高数下册知识点.pdf
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高等数学(下)知识点第1页共31页高等数学下册高等数学下册(同济大学第同济大学第七七版版)知识点知识点高等数学(下)知识点第2页共31页高等数学下高等数学下册册知识点知识点下册预备知识下册预备知识第第八八章章空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数
(一)
(一)向量及其线性运算向量及其线性运算11、向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;22、线性运算:
加减法、数乘线性运算:
加减法、数乘;33、空间直角坐标系:
坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式空间直角坐标系:
坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;44、利用坐标做向量的运算:
利用坐标做向量的运算:
设设),(zyxaaaa,),(zyxbbbb,则则),(zzyyxxbabababa,),(zyxaaaa;55、向量的模、方向角、投影:
向量的模、方向角、投影:
11)向量的模:
向量的模:
222zyxr;22)两点间的距离公式:
两点间的距离公式:
212212212)()()(zzyyxxBA33)方向角:
非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向角:
非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,44)方向余弦:
方向余弦:
rzryrxcos,cos,cos1coscoscos22255)投影:
投影:
cosPraaju,其中其中为向量为向量a与与u的夹角。
的夹角。
(二)
(二)数量积,向量积数量积,向量积11、数量积数量积:
cosbaba11)2aaa高等数学(下)知识点第3页共31页22)ba0bazzyyxxbabababa22、向量积向量积:
bac大小:
大小:
sinba,方向:
,方向:
cba,符合右手规则符合右手规则11)0aa22)ba/0bazyxzyxbbbaaakjiba运算律:
反交换律运算律:
反交换律baab(三)(三)曲面及其方程曲面及其方程11、曲面方程的概念:
曲面方程的概念:
0),(:
zyxfS22、旋转曲面:
旋转曲面:
yoz面上曲线面上曲线0),(:
zyfC,绕绕y轴旋转一周:
轴旋转一周:
0),(22zxyf绕绕z轴旋转一周:
轴旋转一周:
0),(22zyxf33、柱面柱面:
0),(yxF表示母线平行于表示母线平行于z轴,准线为轴,准线为00),(zyxF的柱面的柱面44、二次曲面二次曲面高等数学(下)知识点第4页共31页11)椭圆锥面椭圆锥面:
22222zbyax22)椭球面椭球面:
1222222czbyax旋转椭球面:
旋转椭球面:
1222222czayax33)单叶双曲面单叶双曲面:
1222222czbyax44)双叶双曲面双叶双曲面:
1222222czbyax55)椭圆抛物面椭圆抛物面:
zbyax222266)双曲抛物面(马鞍面)双曲抛物面(马鞍面):
zbyax222277)椭圆柱面椭圆柱面:
12222byax88)双曲柱面双曲柱面:
12222byax99)抛物柱面抛物柱面:
ayx2(四)(四)空间曲线及其空间曲线及其方程方程高等数学(下)知识点第5页共31页11、一般方程:
一般方程:
0),(0),(zyxGzyxF22、参数方程:
参数方程:
)()()(tzztyytxx,如,如螺旋线:
螺旋线:
btztaytaxsincos33、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影0),(0),(zyxGzyxF,消去,消去z,得到,得到曲线在面曲线在面xoy上的投影上的投影00),(zyxH(五)(五)平面及其方程平面及其方程11、点法式方程:
点法式方程:
0)()()(000zzCyyBxxA法向法向量:
量:
),(CBAn,过点,过点),(000zyx22、一般式方程:
一般式方程:
0DCzByAx截距式方程:
截距式方程:
1czbyax33、两平面的夹角:
两平面的夹角:
),(1111CBAn,),(2222CBAn,222222212121212121cosCBACBACCBBAA210212121CCBBAA21/212121CCBBAA44、点点),(0000zyxP到平面到平面0DCzByAx的距离:
的距离:
高等数学(下)知识点第6页共31页222000CBADCzByAxd(六)(六)空间直线及其方程空间直线及其方程11、一般式方程:
一般式方程:
0022221111DzCyBxADzCyBxA22、对称式(点向式)方程:
对称式(点向式)方程:
pzznyymxx000方向向量:
方向向量:
),(pnms,过点,过点),(000zyx33、参数式方程参数式方程:
ptzzntyymtxx00044、两直线的夹角两直线的夹角:
),(1111pnms,),(2222pnms,222222212121212121cospnmpnmppnnmm21LL0212121ppnnmm21/LL212121ppnnmm55、直线与平面的夹角直线与平面的夹角:
直线与它在平面上的投影的夹角,:
直线与它在平面上的投影的夹角,222222sinpnmCBACpBnAm/L0CpBnAmLpCnBmA高等数学(下)知识点第7页共31页第第九九章章多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用
(一)
(一)基本概念基本概念(了解)(了解)11、距离,距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集域,有界集,无界集。
22、多元函数多元函数:
),(yxfz,图形,图形:
(了解)(了解)33、极限极限:
