自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案.docx
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自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
1、已知的定义域为R,且对任意实数x,y满足,求
证:
是偶函数。
2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).
(1)求f
(1),f(-1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.
3、函数f(x)对任意x、y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,
(1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
4、已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f(
)=-1,当且仅当0 ),试证明 (1)f(x)为奇函数; (2)f(x)在(-1,1)上单调递减 5、已知 是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的 都满足: . (1)求 的值; (2)判断 的奇偶性,并证明你的结论; 6、定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证: f(0)=1; (2)求证: 对任意的x∈R,恒有f(x)>0; (3)证明: f(x)是R上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值围。 7、已知函数 的定义域为R,对任意实数 都有 且 当 时, >0. (1)求 ; (2)判断函数 的单调性,并证明. 8、函数 的定义域为R,并满足以下条件: ①对任意 有 >0;②对任意 有 ;③ . (1)求 的值; (2)求证: 在R上是单调减函数; 9、已知函数 的定义域为R,对任意实数 都有 且当 时, . (1)证明: ; (2)证明: 在R上单调递减; 10、函数 对于x>0有意义,且满足条件 减函数。 (1)证明: ; (2)若 成立,求x的取值围。 11、定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b), (3)求证: f(0)=1; (4)求证: 对任意的x∈R,恒有f(x)>0; (3)证明: f(x)是R上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值围。 12、已知函数 在R上有定义,对任意的 有 且 (1)求证: 为奇函数 (2)若 ,求 的值 13、已知函数 对任意实数 恒有 且当x>0, (1)判断 的奇偶性; (2)求 在区间[-3,3]上的最大值; (3)解关于 的不等式 14、定义在R上的函数f(x)对任意实数a、b都有 f(a+b)+f(a-b)=2f(a)·f(b)成立,且 。 (1)求f(0)的值; (2)试判断f(x)的奇偶性; 15、已知定义在 上的函数 满足: (1)值域为 ,且当 时, ; (2)对于定义域任意的实数 ,均满足: 试回答下列问题: (Ⅰ)试求 的值; (Ⅱ)判断并证明函数 的单调性; 16、定义域为R的函数f(x)满足: 对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时f(x)<0恒成立. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (2)证明f(x)为减函数;若函数f(x)在[-3,3)上总有f(x)≤6成立,试确定f (1)应满足的条件; 参考答案 1、分析: 在中,令,得 令,得于是 故是偶函数 2、解析: (1)∵f(x)对任意x,y都有 f(xy)=yf(x)+xf(y), 令x=y=1,有f(1×1)=1·f (1)+1·f (1). ∴f (1)=0,令x=y=-1,有 f[(-1)×(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1), ∴f(-1)=0. (2)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y), 令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x). ∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数. 3、解析: (1)令x=y=0,f(0)=0,令x=-y,可得f(-x)=-f(x), 设x1、x2∈(-∞,+∞)且x1>x2, 则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2) ∵x1>x2,∴x1-x2>0.又∵x>0时,f(x)<0. ∴f(x1-x2)<0.即f(x1)-f(x2)<0. 由定义可知f(x)在区间(-∞,+∞)上为单调递减函数. (2)∵f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数.∴f(-3)最大,f(3)最小. f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在[-3,3]上最大值为2,最小值为-2. 4、思路分析: 对于 (1),获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键;对于 (2),判定 的围是焦点 证明 (1)由f(x)+f(y)=f( )可令x=y=0,得f(0)=0, 令y=-x,得f(x)+f(-x)=f( )=f(0)=0 ∴f(x)=-f(-x) ∴f(x)为奇函数 (2)先证f(x)在(0,1)上单调递减 令0 ) ∵0 >0, 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,∴x2-x1<1-x2x1, ∴0< <1,由题意知f( )<0,即 f(x2) ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0 ∴f(x)在(-1,1)上为减函数 5、 (1)解: 令 ,则 令 ,则 (2)证明: 令 ,则 ,∵ ,∴ 令 ,则 ∴ 是奇函数。 