用导数研究函数性态.pdf
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2011-3-4专升本微积分课程辅导专升本微积分课程辅导信息管理学院数学与管理工程系信息管理学院数学与管理工程系易伟明易伟明信息管理学院数学与管理工程系信息管理学院数学与管理工程系易伟明易伟明电话:
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2011-3-42一、函数单调性的判别一、函数单调性的判别一、函数单调性的判别一、函数单调性的判别xxxxyyyyoooo)(xxxxffffyyyy=xxxxyyyyoooo)(xxxxffffyyyy=aaaabbbbAAAABBBB0000)(xxxxffff0000)(xxxxffffaaaabbbbBBBBAAAA4.34.34.34.3用导数研究单调性、极值和最值用导数研究单调性、极值和最值用导数研究单调性、极值和最值用导数研究单调性、极值和最值2011-3-43()(,)()0,(,),()(,)()0,(,),1()(,)fxabfxabfxabfxabfxxabfxfxxabfxfxxabfxfxxabfxababababfxxabfxfxxabfxfxxabfxfxxabfxabababab设设函函数数在在区区间间内内可可导导,则则有有
(1)
(1)如如果果那那么么在在区区间间;内内单单调调增增加加
(2)
(2)如如果果那那么么在在区区间间定定理理内内单单调调减减少少.2011-3-44例例1111讨论函数讨论函数yyyy=xxxxsinxsinxsinxsinx的单调性。
的单调性。
解解yyyy=1=1=1=1cosxcosxcosxcosx0000,仅,仅xxxx=2=2=2=2kkkk(kkkk=0,=0,=0,=0,1,1,1,1,)取等号;取等号;yyyy=xxxxsinxsinxsinxsinx在在(,+)上单调增加上单调增加24681012246810122011-3-45二、单调区间求法二、单调区间求法二、单调区间求法二、单调区间求法问题问题问题问题:
函数在定义区间上不都是单调的,但在函数在定义区间上不都是单调的,但在各个部分区间上单调各个部分区间上单调定义定义定义定义:
若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间的,则该区间称为函数的单调区间.注意:
注意:
导数等于零导数等于零的点和不可导点,的点和不可导点,都可能是单调区间都可能是单调区间的分界点的分界点5xxxxxyyyyooooab1x2x3x4x)(xfy=2011-3-46确定函数单调区间的步骤:
确定函数单调区间的步骤:
确定函数单调区间的步骤:
确定函数单调区间的步骤:
1111)确定函数)确定函数ffff(xxxx)的定义域;的定义域;2222)以)以ffff(xxxx)=0)=0)=0)=0和和ffff(xxxx)不存在的点为分界点,把不存在的点为分界点,把定义域分成若干区间;定义域分成若干区间;3333)在各部分区间上判别)在各部分区间上判别ffff(xxxx)的符号,确定的符号,确定ffff(xxxx)的单调性,从而确定单调区间。
的单调性,从而确定单调区间。
2011-3-47例例例例2222解解解解32()29123.fxxxxfxxxxfxxxxfxxxx=+确确定定的的单单调调区区间间).).).).,(:
+DDDD12121212181818186666)(2222+=xxxxxxxxxxxxffff)2222)()()()(1111(6666=xxxxxxxx得,得,解方程解方程0000)(=xxxxffff.2222,111122221111=xxxxxxxx单增区间为单增区间为(,)(2,)+1111(,)12121212)1111,()2222,1111(),2222(+yyyyxxxxyyyy+单减区间为单减区间为2011-3-48解解
(1)
(1)
(1)
(1)定义域定义域()+,32)25()(xxxf=例例3333确定函数确定函数的单调区间的单调区间.