Ayxfyxyx),(lim),(),(0044、连续连续:
),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx55、偏导偏导数数:
xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(000000066、方向导数方向导数:
coscosyfxflf其中其中,为为l的方向角的方向角。
77、梯度:
梯度:
),(yxfz,则,则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。
88、全微分:
设全微分:
设),(yxfz,则,则dddzzzxyxy
(二)
(二)性质性质11、函数函数可微,偏导连续,可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
高等数学(下)知识点第8页共31页22、闭区域闭区域上上连续连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)33、微分法微分法11)定义:
定义:
ux22)复合函数复合函数求导求导:
链式法则:
链式法则z若若(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy,则,则vyzzuzvxuxvx,zzuzvyuyvy33)隐函数隐函数求导求导:
两边求偏导,然后解方程(组)两边求偏导,然后解方程(组)(三)(三)应用应用11、极值极值11)无条件极值:
无条件极值:
求函数求函数),(yxfz的极值的极值解方程组解方程组00yxff求出所有求出所有驻点驻点,对于每一个驻对于每一个驻点点),(00yx,令,令),(00yxfAxx,),(00yxfBxy,),(00yxfCyy,若若02BAC,0A,函数有极小值,函数有极小值,若若02BAC,0A,函数有极大值;,函数有极大值;偏导数存在偏导数存在函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续充分条件充分条件必要必要条件条件定义定义12234高等数学(下)知识点第9页共31页若若02BAC,函数没有极值;,函数没有极值;若若02BAC,不定。
,不定。
22)条件极值:
求函数条件极值:
求函数),(yxfz在条件在条件0),(yx下的极值下的极值令:
令:
),(),(),(yxyxfyxLLagrangeLagrange函数函数解方程组解方程组0),(00yxLLyx22、几何应用几何应用11)曲线的切线与法平面曲线的切线与法平面曲线曲线)()()(:
tzztyytxx,则,则上一点上一点),(000zyxM(对应参数为(对应参数为0t)处的)处的切线方程为:
切线方程为:
)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为:
法平面方程为:
0)()()(000000zztzyytyxxtx22)曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线曲面曲面0),(:
zyxF,则,则上一点上一点),(000zyxM处的处的切平面方程为:
切平面方程为:
0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为:
法线方程为:
),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx复习重点复习重点第第11节节:
例:
例44,例,例88,习题,习题99-11的第的第66大题大题第第22节:
这一节必考,例题(除了例节:
这一节必考,例题(除了例55)和所有习题都要做)和所有习题都要做高等数学(下)知识点第10页共31页第第33节:
例节:
例11-33,习题,习题99-33的第的第11,22大题大题第第44节:
该节必考,例节:
该节必考,例11-44,习题,习题99-44的前的前1212大题大题第第55节:
定理节:
定理11和和22记住结论,定理记住结论,定理33会方法,不要记结论,例会方法,不要记结论,例11-33习题习题99-55,除了,除了6,116,11,其他题目都很重要,其他题目都很重要第第66节:
该节也很重要,例节:
该节也很重要,例11-77,习题,习题99-66的的前前1212题题第第77节:
例节:
例11-66,习题,习题99-77除了除了99(偏导数存在,连续,方向导数存在三者没有关系)(偏导数存在,连续,方向导数存在三者没有关系)第第88节:
极值的必要、充分条件(特别是充分条件),注意最值可能在边界取到,节:
极值的必要、充分条件(特别是充分条件),注意最值可能在边界取到,注意讨论注意讨论,例,例44-88,习题,习题99-88所有题所有题(本节容易作为压轴题)(本节容易作为压轴题)总总习题习题九:
九:
1,6,9,11,131,6,9,11,13-1818第第十十章章重积分重积分
(一)
(一)二重积分二重积分11、定义定义:
nkkkkDfyxf10),(limd),(22、性质:
(性质:
(66条)条),特别注意性质,特别注意性质33和和5533、几何意义:
曲顶柱体的体积。
几何意义:
曲顶柱体的体积。
44、计算:
计算:
11)直角坐标直角坐标bxaxyxyxD)()(),(21,21()()(,)ddd(,)dbxaxDfxyxyxfxyy高等数学(下)知识点第11页共31页dycyxyyxD)()(),(21,21()()(,)ddd(,)ddycyDfxyxyyfxyx22)极坐标极坐标)()(),(21D21()()(,)dd(cos,sin)dDfxyxydf-“先先后后”
(二)
(二)三重积分三重积分11、定义:
定义:
nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(22、性质:
性质:
33、计算:
计算:
11)直角坐标直角坐
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