经典蒙特卡罗算法入门_精品文档.pdf
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第一章:
第一章:
MonteCarlo方法概述方法概述一、一、MonteCarloMonteCarlo历史渊源历史渊源MonteCarlo方法的实质是通过大量随机试验,利用概率论解决问题的一种数值方法,基本思想是基于概率和体积间的相似性。
它和Simulation有细微区别。
单独的Simulation只是模拟一些随机的运动,其结果是不确定的;MonteCarlo在计算的中间过程中出现的数是随机的,但是它要解决的问题的结果却是确定的。
历史上有记载的MonteCarlo试验始于十八世纪末期(约1777年),当时布丰(Buffon)为了计算圆周率,设计了一个“投针试验”。
(后文会给出一个更加简单的计算圆周率的例子)。
虽然方法已经存在了200多年,此方法命名为MonteCarlo则是在二十世纪四十年,美国原子弹计划的一个子项目需要使用MonteCarlo方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。
出于保密缘故,每个项目都要一个代号,传闻命名代号时,项目负责人之一vonNeumann灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称,自此这种方法也就被命名为MonteCarlo方法广为流传。
十一、十一、MonteCarloMonteCarlo方法适用用途方法适用用途
(一)数值积分
(一)数值积分计算一个定积分,如,如果我们能够得到f(x)的原函数F(x),那么直接由表达式:
F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。
但是,很多情况下,由于f(x)太复杂,我们无法计算得到原函数F(x)的显示解,这时我们就只能用数值积分的办法。
如下是一个简单的数值积分的例子。
数值积分简单示例数值积分简单示例如图,数值积分的基本原理是在自变量x的区间上取多个离散的点,用单个点的值来代替该小段上函数f(x)值。
常规的数值积分方法是在分段之后,将所有的柱子(粉红色方块)的面积全部加起来,用这个面积来近似函数f(x)(蓝色曲线)与x轴围成的面积。
这样做当然是不精确的,但是随着分段数量增加,误差将减小,近似面积将逐渐逼近真实的面积。
MonteCarlo数值积分方法和上述类似。
差别在于,MonteCarlo方法中,我们不需要将所有方柱的面积相加,而只需要随机地抽取一些函数值,将他们的面积累加后计算平均值就够了。
通过相关数学知识可以证明,随着抽取点增加,近似面积也将逼近真实面积。
在金融产品定价中,我们接触到的大多数求基于某个随机变量的函数的期望值。
考虑一个欧式期权,假定我们已经知道在期权行权日的股票服从某种分布(理论模型中一般是正态分布),那么用期权收益在这种分布上做积分求期望即可。
(五)随机最优化(五)随机最优化MonteCarlo在随机最优化中的应用包括:
模拟退火(SimulatedAnnealing)、进化策略(Evolutionstrategy)等等。
一个最简单的例子是,已知某函数,我们要求此函数的最大值,那么我们可以不断地在该函数定义域上随机取点,然后用得到的最大的点作为此函数的最大值。
这个例子实质也是随机数值积分,它等价于求此函数的无穷阶范数(-Norm)在定义域上的积分。
由于在金融产品定价中,这部分内容用的相对较不常见,所以此课程就不介绍随机最优化方法了。
十二、十二、MontMonteCarloeCarlo形式与一般步骤形式与一般步骤
(一)积分形式
(一)积分形式做MonteCarlo时,求解积分的一般形式是:
X为自变量,它应该是随机的,定义域为(x0,x1),f(x)为被积函数,(x)是x的概率密度。
