小学数学奥数1--6年级培优讲座、习题集、与答案完整版.pdf
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小学数学奥数小学数学奥数1-6年级培优讲座、年级培优讲座、习题集、与答案完整版习题集、与答案完整版计数问题排列组合讲义计数问题排列组合讲义1、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写,把这3个字母用3种不同颜色来写,现有5种不同颜色的笔,问共有多少钟不同的写法?
分析:
分析:
从5个元素中取3个的排列:
P(5、3)=543=602、从数字0、1、2、3、4、5中任意挑选5个组成能被5除尽且各位数字互异的五位数,那么共可以组成多少个不同的五位数?
分析:
分析:
个位数字是0:
P(5、4)=120;个位数字是5:
P(5、4)P(4、3)=12024=96,(扣除0在首位的排列)合计12096=216另:
此题乘法原理、加法原理结合用也是很好的方法。
3、用2、4、5、7这4个不同数字可以组成24个互不相同的四位数,将它们从小到大排列,那么7254是第多少个数?
分析:
分析:
由已知得每个数字开头的各有244=6个,从小到大排列7开头的从第631=19个开始,易知第19个是7245,第20个7254。
4、有些四位数由4个不为零且互不相同的数字组成,并且这4个数字的和等于12,将所有这样的四位数从小到大依次排列,第24个这样的四位数是多少?
分析:
分析:
首位是1:
剩下3个数的和是11有以下几种情况:
236=11,共有P(3、3)=6个;245=11,共有P(3、3)=6个;首位是2:
剩下3个数的和是10有以下几种情况:
136=10,共有P(3、3)=6个;145=10,共有P(3、3)=6个;以上正好24个,最大的易知是2631。
5、用0、1、2、3、4这5个数字,组成各位数字互不相同的四位数,例如1023、2341等,求全体这样的四位数之和。
分析:
分析:
这样的四位数共有P(4、1)P(4、3)=96个1、2、3、4在首位各有964=24次,和为(1234)100024=240000;1、2、3、4在百位各有2443=18次,和为(1234)10018=18000;1、2、3、4在十位各有2443=18次,和为(1234)1018=1800;1、2、3、4在个位各有2443=18次,和为(1234)118=180;总和为240000180001800180=2599806、计算机上编程序打印出前10000个正整数:
1、2、3、10000时,不幸打印机有毛病,每次打印数字3时,它都打印出x,问其中被错误打印的共有多少个数?
分析:
分析:
共有10000个数,其中不含数字3的有:
五位数1个,四位数共8999=5832个,三位数共899=648个,二位数共89=72个,一位数共8个,不含数字3的共有15832648728=6561所求为100006561=3439个7、在1000到9999之间,千位数字与十位数字之差(大减小)为2,并且4个数字各不相同的四位数有多少个?
分析:
分析:
13结构:
87=56,31同样56个,计112个;24结构:
87=56,42同样56个,计112个;35结构:
87=56,53同样56个,计112个;46结构:
87=56,64同样56个,计112个;57结构:
87=56,75同样56个,计112个;68结构:
87=56,86同样56个,计112个;79结构:
87=56,97同样56个,计112个;20结构:
87=56,以上共112756=840个8、如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读,那么共有多少种不同的选择?
分析:
分析:
因为强调2本书来自不同的学科,所以共有三种情况:
来自语文、数学:
34=12;来自语文、外语:
35=15;来自数学、外语:
45=20;所以共有121520=479、某条铁路线上,包括起点和终点在内原来共有7个车站,现在新增了3个车站,铁路上两站之间往返的车票不一样,那么,这样需要增加多少种不同的车票?
分析:
分析:
方法一:
一张车票包括起点和终点,原来有P(7、2)=42张,(相当于从7个元素中取2个的排列),现在有P(10、2)=90,所以增加9042=48张不同车票。
方法二:
1、新站为起点,旧站为终点有37=21张,2、旧站为起点,新站为终点有73=21张,3、起点、终点均为新站有32=6张,以上共有21216=48张10、7个相同的球放在4个不同的盒子里,每个盒子至少放一个,不同的放法有多少种?
分析:
分析:
因为7=1111111,相当于从6个加号中取3个的组合,C(6、3)=20种11、从19、20、21、22、93、94这76个数中,选取两个不同的数,使其和为偶数的选法总数是多少?
分析:
分析:
76个数中,奇数38个,偶数38个偶数偶数=偶数:
C(38、2)=703种,奇数奇数=偶数:
C(38、2)=703种,以上共有703703=1406种12、用两个3,一个1,一个2可组成若干个不同的四位数,这样的四位数一共有多少个?
分析:
分析:
因为有两个3,所以共有P(4、4)2=12个13、有5个标签分别对应着5个药瓶,恰好贴错3个标签的可能情况共有多少种?
分析:
分析:
第一步考虑从5个元素中取3个来进行错贴,共有C(5、3)=10,第二步对这3个瓶子进行错贴,共有2种错贴方法,所以可能情况共有102=20种。
14、有9张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张,标有数码“2”的有2张,标有数码“3”的有3张,标有数码“4”的有3张,把这9张圆形纸片如呼所示放置在一起,但标有相同数码的纸片不许*在一起。
如果M处放标有数码“3”的纸片,一共有多少种不同的放置方法?
