捷联式惯性导航(2).pdf
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惯性导航系统原理惯性导航系统原理33捷联式惯导系统捷联式惯导系统程向红程向红2010.04.022010.04.0223捷联式惯导系统捷联式惯导系统l3.1捷联式惯导算法概述捷联式惯导算法概述l3.2姿态矩阵的计算姿态矩阵的计算l3.3姿态矩阵计算机执行算法姿态矩阵计算机执行算法33.2姿态矩阵的计算姿态矩阵的计算ll3.2.13.2.1欧拉角法欧拉角法欧拉角法欧拉角法l3.2.2方向余弦法方向余弦法l3.2.3四元数法四元数法l3.2.4等效转动矢量法等效转动矢量法43.2.3四元数法四元数法l3.2.3.1四元数的基本概念四元数的基本概念l3.2.3.2四元数理论四元数理论l3.2.3.3矢量坐标变换的四元数描述矢量坐标变换的四元数描述l3.2.3.4四元数和方向余弦矩阵的关系四元数和方向余弦矩阵的关系l3.2.3.5四元数微分方程四元数微分方程53.2.3.5四元数微分方程四元数微分方程2sin2cosuQ+=dtddtduuQ2sin2cos21212sin+=&0=uuuu&dtd1=uuo)2sin2(cos21uuQ+=o&nu=&nnnbQQo&n21=*QQoobn=由由因为因为是是的四元数形式。
故四元数微分方程可以写成的四元数形式。
故四元数微分方程可以写成如果将角速度表示在如果将角速度表示在载体坐标系载体坐标系上,则由坐标变换得上,则由坐标变换得QQQQQoooo&*2121bn=bQQ21o&=bbnb是是的四元数形式。
的四元数形式。
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6四元数微分方程四元数微分方程QQo&n21=bQQ21o&=)()(21)(qMqnQQ=&)()(*21)(qMqbQQ=&写成矩阵形式写成矩阵形式四元数微分方程的解,类似矩阵微分方程,四元数微分方程的解,类似矩阵微分方程,可用(可用(Peano-Baker)逼近法求解。
解为)逼近法求解。
解为0)(*21)()(21=tdtMqeqttbQQ)0()(21qetq=0000)(*21xyzxzyyzxzyxttbdtM式中式中简写为简写为LL+=nne)2(!
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211000503010060402021+=+=LLe)0(2sin2cos)(000qtq+=四元数微分方程的解析解四元数微分方程的解析解返回返回3.283.2.4等效转动矢量法等效转动矢量法l3.2.4.1转动的不可交换性转动的不可交换性l3.2.4.2等效转动矢量微分方程等效转动矢量微分方程93.2.4.1转动的不可交换性转动的不可交换性)(Ex)(Uz)(Ny90俯仰)(Ex)(Uy90偏航)(Sz)(Ux)(Sz)(Wy90俯仰)(Ux)(Wz)(Ny90俯仰)(Ex)(Uz)(Ny)(Ex)(Dy)(Nz90偏航90俯仰)(Dx)(Wy)(Nz)(Dx)(Ez)(Ny在力学中,刚体的有限转动是不可交换的。
在力学中,刚体的有限转动是不可交换的。
10转动的不可交换性转动的不可交换性转动的不可交换性决定了转动的不可交换性决定了转动不是矢量转动不是矢量,也就是,也就是两次以上的不同轴的转动不能相加。
两次以上的不同轴的转动不能相加。
转动的不可交换性也反映在变换矩阵的合成上,如果坐标转动的不可交换性也反映在变换矩阵的合成上,如果坐标系系oxyz绕绕x轴转动轴转动x角,变成角,变成ox1y1z1,再绕再绕y1轴转动轴转动y角角,变成,变成ox2y2z2。
