环图图8-21周期解的稳定性周期解的稳定性chaoschaos需要指出,只有稳定的极限环才对应于物理上能够实现的周期运动,即自激振荡。
而不稳定的极限环则是不能实现的周期运动,因为只要轨道稍有偏离,则相应的相轨线即会永远离开极限环。
所以说,不稳定的极限环只有理论意义,它在面起到需要指出,只有稳定的极限环才对应于物理上能够实现的周期运动,即自激振荡。
而不稳定的极限环则是不能实现的周期运动,因为只要轨道稍有偏离,则相应的相轨线即会永远离开极限环。
所以说,不稳定的极限环只有理论意义,它在面起到分界线分界线作用。
作用。
chaoschaos2周期分解法周期分解法Case1坐标变换法坐标变换法即通过坐标变换,把方程化为极坐标形式。
因为变换后的方程易于平衡态求解,且极坐标中的平衡态,即对应原坐标的周期解。
即通过坐标变换,把方程化为极坐标形式。
因为变换后的方程易于平衡态求解,且极坐标中的平衡态,即对应原坐标的周期解。
【例【例-5】研究系统】研究系统()()+=+=222211yxyxyyxxyx&在极坐标中有在极坐标中有(8-77)chaoschaos(8-78)由此给出平衡态为由此给出平衡态为=10rr对于对于(8-78)式作积分,因为式作积分,因为(8-79)()=112&rrr()21rrdtdr=可知可知()=dtrrdr21(8-80)chaoschaos(8-80)式左边可化作式左边可化作()()crrdrrrr+=+221ln21112111211(8-81)而而(8-80)式右边则式右边则tdt=(8-82)重新更换常数得到重新更换常数得到=+=10222tKeKertt由由(8-83)式可知,当无论从圆内或圆外的点都趋向的圆。
于是是稳定的极限环。
式可知,当无论从圆内或圆外的点都趋向的圆。
于是是稳定的极限环。
+t1=r1=r(8-83)(8-84)chaoschaos进一步,我们根据进一步,我们根据(8-88)式还可以直接研究和之间的相互关系。
当时式还可以直接研究和之间的相互关系。
当时轨线向内卷缩轨线向内卷缩;而当极限环内的轨线,则有,;而当极限环内的轨线,则有,轨道向外扩展轨道向外扩展。
它们都是从两侧渐进于极限环。
十分显然,这种极限环是稳定的,也即是稳定的周期解。
它们都是从两侧渐进于极限环。
十分显然,这种极限环是稳定的,也即是稳定的周期解。
rr&1r0r&()1r&确定积分常数的条件是确定积分常数的条件是0,0rvt=于是有于是有20201rrK=具体见图具体见图8-22所示。
所示。
chaoschaos图图8-22稳定极限环稳定极限环chaoschaos例例-6作为对称,我们研究如下系统作为对称,我们研究如下系统+=+=)1()1(2222yxyxyyxxyx&=1)1(2&rrr同样化为极坐标同样化为极坐标平衡态与平衡态与例例-5相同是相同是(8-85)(8-86)=10rr(8-87)chaoschaos+=tkert02211(8-89)其中,其中,k是积分常数,设时,于是有是积分常数,设时,于是有0=t0rr=20201rrk=(8-90)(8-88)对对(8-86)式积分得到当处于圆内,这时解为式积分得到当处于圆内,这时解为10r0r0Ktker211=(8-93)于是,当时,。
这表明在的圆外,相轴线向外盘旋,于是的圆是不稳定极限环,如图于是,当时,。
这表明在的圆外,相轴线向外盘旋,于是的圆是不稳定极限环,如图8-23所示。
所示。
t1r1=r1=rchaoschaos图图8-23不稳定的极限环不稳定的极限环chaoschaos和图和图8-22相比较,这个图的轨线改变了方向。
我们再从方程相比较,这个图的轨线改变了方向。
我们再从方程(8-86)去考察:
去考察:
1r,可见外部轨线不断偏离的圆向无穷扩展;,可见外部轨线不断偏离的圆向无穷扩展;0r&,又知内部轨线不断偏离的圆向原点,又知内部轨线不断偏离的圆向原点O卷缩;也就是说是不稳定的极限环。
卷缩;也就是说是不稳定的极限环。
1r0r&1=r1=rchaoschaos极坐标变化法的最大局限是必须默认极限环是圆。
这种机会并不多,如范德堡方程极坐标变化法的最大局限是必须默认极限环是圆。
这种机会并不多,如范德堡方程(8-79),所对应的极坐标形式是,所对应的极坐标形式是()()=cossinsin11cossin122222rrrr&很难求出的平衡态。
很难求出的平衡态。
r(8-94)chaoschaosCase2平均法平均法我们再一次研究范德堡方程我们再一次研究范德堡方程()()2012x&chaoschaos3.周期解的稳定性让我们进一步分析下列具体情况的周期解的稳定性。
假设范德堡方程周期解的稳定性让我们进一步分析下列具体情况的周期解的稳定性。
