概率论知识点整理简版.pdf
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概率论初步概率论初步基本概念基本概念:
随机试验、随机事件、古典概率、条件概率、事件的独立性随机试验随机试验:
满足以下三个性质的试验:
1、可以在相同条件下重复进行;2、试验结果不止一个,并且在试验之前能明确试验的所有可能结果;3、进行试验前不能预知那个结果会出现.例如:
1:
E抛一粒骰子,观察点数出现的情况;1,2,3,4,5,6S2:
E在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命;0Sxx样本空间:
样本空间:
随机试验中,所有样本点的集合;样本点:
样本点:
随机试验中的每个结果;随机事件:
随机事件:
样本空间的子集或者是某些样本点的集合;事件用,AB表示举例!
举例!
样本空间对应必然事件()S;不可能事件;事件的关系与运算事件的关系与运算(结合集合论和文氏图来学习)子事件(子集)、积事件AB(交集)、和事件AB(并集)、对立事件A(补集)、差事件;ABABAAB互斥事件AB事件发生:
事件发生:
事件A中至少有一个样本点出现.处理技巧:
处理技巧:
把稍微复杂点事件处理成简单的互斥事件的和ABABA运算规律运算规律:
德摩根律;ABABABAB加法原理:
加法原理:
12mnnn(分类),乘法原理:
,乘法原理:
12mnnn(分步)排列排列:
mmnnAP全排列:
!
n;组合:
组合:
!
mmmnmnnnnPCCCm古典概型:
古典概型:
满足以下两个特点的随机试验()AnPAn概率的公理化定义概率的公理化定义设E是一个随机试验,S是它的样本空间,对于E中的每一个事件A赋予一个实数,记为()PA,称为事件A的概率,如果他满足下列的假设:
(1)0()1;PA
(2)对于S有()1;PS(3)设12,nAAA两两互不相容,则有1212()()()()nnPAAAPAPAPA公理化定义的性质:
(1)()1();PAPA
(2)()0;P(3)对任意的事件,AB有()()();PABPAPAB差事件的概率差事件的概率(4)对任意的事件,AB有()()()();PABPAPBPAB概率的一般加法公式概率的一般加法公式条件概率条件概率乘法公式:
乘法公式:
()()()()()PABPBPABPAPBA或全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式样本空间样本空间S的一个划分:
的一个划分:
设S为随机试验E的样本空间,12,nBBB为E的一组事件,若
(1);ijBB
(2)12,nBBBS则称12,nBBB为样本空间S的一个划分.或者12,nBBB为一个完备事件组.全概率公式全概率公式:
设设S为随机试验E的样本空间,12,nBBB为一个完备事件组,则有1122()()()()()()()nnPAPBPABPBPABPBPABiB称为原因,A称为结果;全概率公式由原因找结果;贝叶斯公式:
贝叶斯公式:
由结果找造成的原因1122()()()()()()()()()()()iiiinnPBPABPABPBAPAPBPABPBPABPBPAB注:
不要盲目记公式,分析原因和结果注:
不要盲目记公式,分析原因和结果事件的独立性事件的独立性设,AB是两个事件,若有()()()PABPAPB,则称事件,AB是相互独立的.结论结论1:
设,AB是两个事件,若事件,AB相互独立,则()()PABPA.若事件,AB相互独立,则,;,;,ABABAB也是相互独立的.三个事件相互独立三个事件相互独立若事件,ABC满足()()();()()();()()();()()()();PABPAPBPACPAPCPBCPBPCPABCPAPBPC则称事件,ABC相互独立.结论结论2:
若事件12,nAAA相互独立,则其中任意
(2)kkn个事件也相互独立;若事件12,nAAA相互独立,则12,nAAA中任意多个事件换成他们各自的对立事件,所得的n个事件也相互独立.随机变量及其相关内容随机变量及其相关内容基本概念基本概念:
随机变量、分布律、概率密度、分布函数随机变量:
随机变量:
设随机试验的样本空间为,()SeXXe是定义在样本空间S上的实值单值函数,称()XXe为随机变量.(样本点到数的对应法则)引例1将一枚硬币抛3次,观察,HT出现的情况,样本空间为,SHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX:
在此次试验中,H出现的次数,则0,1,2,3X概率分别为1331,8888随机变量的分类随机变量的分类:
离散型随机变量和连续型随机变量(基于.rv的取值类型)离散型随机变量离散型随机变量取值为有限个或者无限可列个的随机变量分布律分布律若.rvX的取值为12,nxxx对应概率值为12,nppp,即1,2,kkPXxpk且满足:
10;1,kkkpp则称1,2,kkPXxpk为.rvX的概率分布律,简称分布律,也可表示为常见的离散型随机变量的分布常见的离散型随机变量的分布(区分背景、分布律、记号区分背景、分布律、记号)贝努利试验贝努利试验试验E中只有两个结果,,AA;n重贝努利试验重贝努利试验可以重复进行的,相互独立的贝努利试验(搞清楚背景)01分布分布(1,)XBp二项分布二项分布X:
n次试验中A出现的次数取值:
0,1,2,n分布律为(,)XBnp或
(1)0,1,kknknPXKCppkn推导,验证是分布律推导,验证是分布律几何分布几何分布X:
直到A出现经历的试验次数取值:
1,2,nX1x2xnxkp1p2pnpX01kp1pp分布律为:
1
(1)1,nPXKppkn推导,验证是分布律推导,验证是分布律泊松分布泊松分布()X,即0,1,!