则则对一个在空间方向随时间变化的角速度矢量进行积对一个在空间方向随时间变化的角速度矢量进行积分,则是无意义的。
分,则是无意义的。
角速度的积分是不能成立的,只能在很小的时间区间角速度的积分是不能成立的,只能在很小的时间区间内积分,把内积分,把近似看作方向不变时,积分才能成立。
近似看作方向不变时,积分才能成立。
111zyoxoxyzx=xxxxxCcossin0sincos0001222111zyoxzyoxy=yyyyyCcos0sin010sin0cos11转动的不可交换性转动的不可交换性=yxyxyxxyxyxyxyCCCcoscoscossinsinsincos0sincossinsincos=yxxyxyxxyxyyyxCCCcoscossinsincoscossincossinsinsin0cosxyyxCCCC故故如转动的顺序相反,则如转动的顺序相反,则很显很显然然但但对小角度,可以看作是矢量,如对小角度,可以看作是矢量,如将将x,y都都看作看作一一阶阶小量小量的小角度,则的小角度,则cos1,sin,在在忽略二阶忽略二阶小量小量的的情况下情况下=11001xyxyxyyxCCCC12小角度的转动是可以交换的小角度的转动是可以交换的=小角度可以看作是矢小角度可以看作是矢量,能按矢量相加量,能按矢量相加在在对对方向余弦矩阵微分方程和四元数微分方程求解方向余弦矩阵微分方程和四元数微分方程求解时时,都都用用了了角速度矢量的角速度矢量的积积分,分,即即+=tttdt显然显然,积积分分区间及采样周期必须很区间及采样周期必须很小,小,否否则,计算则,计算结结果果中中会有很大会有很大的的不不可交换可交换性误差性误差,而采样周期太而采样周期太小,小,使使计计算机算机实时实时计算计算工工作量作量增大增大。
为。
为了消除不了消除不可交换可交换性误差性误差,可可采采用等效转动矢量算法。
用等效转动矢量算法。
133.2.4.2等效转动矢量微分方程等效转动矢量微分方程动坐标系动坐标系和参考和参考坐标系坐标系之之间的变换四元数间的变换四元数为为2sin2cosuQ+=式中式中u为等效为等效转轴方向的转轴方向的单位单位矢量,矢量,为为动坐标系动坐标系绕绕u轴转动的角度轴转动的角度bQQ21o&=)()(2*ttbQQ&o=)(20000qqqqqqqqqqb&+=按按四元数相四元数相乘乘的的规规则则展开得展开得mmm+=0000mmMoqq+=0Qqq=0*Qqq&+=0Q=u利用利用u和和定义一个定义一个等效等效转动矢量转动矢量本页已使用福昕阅读器进行编辑。
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14等效转动矢量微分方程等效转动矢量微分方程qq=0*2sin2cosuQ2cos0=q2sinu=q2sin20&=q2cos22sinuuq&+=)cos1(sin+=uuuu&b代入并稍代入并稍作作整理整理)(20000qqqqqqqqqqb&+=uu&+=uu&=uuuuu=&1=uu0=uu&u=&故故两两边点乘边点乘u得得=u?
EditedbyFoxitReaderCopyright(C)byFoxitSoftwareCompany,2005-2008ForEvaluationOnly.15推导推导u=2&u=2)/(=&3)(=&32)(=&b)c(ac)b(acba=)()()()(=&)()()(2&+=32232)()()(u&+=3)(u&=2)(u&+=由由得得u=&=uuu&=?