假设范德堡方程(8-68)存在一个周期解我们计算存在一个周期解我们计算(8-100)式,在周期之内能量式,在周期之内能量E的变化是的变化是(8-101)(8-102)taxcos=()()()()=2022102dtxxEEag&2()()=dttatata22222sinsin1cos22)141(=achaoschaos很清楚,当系统存在极限时,必有这时极限环的平均半径是很清楚,当系统存在极限时,必有这时极限环的平均半径是a=2从概念上,若圆内从概念上,若圆内(a0,g(a)随随a增加而增加,圆内总能量的变化是增加的;若圆外增加而增加,圆内总能量的变化是增加的;若圆外(a2)是正阻尼,那么是正阻尼,那么g(a)0,即,即g(a)随随a的增加而减小,圆外的总能量变化是减少的。
由于圆内外正阻尼情况下两侧总能量变化的最大值向极限环逼近。
所以的增加而减小,圆外的总能量变化是减少的。
由于圆内外正阻尼情况下两侧总能量变化的最大值向极限环逼近。
所以极限环是稳定极限环是稳定的。
的。
(8-103)(8-104)2()0=agchaoschaos【例【例-7】Rayleigh方程我们假定方程我们假定Rayleigh方程仍然存在周期为的解。
则再计算内总能量方程仍然存在周期为的解。
则再计算内总能量E的变化是的变化是(8-105)(8-106)0)31(3=+xxxx&2taxcos=2()()()()=2002dtxxxxEEag&dtxxxxxx+=&)31(3=203)31(dtxxx&()=202222sin1sin31tdtata)14(2=a(8-107)chaoschaos令,又一次可得极限环的平均半径这一极限环也是稳定的。
令,又一次可得极限环的平均半径这一极限环也是稳定的。
(8-108)()0=ag2=achaoschaos4.彭加勒思想事实上,一般系统的周期解十分难求,很多微分方程的解是非初等函数。
彭加勒首先创立了相图法,他把微分方程解看作本身定义的积分曲线簇。
在不求出解的情况下,通过直接考查微分方程的系数(如或彭加勒思想事实上,一般系统的周期解十分难求,很多微分方程的解是非初等函数。
彭加勒首先创立了相图法,他把微分方程解看作本身定义的积分曲线簇。
在不求出解的情况下,通过直接考查微分方程的系数(如或u)及其本身结构来探寻解的性质。
彭加勒研究轨道和界面的相互关系)及其本身结构来探寻解的性质。
彭加勒研究轨道和界面的相互关系这种截面亦称彭加勒截面。
例如,轨道与截面最初交于点,通过非线性映射函数运动后再一次交于点,见图这种截面亦称彭加勒截面。
例如,轨道与截面最初交于点,通过非线性映射函数运动后再一次交于点,见图8-24所示所示nq()nq1+nqchaoschaos图图8-24彭加勒截面彭加勒截面chaoschaos写出即为上式称之为彭加勒映射。
如果轨迹是周期的,即写出即为上式称之为彭加勒映射。
如果轨迹是周期的,即(8-109)映射必有一不动点映射必有一不动点P,有见图,有见图8-24。
这样彭加勒大胆提出思想如图。
这样彭加勒大胆提出思想如图8-25所示。
其核心是代数与几何拓扑的等价性。
所示。
其核心是代数与几何拓扑的等价性。
(8-109)(8-110)()nnqq=+1()PP=chaoschaos图图8-25彭加勒思想彭加勒思想周期轨道的稳定性周期轨道的稳定性不动点不动点P的稳定性的稳定性chaoschaos我们在不动点我们在不动点P的附近作一微小扰动进一步给出的附近作一微小扰动进一步给出Taylor展开为计及的不动点性质,写出展开为计及的不动点性质,写出(8-111)(8-112)()nnPP+=+1()()nPqnnnnqqPP=+=+1()PP=()Pqnnnnnqq=+=1(8-113)chaoschaos稳定的不动点稳定的不动点P应该满足,由此给出不动点的稳定条件是只要满足这一条件就在趋向应该满足,由此给出不动点的稳定条件是只要满足这一条件就在趋向P。
故此时。
故此时P不动点是稳定的。
不动点是稳定的。
Note:
彭加勒思想已经从微分动力系统扩展到离散映射。
这也是他的高明之处。
:
彭加勒思想已经从微分动力系统扩展到离散映射。
这也是他的高明之处。
(8-114)11+nn()1111=1=()*,xfx=()xfdxdf,=不动点是稳定的不动点是不稳定的不动点是稳定的不动点是不稳定的chaoschaos再研究再研究(8-115)的周期轨道及其稳定性,当这个映射经过两次迭代的周期轨道及其稳定性,当这个映射经过两次迭代(8-119)后满足后满足(8-120)我们称之为周期,很明显可重新写出周期是映射我们称之为周期,很明显可重新写出周期是映射(8-121)()()=+121,nnnnxfxxfxnnxx=+2()()()xfxffx2,=chaoschaos的不动点
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