阿波罗尼斯圆定理及拓展及解题.pdf
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1阿波罗尼斯圆定理及拓展及解题一点到多点到两弧圆的定比例距离定比例分段定比例长度切线南江石2018年04月16日2018年5月8日阿氏圆阿氏圆又称阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆,已知平面上两点A、B,则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿氏圆。
点到两定点距离定比。
见图1。
阿氏圆是以定比m:
n(m/n=k)内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆。
点点阿氏圆方程,见图2。
aQRXoYXALkLP(x,y)OBCD图1阿氏圆点到两定点距离定比图2点点阿氏圆方程根据已知条件列方程:
2222Lkyx,222Lyax,22222Lyaaxx2222222222Lkykkaxakxk021222222kaxakyxk此公式为圆方程式,证明了动点到两定点距离定比的轨迹是一个圆。
令0y,求C点D点的x坐标:
02122222kaxakxk22222221422121kakakakkx224242222111kakakakkakx1122kakkaax得到C点D点的x坐标:
122kakakxC,122kakakxD2得到阿氏圆圆心的x坐标:
11222kaakakxQ点点阿氏圆圆心公式得到阿氏圆半径:
12kakR题目1图见图3。
绘制阿氏圆类图形、求解阿氏圆类问题,首先要绘制出阿氏圆。
绘制阿氏圆的方法一,内外分点法,内外定比分点直径圆法。
几何原理,阿氏圆是内外两个分点连线为直径的圆。
见图4。
1205a2a47R57.1428571412080ACBD图3题目1点到两点距离定比图4运用方法一内外分点法绘制阿氏圆绘制阿氏圆的方法二,内分点一对圆法,内分点定比点三点圆法。
几何原理,到两定点距离为定比的点在阿氏圆上,三点定圆。
见图5。
R100R57.14285714120ACBR40图5运用方法二内分点一对圆法绘制阿氏圆绘制阿氏圆的方法三,两对圆法,定比点三点圆法。
几何原理,到两定点距离为定比的点在阿氏圆上,三点定圆。
见图6。
在绘制阿氏圆的基础上解题,题目1题解见图8。
阿波罗尼斯圆定理扩展阿波罗尼斯圆定理扩展1:
已知平面上一动点P到两定圆OA(半径RA)、OB(半径RB)切线(切点为TA、TB)的长度之比为不等于1的定值(PTA/PTB=k,k1)则点P的运动轨迹是一个圆阿氏圆。
点到两圆切线定比。
见图7。
3120ACBR40R100R57.14285714R150R60图6运用方法三两对圆法绘制阿氏圆120ACBDR57.1428571447图7阿波罗尼斯圆定理扩展1点到两圆切线定比图8题目1题解圆圆阿氏圆方程,见图9。
CDOQkLLOAOBRARBTATBYXOP(x,y)RaXo图9圆圆阿氏圆方程4根据已知条件列方程:
22222LkRyxA,2222LRyaxB222222LRyaaxxB222222222222LkRkykkaxakxkB02122222222BARakRxakyxk此公式为圆方程式,证明了动点到两定圆切线长度为定比的轨迹是一个圆。
令0y,求C点D点的x坐标:
0212222222BARakRxakxk22222222221422121BARkRkakakakkx2222224224242222111BABARkRkaRkRkkakakkakx222222221111kaRkRkkkaaxBA得到C点D点的x坐标:
1122222222kkaRkRkakxBAC1122222222kkaRkRkakxBAD得到阿氏圆圆心的x坐标:
11222kaakakxQ圆圆阿氏圆圆心公式得到阿氏圆半径:
2222222111kaRkRkkRBA题目2,点到两圆切线定比,见图10。
绘制阿氏圆的方法四,三公切线法,三公切线定比分点法。
几何原理,到两定圆切线长度为定比的点在阿氏圆上,三点定圆。
见图11。
60R15R203a2a40图10题目2点到两圆切线定比5R75.6571212860R15R20绘制阿氏圆的方法五,定比切线点一对圆法,公切线定比分点定比切线点三点圆法。
几何原理,到两定圆切线长度为定比的点在阿氏圆上,三点定圆。
见图12。
绘制阿氏圆的方法六,定比切线点两对圆法,定比切线点三点圆法。
几何原理,到两定圆切线长度为定比的点在阿氏圆上,三点定圆。
见图13。
图11运用方法四三公切线法绘制阿氏圆3060R15R20R75.6571212845图12运用方法五定比切线点一对圆法绘制阿氏圆3060R15R20R75.65712128456040图13运用方法六定比切线点两对圆法绘制阿氏圆6在绘制阿氏圆的基础上绘制出题目2,见图1460R15R20R75.657121283a2a40图14题目2题解扩展扩展1扩展扩展:
动点Pp到两定点A、B的距离之比为定值kp,动点Pt到两定圆OA(同A点)、OB(同B点)切线的长度之比kt,两比值相等(kp=kt1)时,两点Pp、Pt运动轨迹的阿氏圆是两个同心圆。
见图15。
图15扩展1扩展同心阿氏圆从前面的点点阿氏圆圆心公式和圆圆阿氏圆圆心公式,可以得知两个阿氏圆圆心为同一个点,圆心的x坐标相同:
11222kaakakxQ绘制阿氏圆的方法七,同心阿氏圆法。
几何原理,扩展1扩展。
见图16、图17、图18。
120CBR57.14285714AR82.85714286R60R605020图16运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆17120CBR57.14285714AR82.8571428650206060图17运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆2120CBR57.14285714AR82.85714286502060图18运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆3题目3见图19,题目4见图20。
