高中数学竞赛讲义十四.docx
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高中数学竞赛讲义十四
高中数学竞赛讲义十四
──极限与导数
一、基础知识
1.极限定义:
(1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε,总存在正数m,当n>m且n∈N时,恒有|un-A|<ε成立(A为常数),则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限,记为
,另外
=A表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A,称右极限。
类似地
表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。
2.极限的四则运算:
如果
f(x)=a,
g(x)=b,那么
[f(x)±g(x)]=a±b,
[f(x)?
g(x)]=ab,
3.连续:
如果函数f(x)在x=x0处有定义,且
f(x)存在,并且
f(x)=f(x0),则称f(x)在x=x0处连续。
4.最大值最小值定理:
如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5.导数:
若函数f(x)在x0附近有定义,当自变量x在x0处取得一个增量Δx时(Δx充分小),因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若
存在,则称f(x)在x0处可导,此极限值称为f(x)在点x0处的导数(或变化率),记作
(x0)或
或
,即
。
由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条件。
若f(x)在区间I上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。
导数的几何意义是:
f(x)在点x0处导数
(x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。
6.几个常用函数的导数:
(1)
=0(c为常数);
(2)
(a为任意常数);(3)
(4)
;(5)
;(6)
;(7)
;(8)
7.导数的运算法则:
若u(x),v(x)在x处可导,且u(x)≠0,则
(1)
;
(2)
;(3)
(c为常数);(4)
;(5)
。
8.复合函数求导法:
设函数y=f(u),u=
(x),已知
(x)在x处可导,f(u)在对应的点u(u=
(x))处可导,则复合函数y=f[
(x)]在点x处可导,且(f[
(x)]
=
.
9.导数与函数的性质:
(1)若f(x)在区间I上可导,则f(x)在I上连续;
(2)若对一切x∈(a,b)有
,则f(x)在(a,b)单调递增;(3)若对一切x∈(a,b)有
,则f(x)在(a,b)单调递减。
10.极值的必要条件:
若函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,则
11.极值的第一充分条件:
设f(x)在x0处连续,在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导,
(1)若当x∈(x-δ,x0)时
,当x∈(x0,x0+δ)时
,则f(x)在x0处取得极小值;
(2)若当x∈(x0-δ,x0)时
,当x∈(x0,x0+δ)时
,则f(x)在x0处取得极大值。
12.极值的第二充分条件:
设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导,在x=x0处二阶可导,且
。
(1)若
,则f(x)在x0处取得极小值;
(2)若
,则f(x)在x0处取得极大值。
13.罗尔中值定理:
若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b),则存在ξ∈(a,b),使
[证明] 若当x∈(a,b),f(x)≡f(a),则对任意x∈(a,b),
.若当x∈(a,b)时,f(x)≠f(a),因为f(x)在[a,b]上连续,所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,必有一个不等于f(a),不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m,则c∈(a,b),且f(c)为最大值,故
,综上得证。
14.Lagrange中值定理:
若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则存在ξ∈(a,b),使
[证明] 令F(x)=f(x)-
则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且F(a)=F(b),所以由13知存在ξ∈(a,b)使
=0,即
15.曲线凸性的充分条件:
设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数,
(1)如果对任意x∈I,
则曲线y=f(x)在I内是下凸的;
(2)如果对任意x∈I,
则y=f(x)在I内是上凸的。
通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。
16.琴生不等式:
设α1,α2,…,αn∈R+,α1+α2+…+αn=1。
(1)若f(x)是[a,b]上的凸函数,则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).
二、方法与例题
1.极限的求法。
例1 求下列极限:
(1)
;
(2)
;(3)
;(4)
[解]
(1)
=
;
(2)当a>1时,
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- 高中数学 竞赛 讲义 十四