sin)(sin3u&=)cos1()cos1(2=uu&)cos1(2=&同同乘乘sin16推推导导22)()sin1()cos1(&+=b)()()(&+=CBb2cos1)(=B)sin1
(1)(2=C等效等效转动矢量微分方程转动矢量微分方程)cos1(sin+=uuuu&b2)(u&+=sin)(sin3u&=)cos1(uu&)cos1(2=&b=2)(&+sin)(3&)cos1(2+&本页已使用福昕阅读器进行编辑。
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17推导推导44443444421&)()()(+=CBb)()()(&=CB+=b&+=dtb)()(6121&+=b)()(21bbbA+=&=)cos1(2sin11)(2A则则还还可可推导出等效推导出等效转动矢量的转动矢量的另外另外形式形式为为思考题思考题等效等效转动矢量的转动矢量的导导数数等于等于b再加一个再加一个修正修正量量,使使成立成立如果如果将将B()和和C()展开展开成成级级数数并并只只取第取第一一项项+=&6131bb本页已使用福昕阅读器进行编辑。
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18等效转动矢量微分方程等效转动矢量微分方程实际计算实际计算时可时可用三用三式中式中任何任何一式。
一式。
根据根据b计算等计算等效效转动矢量,转动矢量,用等效用等效转动矢量转动矢量代替代替方向方向余弦余弦矩阵微分矩阵微分方程方程或或四元数微分方程中的四元数微分方程中的,则可以,则可以消除计算消除计算的方的方向向余弦余弦矩阵矩阵或或四元数中的不可交换性四元数中的不可交换性误差误差。
等效等效转动转动矢量可以矢量可以用用预信息处理机预信息处理机来计算来计算,然后用然后用再再计算计算四四元数元数或或方向方向余弦余弦矩阵。
矩阵。
以上以上介绍介绍的的4种种方方法法,都都可以可以用来确用来确定一个动坐标系相定一个动坐标系相对对参考参考坐标系的方坐标系的方位关位关系。
在系。
在捷联惯导捷联惯导中,中,既既可以可以用来用来计算姿态计算姿态矩阵,也可以矩阵,也可以用来计算位置用来计算位置矩阵,在矩阵,在实际实际的的捷捷联联式式惯导惯导系系统统中,中,由于由于姿态姿态矩阵矩阵的的实实时时计算计算速度速度要快要快,所所以,以,比较比较多多的是的是采采用用四元数四元数法法。
而而位置位置矩阵矩阵的的实实时速时速度可以度可以较较慢慢,一,一般采般采用用方向方向余弦法余弦法。
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193.3姿态矩阵计算机执行算法姿态矩阵计算机执行算法3.3.1增量算法增量算法3.3.1.1定时增量算法定时增量算法3.3.1.2固定增量算法固定增量算法3.3.2数值积分法数值积分法3.3.2.1一阶龙格一阶龙格-库塔(库塔(Runge-Kutta)法)法3.3.2.2二阶龙格二阶龙格-库塔法库塔法3.3.2.3四阶龙格四阶龙格-库塔法库塔法binbibbnb=本页已使用福昕阅读器进行编辑。
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203.3.1增量算法增量算法捷联捷联式式陀螺仪陀螺仪,不不管管是是挠挠性性陀螺仪陀螺仪还还是是光光学学陀螺仪陀螺仪,表头输表头输出出是是模拟模拟量量还还是数是数字字量,量,最终最终都要都要转换成数转换成数字字量,量,所所以以陀螺陀螺的的输输出出是是脉冲串脉冲串,每每个个脉冲脉冲代代表表一个角一个角增增量,在一个量,在一个采样周期采样周期内,内,用用陀螺输陀螺输出出的的脉冲脉冲数数乘乘以以标度标度因子即因子即变成角变成角增增量,相量,相应应于于:
+=tttibdt如果如果利利用用这个这个角角增增量量直接直接计算姿态矩阵计算姿态矩阵或或姿态四姿态四元数,则元数,则叫做增叫做增量算法。
量算法。
固定增固定增量量,陀螺陀螺的的输出输出只要达到规定只要达到规定的的增增量量值即输入值即输入计算机计算机进进行计算。
行计算。
定时增定时增量量,在,在规定规定的的采采用用区间对陀螺输出进区间对陀螺输出进行行采采样样,而不管而不管角角增增量的量的大大小。
小。
定时增量算法定时增量算法固定增量算法固定增量算法本页已使用福昕阅读器进行编辑。
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213.3.1.1定时增量算法定时增量算法bknbnbnb
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- 捷联式 惯性 导航