R701404a7aR7090aa图19题目3点圆定比分点图20题目4点圆定比分点扩展扩展2:
动点TA围绕定圆OA(半径RA)运动,定点B与动点TA的连线BTA,连线BTA上有定比分点P,PTA长度与PB长度之比为定值k,则动点TA运动时,定比分点P点的运动轨迹是一个圆OP(半径RP),且RA/RP=BTA/BP=1+k,且圆OA与圆OP的两外公切线延伸交点为P点。
点圆定比分点。
见图21。
图21扩展2点圆定比分点8方法八,点圆定比分点法,几何原理见扩展2点圆定比分点。
见图21、图22、图23。
R70140R40149.66629547261.91601707R7090101.73494975101.73494975R3580图22题目3题解运用方法八点圆定比分点法解题图23题目4题解运用方法八点圆定比分点法解题1204aR507a60题目5,点到点的距离与点到圆切线的长度之比为定比。
见图24。
扩展扩展3:
动点P到定圆OA(半径RA)作切线,切点为TA,动点P到切点TA的距离PTA与动点P到定点B的距离PB之比为定值k(PTA/PB=k,k1),则动点P点的运动轨迹是一个圆阿氏圆。
点到圆点切距定比。
见图25。
图24题目5点到圆点切距定比图25扩展3点到圆点切距定比点圆阿氏圆方程,见图26。
根据已知条件列方程:
22222LkRyxA,222Lyax22222Lyaaxx2222222222Lkykkaxakxk0212222222kaRxakyxkA9kLLOAOBRATAYXOP(x,y)RaXoCDOQ图26点圆阿氏圆方程此公式为圆方程式,证明了动点到定点距离与到定圆切线长度为定比的轨迹是一个圆。
令0y,求C点D点的x坐标:
021222222kaRxakxkA222222221422121ARkakakakkx222224242222111AARkaRkkakakkakx2222221111kaRkkkaaxA得到C点D点的x坐标:
11222222kkaRkakxAC11222222kkaRkakxAD得到阿氏圆圆心的x坐标:
11222kaakakxQ点圆阿氏圆圆心公式得到阿氏圆半径:
22222111kaRkkRA绘制阿氏圆的方法九,点切距定比法,点到圆点切距定比法。
几何原理,扩展3,见图27。
扩展扩展3扩展扩展:
动点Pp到两定点A、B的距离之比为定值kp,动点Pt到定圆OA(同A点)切线长度与到定点B的距离之比kt,两比值相等(kp=kt1)时,两点Pp、Pt运动轨迹的阿氏圆是两个同心圆。
见图28。
10R95.6808284712084R50R48图27应用方法九点切距定比法绘制阿氏圆图28扩展3扩展同心阿氏圆12070R5040R95.68082847R118.18181818从前面的点点阿氏圆圆心公式、圆圆阿氏圆圆心公式和点圆阿氏圆圆心公式,可以得知同比例的三个阿氏圆圆心为同一个点,圆心的x坐标相同:
11222kaakakxQ绘制阿氏圆的方法七,同心阿氏圆法。
几何原理,扩展1扩展与扩展3扩展,见图15、图16、图17、图18、图28、图29。
图29运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆4题目5题解见图30。
11R95.680828471204aR507a60图30题目5题解120R504a7a73题目6,点到点的距离与点到圆切线的长度之比为定比。
见图31。
应用方法九点切距定比法绘制阿氏圆,见图32。
运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆,见图33、图34。
图31题目6点到圆点切距定比R8448R118.65522897120R50图32应用方法九点切距定比法绘制阿氏圆12120R50R118.655228974884R118.18181818图33运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆4R118.18181818R118.65522897图34运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆4题目6题解见图35。
13111.77180856120R50R118.6552289763.8696048973图35题目6题解扩展扩展4:
一动点P到两定点A、B的距离相等(距离之比为1,PA/PB=k=1)时,则点P的运动轨迹是一条直线Lp,且直线Lp为线段AB的垂直平分线,阿波罗尼斯定理特例。
点到两点距离相等。
见图36。
扩展扩展5:
一动点P到两定圆OA(半径RA)、OB(半径RB)切线(切点为TA、TB)的长度相等(长度之比为1,PTA/PTB=k=1)时,则点P的运动轨迹是一条直线Lp,且直线Lp经过公切线Lt的中点,并垂直于连心线OAOB,阿波罗尼斯定理特例。
点到两圆切线相等。
见图37。
图36扩展4点到两点距离相等图37扩展5点到两圆切线相等14题目7,点到两圆切线长度相等。
见图38。
绘制阿氏圆直线的方法十,中点垂线法,阿波罗尼斯定理特例直线的绘制。
几何原理,扩展5。
作经过公切线的中点,并垂直于连心线的直线。
见图37、图39。
63120R40R25AA图38题目7点到两圆切线相等63120R40R2580.4549806280.45498062图39题目7题解方法十中点垂线法题目7题解见图39。
扩展扩展6:
动点P到定圆OA(半径RA)作切线,切点为TA,动点P
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