高等代数试题库.pdf
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高等代数试题库.pdf
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高等代数试题库高等代数试题库一、填空题:
一、填空题:
1、在C-1,1中,定义=11)()(dxxgxf,则向量1的长度为_,1与x的夹角为_。
2、二次型f(x1,x2)=x12+4x1x2+3x22的矩阵是_。
3、R3的子空间W=(a,2a,3a)|aR则dimW=_。
4、设n阶矩阵A的特征根为1,2,n,则detA=_,Tr(A)=_。
5、线性变换的属于本征值的特征子空间V=_。
6、设1,2,n是欧氏空间V的一个规范正交基,V中向量在基1,2,n下的坐标可由内积表示为_。
7、R2的线性变换在基1,2下的矩阵为A=4321,则在基1+2,22下的矩阵为_。
8、实二次型f的典范形式由_和_唯一确定。
9、实对称矩阵A正定当且仅当A与_合同。
10、Rn空间中,向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是_。
11、数域F上任意一个n维向量空间都与同构。
12、线性相关的充要条件是。
13、线性相关的充要条件是。
14、二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x2x3的矩阵表达式为()321321xxxAxxx,则A=_。
15、设1是线性方程组AX=B的一个解,2是线性方程组AX=0的一个解,则1-2是_的一个解。
16、设n阶可逆矩阵A的特征根为1,2,n,则A-1的特征根为_。
17、设W1、W2是V的两个子空间,则W1与W2的和W1+W2=。
18、二次型f(x1,x2)=()21214321xxxx的矩阵为__。
19、对任意向量空间V,V的平凡子空间是和。
20、线性变换把线性相关向量变成。
21、方程032234=+xxx的有理根为。
22、含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式D0时,该方程组有解。
23、两矩阵乘积的行列式等于其矩阵行列式的。
24、设矩阵=300220111,的转置矩阵为T,则T。
25、n阶可逆矩阵必等价于。
26、若阶矩阵的秩为,则的所有阶子式都等于零。
27、零多项式是。
28、若p(x)是不可约多项式,而f(x)是一个任意多项式,则当(p(x),f(x)1时,有。
29、两本原多项式的乘积是多项式。
30、)321)1(nn。
31、设为n阶方阵,则A。
32、设三阶方阵,满足1且710004100031则。
33、若n阶行列式有多于n2-n个为零的元素,则行列式值为。
34、设一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别为A和B,则有解的充要条件为35、在实数域上,任意次数多项式都可约。
36、含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式D0时,其方程组有且仅有解。
37、任n个矩阵乘积的行列式等于其矩阵行列式的。
38、有理数域多项式存在不可约多项式。
39、n阶可逆矩阵必等价于。
40、零多项式是。
41、若阶矩阵的秩为3,则的所有阶子式都等于零。
42、若p(x)是不可约多项式,而f(x)是一个任意多项式,则当p(x)不能整除f(x)时,有。
43、两本原多项式的乘积是多项式。
44、设为4阶方阵,则A3。
45、)321)1(nn。
46、设三阶方阵,满足1且710004100031则。
47、若一个线性方程组的系数矩阵的秩为r,则其增广矩阵的秩为和。
48、矩阵1112的逆矩阵是_.49、设A为nm矩阵,B是一个矩阵,且BA有意义,则B的列数等于_.50、设向量组12,r?
与12,s?
等价,它们的秩分别为,pq,则p与q的关系是_.51、设n级矩阵A的特征值为12,n?
,则A=_,Tr()_A=.52、二次型()11212222(,)21xfxxxxx=的矩阵为__.53、设12,m?
为n维向量,已知12,m?
线性无关,则m和n的关系是__.54、n维欧氏空间V中向量在标准正交基12,n?
下的坐标是()12,nxxx?
,那么(,)_,_i=.55、在欧氏空间4R中,向量(1,2,2,4),(0,2,2,2)=,那么与的夹角是_,(,)_d=.56、线性变换把线性相关向量变成_向量.57、nR空间中,向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是_.58、设A为正交矩阵,则_A=或_.59、设1a,2a不等于零,则12100aa=.60、设A、B均为n级对称矩阵,则AB也是对称矩阵的充要条件是_.61、设A为7级反对称矩阵,则_A=.62、设n级可逆矩阵A的特征值为12,n?
,则1A的特征值是_;()fA的特征值是_;_A=.63、欧氏空间中对称变换的属于不同特征值的特征向量_.64、实对称矩阵的特征值都是_.65、当一个向量组的极大无关组不唯一时,其两个不同的极大无关组所含向量个数_.66、设12,s?
是n维线性空间中s个向量,则当s满足条件_时,12,s?
