实变函数知识点总结.pdf
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实变函数知识点总结.pdf
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第一章第一章集集合合1集合的运算1集合的运算一、集合的概念一、集合的概念定义1设有两个集合A,B。
若定义1设有两个集合A,B。
若xA,必有,必有xB,则称A是B的子集或B包含A,记为,则称A是B的子集或B包含A,记为ABBA或。
若。
若AB,且存在,且存在xB满足满足xA,则称A是B的真子集。
若,则称A是B的真子集。
若ABBA且,则称A与B相等或相同。
定义2设,则称A与B相等或相同。
定义2设是一个非空集合,对于每个是一个非空集合,对于每个,指定一个集合,指定一个集合A,于是得到许多集合,它们的总体称为集合族,记为,于是得到许多集合,它们的总体称为集合族,记为|A或或A。
二、集合的运算二、集合的运算定义3设A,B是两个集合。
(1)称集合定义3设A,B是两个集合。
(1)称集合|ABxxAxB=或为A与B的并集,即由A与B的全部元素构成的集合;
(2)称集合为A与B的并集,即由A与B的全部元素构成的集合;
(2)称集合|ABxxAxB=且为A与B的交集,即由A与B的公共元素构成的集合;为A与B的交集,即由A与B的公共元素构成的集合;定理1定理1
(1)交换律
(1)交换律ABBA=,ABBA=;
(2)结合律
(2)结合律()()ABCABC=,()()ABCABC=;(3)分配律;(3)分配律()()()ABCABAC=()()()ABCABAC=。
更一般地有(4)。
更一般地有(4)()()ABAB=;(5);(5)()()ABAB=;(6)设;(6)设nA和和nB为两集列,有为两集列,有()111nnnnnnnABAB=。
定义4设A,B是两个集合,称集合。
定义4设A,B是两个集合,称集合|ABxxAxB=且是A和B的差集,即在集合中而不在集合B中的一切元素构成的集合。
如果是A和B的差集,即在集合中而不在集合B中的一切元素构成的集合。
如果BA,则称,则称AB为B相对于A的补集或余集。
为B相对于A的补集或余集。
定理2定理2
(1)
(1)(),ccccccAAXAAAAXX=;
(2)
(2)AB=cAB;(3)若;(3)若AB,则,则ccAB;(4)若;(4)若AB=,则,则cAB;(5);(5)()()()()(),ABCACBCABCABC=。
定理3定理3(DMorgan法则)(DMorgan法则)
(1)
(1)()XAXA=;
(2);
(2)()XAXA=;特别的,若X为全集,有(3);特别的,若X为全集,有(3)()ccAA=;(4);(4)()ccAA=。
定义5设X与Y是两个集合,称集合。
定义5设X与Y是两个集合,称集合(),|,XYxyxXyY=是X与Y的直积集,简称X与Y的直积,其中是X与Y的直积集,简称X与Y的直积,其中()()1122,xyxy=是指是指12xx=且且12yy=。
三、集合列的极限集三、集合列的极限集定义6设定义6设kA是一列集合,分别称集合是一列集合,分别称集合lim|kkAx=k存在无穷多个k,使xAlim|kkAx=k只有有限个k,使xA是集合列是集合列kA的上极限集与下极限集。
的上极限集与下极限集。
注解注解:
limkkxA存在存在kA的子集列的子集列ikA,使使ikxA,1,2i=?
;limkkxA存在存在0N,当,当kN时,时,kxA;11limlimkkkkkkkkAAAA=定理4定理4设集列设集列kA,则
(1),则
(1)1limkkknknAA=;
(2)
(2)1limkknknkAA=。
注解注解:
()limlimkkkkEAEA=()limlimkkkkEAEA=定理5定理5
(1)若
(1)若kA是单调递增集列,则是单调递增集列,则1limkkkkAA=
(2)若
(2)若kA是单调递减集列,则是单调递减集列,则1limkkkkAA=四、集类四、集类定义8设X为一个集合,定义8设X为一个集合,是X上的一个非空集类,如果对任何是X上的一个非空集类,如果对任何12,EE,都有,都有1212,EEEE,则称,则称为X上的一个环。
如果还有为X上的一个环。
如果还有X,则称,则称为X上的一个代数或域。
如果对任何一列为X上的一个代数或域。
如果对任何一列kE,均有,均有121,kkEEE=,则称,则称为X上的为X上的环,如果还有环,如果还有X,则称则称为X上的一个为X上的一个代数或代数或域。
域。
定理6定理6若若为环,则为环,则
(1)
(1)
(2)任意
(2)任意12,EE,有,有12EE(3)若(3)若()是X上的环(或代数),则是X上的环(或代数),则是X上的环(或代数)。
是X上的环(或代数)。
定理7定理7设设为为环,则环,则
(1)
(1)为环;
(2)对任意为环;
(2)对任意,1,2,nEn=?
有有1nnE=;(3)对任意;(3)对任意,1,2,nEn=?