如果M处放标有数码“2”的纸片,一共有多少种不同的放置方法?
分析:
分析:
如果M处放标有数码“3”的纸片,只有唯一结构:
在剩下的6个位置中,3个“4”必须隔开,共有奇、偶位2种放法,在剩下的3个位置上“1”有3种放法(同时也确定了“2”的放法)。
由乘法原理得共有23=6种不同的放法。
如果M处放标有数码“2”的纸片,有如下几种情况:
结构一:
3个“3”和3个“4”共有2种放法,再加上2和1可以交换位置,所以共有22=4种;结构二:
3个“4”有奇、偶位2种选择(相应的“1”也定了,只能*着已有的“3”,加上2和3可以交换,所以共有22=4种;结构三:
3个“3”有奇、偶位2种选择,“1”有唯一选择,只能*到已有的“4”,加上2和4可以交换位置,所以共有22=4种,以上共有444=12种不同的放法。
15、一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。
问:
如果4个舞蹈节目要排在一起,有多少种不同的安排顺序?
如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目,一共有多少种不同的安排顺序?
分析:
分析:
4个舞蹈节目要排在一起,好比把4个舞蹈?
在一起看成一个节目,这样和6个演唱共有7个节目,全排列7!
,加上4个舞蹈本身也有全排4!
,所以共有7!
4!
=120960种。
4个舞蹈必须放在6个演唱之间,6个演唱包括头尾共有7个空档,7个空档取出4个放舞蹈共有P(7、4),加上6个演唱的全排6!
,共有P(7、4)6!
=604800种。
行程问题讲义行程问题讲义1、甲、乙两地相距6千米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行70米。
问他走后一半路程用了多少分钟?
分析:
分析:
解法、全程的平均速度是每分钟(80+70)/2=75米,走完全程的时间是6000/75=80分钟,走前一半路程速度一定是80米,时间是3000/80=37.5分钟,后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟解法2:
设走一半路程时间是x分钟,则80*x+70*x=6*1000,解方程得:
x=40分钟因为80*40=3200米,大于一半路程3000米,所以走前一半路程速度都是80米,时间是3000/80=37.5分钟,后一半路程时间是40+(40-37.5)=42.5分钟答:
他走后一半路程用了42.5分钟。
2、小明从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路、一半下坡路。
小明上学走两条路所用的时间一样多。
已知下坡的速度是平路的1.5倍,那么上坡的速度是平路的多少倍?
分析:
分析:
解法1:
设路程为180,则上坡和下坡均是90。
设走平路的速度是2,则下坡速度是3。
走下坡用时间90/3=30,走平路一共用时间180/2=90,所以走上坡时间是90-30=60走与上坡同样距离的平路时用时间90/2=45因为速度与时间成反比,所以上坡速度是下坡速度的45/60=0.75倍。
解法2:
因为距离和时间都相同,所以平均速度也相同,又因为上坡和下坡路各一半也相同,设距离是1份,时间是1份,则下坡时间=0.5/1.5=1/3,上坡时间=1-1/3=2/3,上坡速度=(1/2)/(2/3)=3/4=0.75解法3:
因为距离和时间都相同,所以:
1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1,得:
上坡速度=0.75答:
上坡的速度是平路的0.75倍。
3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时,回来时顺水,比去时的速度每小时多行驶8千米,因此第二小时比第一小时多行驶6千米。
那么甲、乙两地之间的距离是多少千米?
分析:
分析:
解法,第二小时比第一小时多走6千米,说明逆水走1小时还差6/2=3千米没到乙地。
顺水走1小时比逆水多走8千米,说明逆水走3千米与顺水走8-3=5千米时间相同,这段时间里的路程差是5-3=2千米,等于1小时路程差的1/4,所以顺水速度是每小时5*4=20千米(或者说逆水速度是3*4=12千米)。
甲、乙两地距离是12*1+3=15千米解法,顺水每小时比逆水多行驶8千米,实际第二小时比第一小时多行驶6千米,顺水行驶时间=6/8=3/4小时,逆水行驶时间=2-3/4=5/4,顺水速度:
逆水速度=5/4:
3/4=5:
3,顺水速度=8*5/(5-3)=20千米/小时,两地距离=20*3/4=15千米。
答:
甲、乙两地距离之间的距离是15千米。
4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站,每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站,全程要走15分钟。
有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。
他出发的时候,恰好有一辆电车到达乙站。
在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。
到达甲站时,恰好又有一辆电车从甲站开出。
问他从乙站到甲站用了多少分钟?
分析:
分析:
骑车人一共看到12辆车,他出发时看到的是15分钟前发的车,此时第4辆车正从甲发出。
骑车中,甲站发出第4到第12辆车,共9辆,有8个5分钟的间隔,时间是5*8=40(分钟)。
答:
他从乙站到甲站用了40分钟。
5、甲、乙两人在河中游泳,先后从某处出发,以同一速度向同一方向游进。
现在甲位于乙的前方,乙距起点20米,当乙游到甲现在的位置时,甲将游离起点98米。
问:
甲现在离起点多少米?
分析:
分析:
甲、乙速度相同,当乙游到甲现在的位置时,甲也又游过相同距离,两人各游了(98-20)/2=39(米),甲现在位置:
39+20=59(米)答:
甲现在离起点59米。
6、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出,甲每小时行56
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