线性相关.67、数域P上任意一个n维线性空间都与同构.68、二次型f(x1,x2)=()21214321xxxx的矩阵为__.69、设nnAP,()f为A的特征多项式,则()fA0.70、实对称矩阵A正定当且仅当A与_合同.71、设A为mn矩阵,秩()Arn=,则齐次线性方程组0AX=的基础解系含_个解向量.72、在C-1,1中,定义=11dx)x(g)x(f,则向量1的长度为_,1与x的夹角为_。
73、二次型f(x1,x2)=x12+6x1x2+2x22的矩阵是_。
74、R3的子空间W=(a,2a,3a)|aR则dimW=_。
75、线性变换的属于特征根的特征子空间V=_。
76、设1,2,n是欧氏空间V的一个标准正交基,V中向量在基1,2,n下的坐标可由内积表示为_。
77、R2的线性变换在基1,2下的矩阵为A=4321,则在基1+2,22下的矩阵为_。
78、实二次型f的典范形式由_和_唯一确定。
79、若C=AB,则矩阵C的秩与矩阵A、B的秩的关系为_。
80、Rn空间中,向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是,_。
81、设A为n阶可逆矩阵,则|A-1|=_。
82、实对称矩阵A正定当且仅当A与_合同。
83、已知矩阵A、B、C=(cij)mn,满足AC=CB,则A和B分别是_阶和_阶矩阵。
84、二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x2x3的矩阵表达式为()321321xxxAxxx,则A=_。
85、设1是线性方程组AX=B的一个解,2是线性方程组AX=0的一个解,则1-2是_的一个解。
86、设n阶可逆矩阵A的特征根为1,2,n,则A-1的特征根为_。
87、线性变换的属于特征根的特征子空间V=_。
88、在Rn空间中,向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是_。
89、R2的线性变换在基1,2下的矩阵为A=4321,则在基1+2,22下的矩阵为_。
90、实二次型f的典范形式由_和_唯一确定。
91、若C=AB,则矩阵C的秩与矩阵A、B的秩的关系为_。
92、二次型f(x1,x2)=()21214321xxxx的矩阵为_。
93、设A为n阶矩阵,且n1,|A|=d,则|A|=_。
94、实对称矩阵A正定当且仅当A与_合同。
95、已知=13210131131001X,则X=_。
96、零次多项式是一个_。
97、p(x)是不可约多项式,f(x)为任意多项式,则p(x)与f(x)的关系为_或。
98、实数域上的不可约多项式只有和。
99、映射的合成不满足_。
100、若n阶行列式有多于n2-n个为零的元素,则其行列式值等于_。
101、nija)(表示的n阶行列式是_项的代数和,其一般项是,符号是_。
102、若一个n元线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩都等于r,且rn则该方程组有解。
103、每一个对换都改变排列的。
104、若一个整系数多项f(x)在有理数域上不可约,则f(x)有理根。
105、若是一个整系数多项式f(x)的系数_,则称f(x)是一个本原多项式。
106、一个含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式_时,有且只有一个解。
107、设f(x)=4x4-7x2-5x-1,则f(x)的有理根为。
108、设f(x),g(x)不是零多项式,在f(x)与g(x)的一切公因式中,最大公因式是次数者。
109、当且仅当f(x)是多项式时,任意多项式g(x)与f(x)的最大公因式都是g(x)。
110、设f:
AB,g:
AB都是集合A到B的映射,则f=g是指。
111、排列2k,1,2k-1,2,k+1,k的反序数是。
112、|(aij)n|表示的n阶行列式是_项的代数和,其一般项是_,符号是_。
113、若一个线性方程组的系数矩阵的秩为r,则其增广矩阵的秩为_或_。
114、每一个对换都改变排列的_。
115、设f(x)=x5-x4-2x3+2x2+x-1,则f(x)的典型分解式为。
116、若一个齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数,则该方程组有解。
117、一个含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式_时,有且只有一个解。
118、设f(x)=xn+1,则f(x)重因式。
119、零多项式是指_。
120、p(x)是不可约多项式,f(x)为任意多项式,若(p(x),f(x)),则。
121、f(x)、g(x)是本原多项式,则f(x)g(x)本原多项式。
122、若是f(x)的k重根,则是f(x)一阶导数的重根。
123、映射的合成不满足__。
124、nija)(表示的n阶行列式是_项的代数和,其一般项是,符号是_。
125、若一个n元线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩都等于r,且r0。
6、正交变换在任意基下的矩阵都是正交矩阵。
7、实数域是复数域上向量空间。
8、向量组1,2,n中的向量两两线性无关,则向量组1,2,n也线性无关。
9、已知1,2都是线性变换的属于本征值的本征向量,则1,2的任意线性组合也是的属于本征值的本征向量。
10、设A,B是两个n阶正定矩阵,则A与B必合同。
11、V=|()=中每一个向量都是的属于本征值的本征向量。
13、Fn+1x是Fnx的子空间。
14、设A、B为n阶对称矩阵,则AB为对称矩阵的充要条件为ABBA。
15、相似矩阵有相同的特征向量。
16、线性变换把线性无关向量组变成线性无关向量组。
17、实二次型f(x1,x2,xn)=AXX正定的充要条件是A的主子式都大于。
18、对称变换在任意基下的矩阵都是对称矩阵。
19、存在数域F上恰好含有两个向量的向量空间。
20、已知1,2是齐次线性方程组AX=0的两个解,则k11+k22是AX=0的解,其中k1,k2为任意数。
21、任意多项式在数域P上至多有n个根。
22、数域P上的任意多项式都可分解成不可约多项式的乘积。
23、若n阶行列式D恰有个n元素非零,则D不为024、任意一个包含零向量的向量组必线性相关。
25、设A,B都是可逆方阵,则A+B也是可逆矩阵。
26、初等矩阵都是可逆矩阵。
27、任n个矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩。
28、数域P上的多项式只有两类,即可约多项式和不可约多项式。
29、齐次线性方程组永远有解。
30、零多项式能整除任意多项式。
31、任意多项式在数域P上至n多有个根。
32、数域P上的任意多项式都可分解成不可约多项式的乘积。
33、若n阶行列式D恰有个n元素非零,则D不为034、任意一个包含零向量的向量组必线性相关。
35、设A,B都是可逆方阵,则A1+B也是可逆矩阵。
36、齐次线性方程组永远有解37、任n个矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩。
38、数域P上的多项式只有两类,即可
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