(2)
(2)
(2)
(2)(xf332132)25(xxx+=3135xx=0)(=xf令令,xxxx=11111111,得得当当02=x时时,)(xf不存在不存在,(3)(3)(3)(3)列表列表:
x)(xf)(xf)0,()1,0(),1(+增增减减增增函数函数)(xf的的单增单增区间为区间为:
0,().,1(+单减单减区间为区间为:
.1,0(2011-3-49.)(33332222的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxxxxxxxffff=).).).).,(:
+DDDD)0000(,33332222)(3333=xxxxxxxxxxxxffff.,0000导数不存在导数不存在时时当当=xxxx时,时,当当0000xxxxffff上单调增加;上单调增加;在在),0000+时,时,当当+xxxx0000,0000)(xxx证明证明令令1()2(3)fxxfxxfxxfxxxxxx=)(xf)1(12=xxx)1()(fxfxxx1321时,即211xx=0)(xf),1+,即即)(xf在在上单增上单增,当当1x时时,0,=当当1x时时,三、利用单调性证明不等式三、利用单调性证明不等式三、利用单调性证明不等式三、利用单调性证明不等式2011-3-411证证证证例例例例5555证明证明22224lnln().eabebabaeabebabaeabebabaeabebabaeeee2()ln,(),(,)fxxfxababfxxfxababfxxfxababfxxfxabab=设设则则在在上上连连续续,在在内内可可导导.lng(),ttttttettettettetttt=又设又设2222221lng(),g()0g()lnln2g()g()ttttttettttettttettttetttttteeeeeeeeeeeeeeeeeeee=2224lnln().babababababababaeeee222lnlnln(),babaabbabaabbabaabbabaab=0000时,时,sin.xxxxxxxxxxxx33336666令令()sinxxxxFxxxFxxxFxxxFxxx=+33336666()cosxxxxFxxFxxFxxFxx=+222211112222sin()(sin)xxxxxxxxxxxxxxxx=+=22222222222222222202202202202222222222222222FFFF(xxxx)在在(0,+(0,+(0,+(0,+)内单调上升,内单调上升,又又FFFF(0)=0(0)=0(0)=0(0)=0,FFFF(xxxx)在在xxxx=0=0=0=0处连续,处连续,()sinsin.xxxxxxxxFxxxxxFxxxxxFxxxxxFxxxxx+333333330000000066666666练习练习练习练习证明证明证明证明2011-3-413()cosxxxxFxxFxxFxxFxx=+222211112222sinsin.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+33333333000066666666即即()sinFxxxFxxxFxxxFxxx=+()1cos0()()(0)0()()(0)0()()(0)0FxxFxxFxxFxxFxFxFFxFxFFxFxFFxFxFFxFxFFxFxFFxFxFFxFxFFxFxFFxFxFFxFxFFxFxF=证证证证22222011-3-414.)1111ln(ln(ln(ln(2222/,00002222成立成立试证试证时时当当xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+),),),),1111ln(ln(ln(ln()(xxxxxxxxxxxxffff+=设设.1111)(xxxxxxxxxxxxffff+=则则,0000)(),0000(,),0000)(+xxxxffffxxxxffff可导,可导,且在且在上连续上连续在在上单调增加;上单调增加;在在),0000+,0000)0000(=ffff时,时,当当0000xxxx,0000)1111ln(ln(ln(ln(+xxxxxxxx).).).).1111ln(ln(ln(ln(xxxxxxxx+即即),),),),1111ln(ln(ln(ln(2222/)(2222xxxxxxxxxxxxxxxxgggg+=设设。
练习练习练习练习解解解解2011-3-4152()()()()()()fxxafxfaFxxa=则(),fxabfxabfxabfxab在在上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理,()()()()fxfafxaax=设设在在上上连连续续例例,且且在在内内证证明明在在内内单单增增.()()(),(,)fxfafxfafxfafxfaFxxabFxxabFxxabFxxabxaxaxaxa=设设证证明明四、证明函数的单调性及相关问题四、证明函数的单调性及相关问题四、证明函数的单调性及相关问题四、证明函数的单调性及相关问题2011-3-416(,)()0xabfx又当时,()(,)fxab在内单调递增.()()bxafxf故当时,2()()()()()()()()0,fxxafxaFxxafxfxa=从而()()()(,)fxfaFxabxa=在内单调递增.2011-3-417例例例例7777解解解解.)11111111(,0000的单调性的单调性函数函数时时讨论讨论xxxxxxxxyyyyxxxx+=)(11111111)11111111ln(ln(ln(ln()11111111ln(ln(ln(ln()11111111ln(ln(ln(ln(xxxxeeeexxxxxxxxeeeeyyyyxxxxxxxxxxxxxxxx=+=+,0000,0000)11111111ln
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- 导数 研究 函数