有有lim,limnnnnEE;(4);(4)()为X上为X上环(环(代数),则代数),则是X上是X上环(环(代数)。
代数)。
定理8定理8设设A是由X的某些子集构成的集类,则存在唯一的环(或代数,是由X的某些子集构成的集类,则存在唯一的环(或代数,环,环,代数)代数),使,使
(1)
(1)A;
(2)任何包含;
(2)任何包含A的环(或代数,或的环(或代数,或环或环或代数)代数)*,必有,必有*。
定义9定理8中的环(或代数,或。
定义9定理8中的环(或代数,或环或环或代数)代数)称为称为由集类由集类A所张成的环所张成的环(或代数,或(或代数,或环或环或代数),并用代数),并用()A(或(或()A或或()A或或()A)来表示。
例题:
设X为一非空集合,)来表示。
例题:
设X为一非空集合,AA为X的单点集全体所成的集类,则由为X的单点集全体所成的集类,则由集类集类AA所张成的环所张成的环()A=|BB是X的有限子集若X为有限集,若X为有限集,()A也是代数、也是代数、环、环、代数代数若若|nXanN=,则,则()A=|BB是X的有限子集()A=()A=2A=|BBX22集合的势集合的势一、映射一、映射定义1有关映射的一些概念(舍)见教材P9。
定义1有关映射的一些概念(舍)见教材P9。
定理1定理1设设:
TXY为映射,则为映射,则
(1)
(1)()()1212;AAXATA当时,有T
(2)
(2)()()(),;TATAAX=(3)(3)()()(),;TATAAX(4)(4)()()11212;BBYBTB-1当时,有T(5)(5)()()()11,;TBTBBY=(6)(6)()()()11,;TBTBBY=(7)(7)()()()11ccTBTB=由此看出由此看出原像集的性质保持原像集的性质保持比比像集的性质保持要好像集的性质保持要好注解注解:
、(3)中如:
一个映射f把X全部映射成一个值,就可以造成左边为:
、(3)中如:
一个映射f把X全部映射成一个值,就可以造成左边为空集即可;、空集即可;、()()()()TAATAA=-1-1一般T,当T为单射时,有T、()()11()()TBBTBB=一般T,当T为满射时,有T定义2复合映射概念(舍)见教材P10定义2复合映射概念(舍)见教材P10二、集合的势二、集合的势定义3设A和B为两集合,若存在从A到B的一一映射,则称定义3设A和B为两集合,若存在从A到B的一一映射,则称集合A与对等集合A与对等,记为AB,记为AB注解注解:
、对等关系是等价关系、设:
、对等关系是等价关系、设|,|AB,其中其中A两两互不相交,两两互不相交,B两两互不相交。
若对任意的两两互不相交。
若对任意的,有,有AB,则,则AB定义4如果集合A与B对等,则称A与B有相同的势或基数,记为定义4如果集合A与B对等,则称A与B有相同的势或基数,记为AB=(其中(其中A表示A的势或基数)定义5设集合A与B,记表示A的势或基数)定义5设集合A与B,记,AB=,如果A,如果A1BB,则称,则称不大于不大于,记为,记为AB=,如果如果且,则,则小于小于,记为,记为AB=,使,使(),BxG,则称G为,则称G为nR中开集。
中开集。
定理1定理1nR中开集构成的集族中开集构成的集族满足下述三条性质:
满足下述三条性质:
(1)
(1),;nR
(2)
(2);1212若G,G,则GG(3)(3),;G若G则称称为为nR上的一个拓扑,上的一个拓扑,(),nR为拓扑空间。
为拓扑空间。
注解注解:
无穷多个开集的交集不一定为开集,例如:
无穷多个开集的交集不一定为开集,例如111,0nnn=为闭集为闭集定义7
(1)设定义7
(1)设nxR,若G为,若G为nR中的开集且中的开集且xG,则称G为x的一个领域
(2)设,则称G为x的一个领域
(2)设nER,如果存在x的一个领域G,使得,如果存在x的一个领域G,使得GE,则称x为E的内点。
(3)设,则称x为E的内点。
(3)设nER,nxR,如果对x任意领域既含有E的点,又含有,如果对x任意领域既含有E的点,又含有cE的点,则称x为E的边界点。
常用结论的点,则称x为E的边界点。
常用结论:
、:
、();cEE=、0;EE、()00.ncREEE=定理2定理2设设nER,则,则
(1)
(1)0E为开集;
(2)为开集;
(2)0EEE=为开集三、三、nR中闭集中闭集定义8设定义8设()(),1,2,knxxRk=?
,若,若()()()lim,lim0kkkkdxxxx=则称点列则称点列()kx收敛于X,记为收敛于X,记为()limkkxx=两条收敛判定准则两条收敛判定准则:
(1):
(1)()()lim.kkkxxxG=对x的任何领域G,存在N0,当kN时,
(2)
(2)()()lim1,2,lim.kkiikkxxinxx=?
对每个有定义9设定义9设nER,nxR,如果对X的任意领域G,必有,如果对X的任意领域G,必有(),GxE则称X为E的聚点或极限点,聚点全体称为导集,记为则称X为E的聚点或极限点,聚点全体称为导集,记为E;称;称EEE=为E的闭包。
相反,如果存在某个领域为E的闭包。
相反,如果存在某个领域0G,使,使0GEx=,则称X为E的孤立点。
,则称X为E的孤立点。
常用结论常用结论:
、孤立点集为至多可数集;、有限集为孤立点集,但可数集不一定为孤立点集,如Q。
、内点一定是聚点,但聚点不一定是内点;孤立点一定是边界点,但边界点不一定是孤立点。
:
、孤立点集为至多可数集;、有限集为孤立点集,但可数集不一定为孤立点集,如Q。
、内点一定是聚点,但聚点不一定是内点;孤立点一定是边界点,但边界点不一定是孤立点。
定理3定理3设设nER,nxR,则以下为聚点等价性定义:
,则以下为聚点等价性定义:
()()()()()()()()20,;3,lim;4.kkkxEBxxEExxxxGE=1为的聚点;任意存在中互异点列对的任意领域,它必含有的无穷多个点定理4定理4设E是设E是nR中的有界无限点集,则E中至少有一个聚点。
中的有界无限点集,则
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