在计算欧式期权例子中,x为期权到期日股票价格,由于我们计算期权价格的时候该期权还没有到期,所以此时x是不确定的(是一随机变量),我们按照相应的理论,假设x的概率密度为(x)、最高可能股价为x1(可以是正无穷)、最低可能股价为x0(可以是0),另外,期权收益是到期日股票价格x和期权行权价格的函数,我们用f(x)来表示期权收益。
(二)一般步骤
(二)一般步骤我将MonteCarlo分为三加一个步骤:
1依据概率分布(x)不断生成随机数x,并计算f(x)由于随机数性质,每次生成的x的值都是不确定的,为区分起见,我们可以给生成的x赋予下标。
如xi表示生成的第i个x。
生成了多少个x,就可以计算出多少个f(x)的值2将这些f(x)的值累加,并求平均值例如我们共生成了N个x,这个步骤用数学式子表达就是3到达停止条件后退出常用的停止条件有两种,一种是设定最多生成N个x,数量达到后即退出,另一种是检测计算结果与真实结果之间的误差,当这一误差小到某个范围之内时退出。
有趣的类比:
积分表达式中的积分符合类比为上式中累加符号,dx类比为1/N(数学知识告诉我们积分实质是极限意义下的累加;f(x)还是它自己,积分中的(x)可类比为依据(x)生成随机数4误差分析MonteCarlo方法得到的结果是随机变量,因此,在给出点估计后,还需要给出此估计值的波动程度及区间估计。
严格的误差分析首先要从证明收敛性出发,再计算理论方差,最后用样本方差来替代理论方差。
在本课程中我们假定此方法收敛,同时得到的结果服从正态分布,因此可以直接用样本方差作区间估计。
详细过程在例子中解释。
这个步骤的理论意义很重要,但在实际应用中,它的重要性有所淡化,倘若你的老板不太懂这些知识,你报告计算结果时可以只告诉他点估计即可。
注意,前两大步骤还可以继续细分,例如某些教科书上的五大步骤就是将此处的前两步细分成四步。
十三、最简单的例子十三、最简单的例子举个例子:
计算从函数从0到2的定积分值。
数学方法:
我们已知的原函数是,那么定积分值就是:
=6.38905609893065。
计算这个数值可以在Matlab中输入代码:
exp
(2)-exp(0)上面得到的值是此不定积分的真实值。
常规数值积分:
在区间内取N个点,计算各个点上的函数值,然后用函数值乘以每个区间宽度,最后相加。
Matlab代码:
N=100;x=linspace(0,2,N);sum(exp(x).*2/N)试着调大N的值,你会发现,最后的结果将更接近真实值。
MonteCarlo数值积分法:
在内随机取N个点,计算各个点上的函数值,最后求这些函数值的平均值再乘以2(为何要乘以2在后面小节详细讲)。
看Matlab代码:
N=100;x=unifrnd(0,2,N,1);mean(2*exp(x)同样的,通过增大N,这种方法得到的结果也将越来越接近真实值。
解释解释这个例子要求的积分形式是:
,还不完全是形式,我们先做变换,这里是f(x);1/2是(x),它表示,在取值范围(0,2)区间内,x服从均匀分布。
前一例子共三条语句,逐句解释如下:
N=100;设定停止条件,共做N次MonteCarlo模拟。
x=unifrnd(0,2,N,1);按照(0,2)区间均匀分布概率密度对x随机抽样,共抽取N个xi。
此句相当于第一个步骤中的前半部分。
mean(2*exp(x)2*exp(x)作用是对每个xi计算f(xi)的值,共可得到N个值,这个相当于第一个步骤后半部分;Mean()函数的作用是将所有的f(xi)加起来取平均值,相当于第二个步骤。
这段代码中的停止条件隐含于N值设定中,它一次性生成N个x值,完成此次计算后整个程序就结束了。
十四、十四、MonteCarlMonteCarloo方法的优点方法的优点对比前面常规数值积分和MonteCarlo数值积分代码,同样数量的N值也就意味这几乎相同的计算量常规数值积分结果的精确度要高于MonteCarlo数值积分的结果。
那么,我们为何还需要用MonteCarlo来算数值积分呢?