kePXKknk验证是分布律验证是分布律结论结论1:
二项分布的极限分布是泊松分布:
二项分布的极限分布是泊松分布(解释泊松分布律的由来解释泊松分布律的由来)注:
当二项分布中注:
当二项分布中(10,0.1)nnp比较大时,用泊松分布代比较大时,用泊松分布代替二项分布来计算替二项分布来计算.连续型的随机变量连续型的随机变量概率密度:
概率密度:
设X是随机变量,如果存在定义在整个实数轴上的可积函数(),fx满足条件:
(1)()0,fxx
(2)()d1,fxx(3)且对任意的实数,()abab有()d.baPaXbfxx注:
注:
对于连续型随机变量X而言,
(1)()d0,aaPXafxx则PaXbPaXbPaXbPaXb
(2)若若()fx是连续型随机变量是连续型随机变量X的概率密度,习惯性的去验证第的概率密度,习惯性的去验证第
(2)条;条;(3)设()fx在x点处连续,则有00()dlimlim().xxxxxfxxPxXxxfxxx进而()PxXxxfxx,故称()fx为随机变量X的概率密度.均与分布均与分布(,)XUab1,()0,axbfxba其他注:
注:
在区间(,)ab上服从均匀分布的随机变量,X其取值落在(,)ab中任意等长度的子区间内的概率是相等的,且与子区间的长度成正比.指数分布指数分布()XEP1,0,()(0)0,xexfx其他注:
指数分布的无记忆性.()()PXstXsPXt分布函数分布函数设X是一个随机变量,函数(),FxPXxxR为X的分布函数.注:
注:
分布函数表示随机点X落在(,x的概率.分布函数的性质分布函数的性质:
(1)单调不减;
(2)0()1,Fx且()0,()1;FF(3)右连续,对任意的x有,0lim()();FxFx(4)()()PaXbPXbPXaFbFa注:
注:
对连续型随机变量而言,在()fx的连续点处有d()().dFxfxx二维的随机变量二维的随机变量根据随机变量,XY的取值,二维随机变量分为二维离散型随机变量(,)XY和二维连续型的随机变量(,)XY二维二维离散型离散型随机变量随机变量通过联合分布律来表示通过联合分布律来表示()(),1,2,ijijijPXxYyPXxYypij,且ijp满足
(1)0,ijp
(2)111.ijijp称(,)XY为二维离散型的随机变量,且,1,2,ijpij为其联合分布律.二维二维连续型连续型随机变量随机变量通过联合密度函数来表示通过联合密度函数来表示对于二元函数(,)fxy,若满足
(1)(,)0,fxy
(2)(,)dd1,fxyxy(3)对任意的平面区域,G有(,)(,)dd,GPXYGfxyxy则称(,)XY为二维连续型的随机变量,且(,)fxy为其联合密度函数.注:
结合一维随机变量的分布律和密度函数来学习二维随机变量的联合分布律注:
结合一维随机变量的分布律和密度函数来学习二维随机变量的联合分布律和联合密度函数的概念和联合密度函数的概念.边缘分布边缘分布根据随机变量分类有边根据随机变量分类有边缘分布律缘分布律(离散离散)和边缘密度函数和边缘密度函数(连续连续)边缘分布律边缘分布律11,1,2,iijijjjPXxPXxYypi11,1,2,jijijiiPYyPXxYypj边缘密度函数边缘密度函数()(,)d,;()(,)d,XYfxfxyyxRfyfxyxyR因为,(,)ddbaPaXbPaXbyfxyyx相互独立的随机变量相互独立的随机变量对于对于(,)XY,若有若有,PaXbcYdPaXbPcYd,则称(,)XY相互独立.(和事件独立性定义一样)离散型:
离散型:
ijijPXxYyPXxPYy或者ijijPPP连续型:
连续型:
(,)()().XYfxyfxfy推广一下,对于推广一下,对于n维随机变量的独立性定义和上面类似维随机变量的独立性定义和上面类似.随机变量函数的分布随机变量函数的分布=()YgX的函数分布(离散、连续);=ZXY的分布,验证如下命题:
设,XY的联合密度函数为(,)fxy,则ZXY的密度为:
()(,)d(,)dZfzfzyyyfxzxx设,XY是相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为(),().XYFxFy现在来求1=max(,),ZXY2=min(,)ZXY的分布函数.max1()()()()()XYFzPZzPXzYzPXzPYzFzFzmin2()1min(,)1,111()1()XYFzPZzPXYzPXzYzPXzPYzFzFz随机变量的数字特征随机变量的数字特征基本概念基本概念:
数学期望,方差,协方差,相关系数数学期望数学期望:
设离散型随机变量X的分布律为1,2,kkPXxpk,连续型随机变量X具有概率密度(),fx则随机变量X的数学期望记为()EX,定义为1,()()d,kkkxpXEXxfxxX为离散型随机变量为连续型随机变量一元函数的期望一元函数的期望()YgX1,()()()()d,kkkypXEYEgXgxfxxX为离散型随机变量为连续型随机变量二元函数的期望二元函数的期望(,)ZgXY1,()(,)(,)(,)dd,kkkzpXYEZEgXYgxyfxyxyXY为离散型随机变量为连续型随机变量数学期望的性质数学期望的性质(借助连续型随机变量给出证明借助连续型随机变量给出证明)();()();()()();ECCECXCEXEXYEXEY设,XY为相互独立的随机变量,则有()()().EXYEXEY方差方差设X是随机变量,若2()EXEX存在,则称它为X的
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- 概率论 知识点 整理