6、解: (1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0∴f(0)=1 (2)令a=x,b=-x则f(0)=f(x)f(-x)∴ 由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0 ∴ 又x=0时,f(0)=1>0 ∴对任意x∈R,f(x)>0 (3)任取x2>x1,则f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴ ∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0), f(x)在R上递增 ∴由f(3x-x2)>f(0)得: 3x-x2>0∴0 7、 (1)解: 令 ,则 (2)任取 则 = ∴ ∴函数 是R上的单调增函数. 8、 (1)解: ∵对任意 有 >0,∴令 得, (2)任取任取 则令 故 ∵函数 的定义域为R,并满足以下条件: ①对任意 有 >0;②对 任意 有 ;③ ∴ ∴ ∴函数 是R上的单调减函数. 9、解: (1)证明: 令 则 ∵当 时, 故 ∴ ∵当 时, ∴当 时, 则 (2)证明: 任取 则 ∵ ∴0< 故 <0,又∵ ∴ 故 ∴函数 是R上的单调减函数. 10、 (1)证明: 令 ,则 ,故 (2)∵ ,令 ,则 , ∴ ∴ 成立的x的取值围是 。 11、解 (1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0∴f(0)=1 (2)令a=x,b=-x则f(0)=f(x)f(-x)∴ 由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0 ∴ 又x=0时,f(0)=1>0 ∴对任意x∈R,f(x)>0 (3)任取x2>x1,则f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴ ∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0), f(x)在R上递增 ∴由f(3x-x2)>f(0)得: 3x-x2>0∴0 12、解: (1)对 ,令x=u-v则有 (2)f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x) (2) f (2)=f{1-(-1)}=f (1)g(-1)-g (1)f(-1)=f (1)g(-1)+g (1)f (1)=f (1){g(-1)+g (1)} ∵f (2)=f (1)≠0 ∴g(-1)+g (1)=1 13、解 (1)取 则 取 对任意 恒成立∴ 为奇函数. (2)任取 ,则 www.ks5u 又 为奇函数 ∴ 在(-∞,+∞)上是减函数. 对任意 ,恒有 而 ∴ 在[-3,3]上的最大值为6 (3)∵ 为奇函数,∴整理原式得 进一步可得 而 在(-∞,+∞)上是减函数, 当 时, 当 时, 当 时, 当 时, 当a>2时, 14、解: (1)令a=b=0 则f(0)+f(0)=2f(0)·f(0) 所以2f(0)·[f(0)-1]=0 又因为 ,所以f(0)=1 (2)令a=0,b=x,则f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x) 由f(0)=1可得f(-x)=f(x) 所以f(x)是R上的偶函数。 15、解: (Ⅰ)在 中,令 ,则有 .即: .也即: . 由于函数 的值域为 ,所以, ,所以 . (Ⅱ)函数 的单调性必然涉及到 ,于是,由已知 ,我们可以联想到: 是否有 ? (*) 这个问题实际上是: 是否成立? 为此,我们首先考虑函数 的奇偶性,也即 的关系.由于 ,所以,在 中,令 ,得 .所以,函数 为奇函数.故(*)式成立.所以, .任取 ,且 ,则 ,故 且 .所以, ,所以,函数 在R上单调递减. 16、解: (1)由已知对于任意x∈R,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)恒成立 令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0 令x=-y,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=0∴对于任意x,都有f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数. (2)设任意x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0,由已知f(x2-x1)<0 (1) 又f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1) (2) 由 (1) (2)得f(x1)>f(x2),根据函数单调性的定义知f(x0在(-∞,+∞)上是减函数. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3).要使f(x)≤6恒成立,当且仅当f(-3)≤6, 又∵f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-[f (2)+f (1)]=-[f (1)+f (1)+f (1)]=-3f (1), ∴f (1)≥-2. (3) f(ax2)-f(x)> f(a2x)-f(a) f(ax2)-f(a2x)>n[f(x)-f(a)] f(ax2-a2x)>nf(x-a)(10分) 由已知得: f
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