高等数学下册黄立宏廖基定著复旦大学出版社第十章课后答案.pdf
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习题十习题十1.根据二重积分性质,比较ln()dDxy+与2ln()dDxy+的大小,其中:
(1)D表示以(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形;
(2)D表示矩形区域(,)|35,02xyxy.解:
(1)区域D如图10-1所示,由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间,显然有图10-112xy+从而0ln()1xy+1故有2ln()ln()xyxy+所以2ln()dln()dDDxyxy+0,b0);
(2)曲线xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x所围(x0,y0).解:
(1)曲线22,(0,0)bbyxyxabaa=所围的图形D如图10-26所示:
图10-26D可以表示为:
220aayxybbyb所求面积为:
222001ddddd.6abybbaDybaaSxyyxyabyybb=
(2)曲线xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x(x0,y0)所围图形D如图10-27所示:
图10-27课后答案网www.khdaw.com所求面积为ddDSxy=令xy=u,yvx=,则22,(2,12)uxyuvauavv=(,)1(,)2xyJuvv=于是2222222221121211dddddddln22222aDaauavaaSxyuvvuvvvv=14.证明:
(1)11d()()d()()d;1bybnnaaayyxfxxfxbxxn+=+
(2)11()dd()dDfxyxyfuu+=,D为|x|+|y|1;(3)()12221()dd21dDfaxbycxyufuuabc+=+,其中D为x2+y21且a2+b20.解:
(1)题中所给累次积分的积分区域D为ayb,axy.如图10-28所示:
图10-28D也可表示为axb,xyb,于是:
111d()()dd()()dd()()11()()d.1bbybbbnnnaaaxaxbnayyxfxxxyxfxyxfxyxnfxbxxn+=+=+
(2)令x+y=u,x-y=v,则,22uvuvxy+=,且-1u1,-1v1(,)1(,)2xyuv=,于是课后答案网www.khdaw.com111111111111()dd()ddd()d()d.22Duvfxyxyfuuvufuvfuu+=(3)令2222,aubvbuavxyabab+=+,则2222222222222222()()(,)1(,)faxbycfuabcabxyabababJbauvabababab+=+=+=+当x2+y21时,2222222222222222()()1.aubvbuavabuabvuvababab+=+于是()()()()22222222111221111221112221()ddddddd21d.Duvuuuufaxbycxyfuvuabcufvuabcfvuuabcufuuabc+=+=+=+=+15.求球面x2+y2+z2=y2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积。
解:
如图10-29所示:
图10-29上半球面的方程为222zaxy=,由222222,zxzyxyaxyaxy=得222221zazyxaxy+=由对称性知课后答案网www.khdaw.com22222cos2222200coscos1222222222000022041dd4dd114dd4dd
(1)2dd()2d2()4(1sin)d2().DDaDaazazAxyxyyxaxyarrarrararaaraararaaaa=+=16.求锥面z=22xy+被柱面z2=2x所割下部分的曲面面积。
解:
由z2=x2+y2,z2=2x两式消去z得x2+y2=2x,则所求曲面在xOy面上的投影区域D为:
x2+y22x,而22222222222;,112.zxzyxyxyxyzxyzyxyxyx=+=+=+故所求曲面的面积为.222cos2002cos2222200001dd2dd2d2d2d42cosd22(1cos2)d2.DDzzAxyxyrryxr=+=+=17.求底面半径相等的两个直交圆柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所围立体的表面积。
解:
由对称性知,所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面x2+y2=R2内的部分面积的16倍,如图10-30所示。
图10-30这部分曲面的方程为22zRx=,于是所求面积为.2222222222222200222000161dd1610dd16dd16dd16d16d16.DDRRxDRxRRxzzAxyxyyxRxRRxyxyRxRxRyxRxRRx=+=+=18.设薄片所占的闭区域D如下,求均匀薄片的重心。
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(1)D由02,0ypxxxy=所围成;
(2)D是半椭圆形闭区域:
22221,0xyyab+;(3)D是介于两个圆r=acos,r=bcos(0a0,b0)对x轴及坐标原点的转动惯量(面为常数).解:
所围三角区域D如图10-37所示:
图10-3732223000322222000003322230ddddd.12()ddd()dd3d().1123abaybbxDaayabbaybbDbabaIyxyyyxyayybxIxyxyyxyxyyxabaayybaayybb=+=+=+=+24.求面密度为常量的匀质半圆环形薄片:
222212,0RyxRyz=对位于z轴上点M0(0,0,a)(a0)处单位质量的质点的引力课后答案网www.khdaw.comF.解:
由对称性知Fy=0,而()2122112112332222222222233222222222arctanarctan233arctanarctancosddd()()cosdd2d(tan)()tan2secd2(seccos)dsecRDRRRRRRRaRRaaxrFxGGrrxyararrGrGrratraraatGattGtttat=+=+=令222222122222211212lnaRaRRRGRaRRaRa+=+()()2121233222222221222222221ddd()111RzDRRRrrFGaGaraxyaGaGaRaRara=+=+故所求引力为:
22222122222211212222212ln,0,11RaRRRFGRaRRaRaGaRaRa+=+25.化三重积分(,)dddIfxyzxyz=为三次积分,其中积分区域分别是:
(1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域;
(2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域;(3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域;(4)由曲面cz=xy(c0),22221,0xyzab+=所围成的第I卦限内的闭区域。
解:
(1)积分区域如图10-38所示,图10-38可表示为:
01010xyxzxy课后答案网www.khdaw.com故11000dd(,)d.xxyIxyfxyzz=
(2)积分区域如图10-39所示。
图10-39可表示为:
222211111xxyxxyz+故222211111dd(,)d.xxxyIxyfxyzz+=(3)由22222zxyzx=+=消去z得22222xyx+=即221xy+=,所以在xOy面的投影区域为x2+y21,如图10-40所示。
图10-40可表示为:
-1x1,2211xyx,x2+2y2z2-x2故22222112112dd(,)d.xxxxyIxyfxyzz+=(4)积分区域如图10-41所示。
可表示为:
220,0,0bxyxayaxzac图10-41故课后答案网www.khdaw.com22000dd(,)d.bxyaaxacIxyfxyzz=26.在直角坐标系下计算三重积分:
(1)23dddxyzxyz,其中是由曲面z=xy与平面y=x,x=1和z=0所围成的闭区域;
(2)()3ddd1xyzxyz+,其中为平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的四面体;(3)2dddzxyz,是两个球:
x2+y2+z2R2和x2+y2+z22Rz(R0)的公共部分;(4)dddxyzxyz,其中是由x=a(a0),y=x,z=y,z=0所围成;(5)edddyxyz,其中是由x2+z2-y2=1,y=0,y=2所围成;(6)sindddyxxyzx,其中是由,0,2yxyxz=+=所围成。
解:
(1)积分区域如图10-42所示。
图10-42可表示为:
0100xyxzxy11232323000000411256000001120ddddddddd1dddd4411d.28364xxyxxyxyxxxyzxyzxyxyzzxxyyzzzxxyyxxyyxx=
(2)积分区域如图10-43所示,可表示为:
010101xyxzxy课后答案网www.khdaw.com图10-43故11133000111200011200110010ddd1ddd
(1)
(1)1dd2
(1)11dd2
(1)811d2
(1)813115dln22
(1)8828xxyxyxxxxyzxyzxyzxyzxyxyzxyxyyxxyxxx=+=+=+=+=+(3)积分区域如图10-44所示。
图10-44由方程x2+y2+z2=R及x2+y2+z2=2Rz得两球的交线为:
222342xyRRz+=,且平面2Rz=把积分区域分为两部分,且积分区域在z轴上的投影区间为0,R,记过0,2R上任意一点z的平行于xOy面的平面与相交的平面区域为D1(z),过,2RR上任意一点z的平行于xOy面的平面与的相交的平面区域为D2(z),则课后答案网www.khdaw.com121222220()()22220()()222222202342242022245350ddddddddddddddd
(2)d()d
(2)d()d2535RRRDzDzRRRDzDzRRRRRRRzxyzzzxyzzxyzzxyzzxyzRzzzzRzzRzzzRzzzRRzzzz=+=+=+=+=+5259480RRR=(4)积分区域如图10-45所示。
图10-45可表示为:
000xayxzy故200000000035660000ddddddddddd21111ddd.284848yaxyaxyaxaaxazxyzxyzxyxyzzxxyyzzxxyyxxyyxxax=(5)积分区域如图10-46所示。
图10-46在y轴上的投影区间为0,2,故222220()00222222200002edddeddde
(1)d(ee)dedede2ede3(e1).yyyyyDyyyyyxyzyxzyyyyxyyyyy=+=+=+=+=(6)积分区域如图10-47所示。
课后答案网www.khdaw.com图10-47可表示为:
02002xyxzx故22200000222000sinsinsindddddddd211sindsindsind.424242xxxyxxxxyzxyyzxyyxxxxxxxxxxxx=27.如果三重积分(,)dddfxyzxyz的被积函数f(x,y,z)是三个函数f1(x),f2(y),f3(z)的乘积,即f(x,y,z)=f1(x)f2(y)f3(z),积分区域
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