2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文12.pdf
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1太阳影子定位研究模型太阳影子定位研究模型摘要摘要本文针对太阳影子定位问题,通过非线性最小二乘拟合模型、最优化问题、CAD软件制图、零点函数等建立数学模型,综合分析求解固定杆的经纬度定位和视频拍摄地点及日期等问题。
针对问题一,利用地理学中的太阳高度角公式和几何学知识,建立影子长度变化规律的数学模型,分析影子长度的影响参数有太阳赤纬、地理经纬度和时角,考虑天安门广场当地时间和北京时间的时差,天安门广场正午时刻的北京时间为12.24时,利用此模型画出2015年10月22日北京时间9:
00-15:
00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
针对问题二,预处理附录1中的坐标数据,计算出不同时间下的影子长度,利用lsqcurvefit函数计算出当地时差,再使用经度公式计算得到当地的经度;非线性拟合影子长度关于纬度、杆长和赤纬三个参数的曲线,将问题转化为最优化问题,利用lsqcurvefit函数算出纬度、杆长和赤纬,位置在北纬19.2858度,东经108.7215度(海南省)。
针对问题三,经度和纬度的计算方法与问题二中的一致,利用赤纬计算公式,由赤纬值和零点函数求得日期,得到附件二的测量地位置为新疆省维吾尔族自治区,经纬度坐标是北纬39.8951,经度79.7490,测量日期为2015年6月20日或2015年4月25日;附件三测量地位置为湖北省,经度坐标是北纬32.8472,经度110.2455,测量日期为2015年10月23日或2015年2月6日。
针对问题四,通过每两分钟截取一次视频,得到了21张杆子影子图片。
使用CAD制图软件分别测量图片中杆子影子的长度,借助比例公式求出实际影子的长度,得到影子长度随时间变化数据;使用问题三中所建立的数学模型对数据进行处理,算出拍摄点的经纬度,位置约在东经111.0135度,北纬42.0732度(内蒙古)。
针对问题五,由问题四计算得到的杆子的影长随时间变化数据,使用问题二中建立的数学模型,得到了两个拍摄地点经纬度,由于太阳直射点在春分-秋分作周期运动,对于一个地理坐标可以得到两个日期。
从而在拍摄日期未知时,仍然可以根据视频确定出拍摄地点与日期。
得出位置经纬度为北纬41.9462度,东经112.8705度(内蒙古),拍摄日期为日期为6月21日或4月25日。
关键词:
太阳高度角公式最小二乘拟合CAD软件制图零点函数2一、问题重述一、问题重述1.11.1问题背景问题背景影子是由于物体遮住了光线的传播,不能穿过不透明物体而形成的较暗区域,就是我们常说的影子,它是一种光学现象。
影子长度与季节、当日时间、物体高度和地理位置等有关,如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面,太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化,确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.21.2要解决的问题要解决的问题1.建立影子长度变化的数学模型,分析影子长度关于各个参数的变化规律,并应用建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:
00-15:
00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,39.907222东经116度23分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点。
将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点。
3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点与日期。
4附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频,并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
请建立确定视频拍摄地点的数学模型,并应用模型给出若干个可能的拍摄地点。
5如果拍摄日期未知,根据视频确定出拍摄地点与日期。
二、问题分析二、问题分析2.12.1问题的总体分析问题的总体分析本题主要通过影子长度的变化和时间确定拍摄地点和日期。
建立影子长度随时间的变化曲线,分析曲线最低点,确定时差,从而求出经度;根据影子长度和时间的多组数据,拟合影长关于物体长度、赤纬和纬度的曲线,确定物体长度、赤纬和纬度。
而赤纬和日期有关系,通过赤纬可求得日期。
通过实际和视频中的影长和物体长度的比例相等的关系,计算出实际物体影长,继而按照上述分析确定拍摄地点的经纬度和拍摄日期。
2.22.2具体问题分析具体问题分析
(1)针对问题一,利用天文学知识将太阳光线的照射情况转化为几何知识,建立影子长度变化规律模型,分析影子长度的影响因素,建立影子长度和北京时间的函数关系,用matlab画出2015年10月22日北京时间9:
00-15:
00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
3
(2)针对问题二,根据附件一中影子长度和北京时间的数据,对影子长度和时间进行拟合,计算出正午时刻的北京时间,算出经度,通过拟合影子长度关于纬度的曲线,从而计算出纬度。
(3)针对问题三,问题三比问题二少一个已知量日期,通过非线性拟合影子长度关于纬度和赤纬的曲线,计算出经纬度和赤纬,通过日期和赤纬的关系,求出日期。
(4)针对问题四,问题四的难点在于实际影长的确定,通过CAD制图软件计算出视频中影长和物体长度的比例,利用实际中和视频中的影长和物体长度的比例相等的关系,实际物体长度已知,求出各时间下的影长。