答案的关键在于,常规数值积分的精度直接取决于每个维度上取点数量,维度增加了,但是每个维度上要取的点却不能减少。
在多重积分中,随着被积函数维度增加,需要计算的函数值数量以指数速度递增。
例如在一重积分中,只要沿着x轴取N个点;要达到相同大小的精确度,在s重积分中,仍然需要在每个维度上取N个点,s个纬度的坐标相组合,共需要计算Ns个坐标对应的f()函数值。
取点越多,会占用计算机大量内存,也需要更长运算时间,最终导致这种计算方法不可行!
MonteCarlo方法却不同,不管是积分有多少重,取N个点计算的结果精确度都差不多。
因此,即使在一重积分的情形下,MonteCarlo方法的效率比不过常规数值积分,但随着积分维度增加,常规数值积分的速度呈指数下降,MonteCarlo方法的效率却基本不变。
经验表明,当积分重数达到4重积分甚至更高时,MonteCarlo方法将远远优于常规数值积分方法。
现在回到金融产品定价,欧式期权理论定价公式只需要一重积分,此时MonteCarlo方法的效果不明显,但是如果我们考虑一个亚式期权:
期限为1年期,期权价格基于此1年内每天某个时点时的价格,全年共252个交易日,这样此亚式期权理论定价公式是一个252重积分。
常规的数值积分方法,需要取N252个点,这个数有多大,你自己去计算一下就知道了(注意:
N取值要远远大于2),常规数值积分方法不可行,只能用MonteCarlo。
综上,如果计算高维度多重积分,如路径依赖的exoticoptions(奇异期权)等金融产品定价,我们一般用的方法都是MonteCarlo。
十十五、五、MonteCarloMonteCarlo方法原理方法原理(选读选读)MonteCarlo方法计算的结果收敛的理论依据来自于大数定律,且结果渐进地(Asymptotically)服从正态分布的理论依据是中心极限定理。
以上两个属性都是渐进性质,要进行很多次抽样,此属性才会比较好地显示出来,如果MonteCarlo计算结果的某些高阶距存在,即使抽样数量不太多,这些渐进属性也可以很快地达到。
这些原理在理论上意义重大,但由于我们一般遇上的MonteCarlo问题都是收敛的、结果也都是渐进正态分布,所以工作中使用时可以不加考虑。
详细推导见相关书籍。
第二章:
随机数的生成第二章:
随机数的生成讲课人:
XaeroChang|课程主页:
http:
/macro2.org/notes/intro2mc本章第一节会简要复习随机变量的一些概念,但学习本章最好要有一定的数学基础。
第二节主要介绍如何生成一维概率分布的随机数,第三节介绍如何生成高维分布的随机数。
最后略提及伪随机数问题的应对策略。
由前文可知,MonteCarlo积分解决的问题形如,f(x)值只需由x值决定,因此此处最重要的就是如何生成服从(x)概率分布的随机数。
可以说,正确生成随机数,MonteCarlo方法就做完了一半。
一、随机变量基本概念一、随机变量基本概念
(一)随机变量
(一)随机变量现实世界中有很多可以用数字来衡量的事物,站在当前时间点来看,它们在未来时刻的值是不确定的。
例如,我们掷一骰子,在它停稳前,我们不可能知道掷出多少点(传说中的赌王除外,哈哈);例如某只股票在明天的股价,没有人能准确知晓第二天股票的价格(不然他就发惨了!
)。
但是,我们却可以描述这些事物未来各种值的可能性。
(二)离散型随机变量
(二)离散型随机变量离散型随机变量最重要的是分布律,即每个取值的概率是多少。
例如掷骰子,我们认为扔出任何一个点的概率都是1/6。
那么掷骰子得到的点数的分布律如下表:
骰子点数123456概率1/61/61/61/61/61/6(三)连续性随机变量(三)连续性随机变量连续型随机变量有两个重要的概念。
概率密度函数(PDF)和累积概率分布函数(CDF),具体定义见数学书籍。
PDF函数本身不是概率,只有对x的某段区间中的PDF积分得到的数值才有概率的含义。
CDF是概率的意思,点x上CDF的值表示该随机变
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