利用分析(3)中相同方法,确定拍摄地点。
(5)针对问题五,在未知拍摄时间下,还是可以求出实际影长和时间,通过非线性拟合影长和赤纬和经纬度,确定拍摄地点。
三、模型假设三、模型假设1.假设模型中均已修正大气折射等因素。
2.假设量取视频中的长度误差很小,可以忽略。
3.忽略平闰年的影响。
4.忽略天气对影子长度的影响。
四、符号说明四、符号说明符号意义1t日角太阳赤纬地理纬度地理经度t时角纬度差h太阳高度角z影子长度d距离t,abc时差系数f零点函数4五、模型的建立与求解五、模型的建立与求解5.15.1问题一:
问题一:
画出影子长度变化曲线5.1.15.1.1模型建立模型建立利用地理天文学知识,将太阳光照射地面的情况转化为几何图形,如图1。
图1太阳高度角对于地球上的某个地点P,太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角,记为h,地点的纬度和赤纬的差值记为,记太阳赤纬为,地点的地理纬度为,地理经度为,根据物理中光线的平行性和几何学中平行、垂直性质,有2h推出太阳高度角sinhcoscossinsin考虑到当日具体时间的变化,同理可导出准确太阳高度角公式sinhsinsincoscoscos()t太阳高度角arcsinsinsincoscoscos()htPP太阳光线PQ5其中t为北京时间(单位:
h),()t表示当地时角,它与当地经度、时差有关,时角以小时来计量(1HA=15度),当地正午时(12时)的时角为0,可由以下公式计算出,当地时角公式:
12015()18015()2360tt太阳赤纬可由公式获取。
太阳赤纬计算公式为:
1111110.0201cos3+0.3656cos2+0.758cos0.1712sin30.1149sin2+23.2567sin+0.3723=EDtttttt其中1t称日角,2422.36521xt这里x由两部分组成,即0NNx式中N为积日,积日即为日期在年内的顺序号。
079.67640.2422(年份-1985)(年份-1985)/4NINT式中INT表示进行取整运算。
物体成像示意图见图2,h为太阳高度角,y为物体高度,z为影子长度。
图2物体成像示意图根据三角函数求得影子长度cothzy将求得的太阳高度角公式代入上式,得出影子长度与北京时间的zt函数5.1.25.1.2模型求解模型求解北京时间经度为E120,天安门广场经纬度为北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒为116度23分29秒,即纬度39.907222度、经度116.39133度。
cotarcsinsinsincoscoscos()zyt6利用太阳赤纬公式1111110.0201cos3+0.3656cos2+0.758cos0.1712sin30.1149sin2+23.2567sin+0.3723=EDtttttt计算出天安门广场2015年10月22日的太阳赤纬-10.8627,程序见附录一。
利用时角公式12015()18015()2360tt计算出表达式15(0.2406)180()2360tt代入模型的函数得出3cotarcsinsin(-10.8627)sin39.90722215(0.2406)180cos(-10.8627)cos39.907222cos2360zt利用matlab画出2015年10月22日北京时间9:
00-15:
00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线,如图3.图3天安门广场杆子的影子长度随时间变化图5.25.2问题二:
根据影子顶点坐标确定直杆地点问题二:
根据影子顶点坐标确定直杆地点5.2.15.2.1模型建立模型建立
(1)数据预处理zt7根据给出的时间和影子顶点坐标,iixy,将时间全部转化为小时,利用原点到某点的距离公式22iidxy,算出不同时间下的影子长度。
北京时间x坐标(米)y坐标(米)北京时间(时)杆子影长(米)a点b分ixiy/60ab22iixy
(2)经度计算,先使用经度公式1201512mt计算出经度,再用时角公式:
(3)纬度计算,使用赤纬计算公式1111110.0201cos3+2+0.3656cos0.758cos0.1712sin30.1149sin2+23.2567sin+0.3723=EDtttttt计算出2015年4月18日该地点的太阳赤纬为10.6305度。
根据已求的经度,预处理北京时间,利用时角公式12015()18015()2360tt可计算出当地的时角。
利用非线性曲线拟合,拟合影长关于纬度和杆长的曲线cotarcsinsinsincoscoscos()zyt则将问题转化为最优化问题:
2211min(,)cotarcsinsinsincoscoscos()iiiiiFyytz使用lsqcurvefit函数,求出纬度和杆长y,程序见附录五、附录六。
(4)综上,可计算出直杆地点的经纬度,实现定位。
5.2.25.2.2模型求解模型求解
(1)对附件1数据进行预处理,计算出时间和影长,如表1.表1预处理影长和时间数据表格北京时间x坐标(米)y坐标(米)北京时间(时)杆子的影长12015()18015()2360tt814:
421.03650.497314.71.14962614:
451.06990.502914.751.18219914:
481.10380.508514.81.21529714:
511.13830.514214.851.24905114:
541.17320.519814.91.28319514:
571.20870.525514.951.31799315:
001.24480.5311151.35336415:
031.28150.536815.051.38938715:
061.31890.542615.11.42615315:
091.35680.548315.151.46340015:
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