2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文15.pdf
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1太阳影子定位太阳影子定位研究研究摘摘要要本文针对太阳影子定位问题,运用最小二乘法等,分别建立影子长度变化模型、最小方差等模型,使用Matlab、KMPlayer、Photoshop等软件,得到不同条件下可能的地理位置和日期。
针对问题一:
分析影子长度关于各个参数的变化规律并画图。
以太阳高度角为桥梁,建立影子长度与杆高、日期、时间、经度、纬度之间的函数关系式。
分别应用已有的太阳高度角表达式和建立的“空间法向量-太阳高度角模型”进行求解,并证明了以太阳直射点为圆心的地球表面的同心圆上的点的影长相等,此定理可用于求解不同地点;而后,将北京天安门广场的各个参数信息处理后代入模型中,最终运用MATLAB软件编程绘制出2015年10月22日该地点太阳影子长度的变化曲线。
针对问题二:
依某固定直杆的太阳影子顶点坐标数据,求杆地点。
由于杆高未知,且有一系列的影长的观测值,带入变量间的表达式,可得地球上每点都有一系列的杆高的估计值,借鉴最小二乘的思想,构建最小方差优化模型,并用粗劣搜索算法结合GA算法进行求解。
得到粗劣解为19N,109E,精确解为17244.7975N,1105135.1037E,在海南、三亚附近。
针对问题三:
依某固定直杆的太阳影子顶点坐标数据,求杆所处的地点和日期。
首先,给出杆高与经度纬度之间的关系,从图像分析,数值分析,现实情况得到“一年中北极点的方差最小,赤道附近点的方差最大”的结论;其次,以地球个点的平均杆高为实际杆高,建立最小二乘、最小一乘优化模型,并用多种群GA进行求解。
得到附件2的地区为41N,79E,精确解为40145.1023N,774258.1478E,在新疆塔里木河附近,日期为6月12日;附件3对应最优解为232239.2670N,109310.1559E,在湖南湘西怀化附近,日期为11月7日。
针对问题四,建立确定附件4中视频拍摄地点的数学模型,并应用所建立的模型给出若干个可能的拍摄地点。
针对拍摄日期已知的情况,提取视频中直杆在40分钟内影子长度等有效数据,建立基于最小二乘法,最终,确定地点为40517.6018N,1211441.5836E,在长春、哈尔滨附近。
针对拍摄日期未知的情况,我们建立以为常量,以,的值作为观测值,以,为未知参数的基于最小二乘法的影子定位模型,最后,确定的地点为403259.9198N,1234051.8331E,在鞍山市、沈阳附近,精确日期为7月20日。
本文后续对模型进行了误差分析与灵敏度分析,分析了不同纬度对杆高估计量的影响,进而我们对模型进行了评价与推广,并针对问题二、问题三与问题四的求解结果,对求解模型做出了一定改进。
关键词关键词:
太阳影子定位;多种群GA算法;最小二乘法;等太阳高度线;MATLAB21问题的重述问题的重述一、背景知识一、背景知识1总背景介绍总背景介绍21世纪是数据信息大发展的时代,随着计算机技术逐渐全面融入社会生活,电子信息逐渐成为人们获取信息的重要来源之一。
视频资料作为电子信息,是最直观、最生动形象的信息,在现实生活中的应用也越来越广泛,因而视频数据分析技术在大数据时代也越发重要,运用视频数据分析技术将视频内容中的信息进行分析处理,并获得有用的数据,无疑给人们的生活带来了极大便利。
2问题的产生问题的产生在视频数据分析技术中,如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是非常重要的方面,太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化,由此来确定拍摄的地点和日期。
为了更加精确、更加便利地确定视频的拍摄地点和日期,利用数学思想,建立数学模型来解决这个问题。
二、相关资料二、相关资料1KMPlayer软件“抓帧”得出25张不同时刻的视频截图(详见附件1)2附件1-3各个观测时间点下直杆的影子长度数据(详见附录附表1);3问题一中直杆的太阳影子长度的变化曲线绘制程序(详见附录程序1);4不同经纬度下影子长度变化的函数图绘制程序(详见附录程序2);5附件一对应的可能地点求解程序(详见附录程序3)6附件二与附件三对应的可能地点与日期求解程序(详见附录程序4);7附件四对应的可能拍摄地点与日期求解程序(详见附录程序5);8问题一到问题四的具体详细程序(详见附件2)三、要解决的问题三、要解决的问题1问题一问题一:
建立影子长度变化的数学模型,分析影子长度关于各个参数的变化规律,并应用所建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:
00-15:
00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2问题二问题二:
根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点,并将模型应用于原题附件1的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点。
3问题三问题三:
根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点和日期,然后将模型分别应用于原题附件2和原题附件3的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点与日期。
4问题四问题四:
原题附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频,并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米;建立确定视频拍摄地点的数学模型,并应用所建立模型给出若干个可能的拍摄地点。
此外,如果拍摄日期未知,能否根据视频确定出拍摄地点与日期?
2问题的分析问题的分析3一、问题的总分析一、问题的总分析画出整体框图如下:
二二、对具体对具体问题的分析问题的分析1对问题一的分析对问题一的分析问题要求我们建立影子长度变化的数学模型,分析影子长度关于各个参数的变化规律,并应用所建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:
00-15:
00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
首先,我们确定影响影子长度的变量主要为太阳高度角与固定直杆的高度;其次,通过查阅相关文献写出决定太阳高度角的参数表达式(影响参数主要有:
地理纬度、太阳赤纬及太阳时角);最后,写出影子长度与太阳高度角以及固定直杆高度之间的表达式,建立影子长度变化的数学模型。
将2015年10月22日、北京时间9:
00-15:
00之间、天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)、直杆3米高等各个参数信息通过一定的处理后代入模型中,最终运用MATLAB软件编程绘制出太阳影子长度的变化曲线。
2对问题二的分析对问题二的分析问题要求我们根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立确定直杆所地点的数学模型,并将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点。
首先,我们根据附件1分析可知,已知的参数数据有:
测量日期2015年4月18日、14:
42-15:
42时间段内每隔三分钟读取的21组固定直杆影子长度与观测时间点,未知的参数数据有:
直杆的高度h、及其所处地点的经度与纬度;其次,将问题一中的影子长度表达式转化为以经度、纬度作为自变量,长杆影子长度、日期n以及时间t作为已知参数,而长杆高度h作为因变量的表达式;最后,我们定义一个经纬度的取值范围,用GA算法进行遍历搜索与精确求解,最终得到使Var()达到最小的最优(,)解。
3对问题三的分析对问题三的分析问题要求我们根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立确定直杆所处的地点和日期的数学模型,并模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点与日期。
首先,我们根据附件2和附件3分析可知,已知的参数数据有:
12:
41-13:
41以及413:
09-14:
09时间段内每隔三分钟读取的21组固定直杆影子长度与观测时间点,未知的参数数据有:
直杆的高度h、直杆所处地点的经度与纬度、及观测日期;其次,将问题二中的杆高表达式转化为以经度、纬度和日期n作为自变量,长杆影子长度、以及时间t作为已知参数,而长杆高度h作为因变量的表达式;最后,我们定义一个经纬度的取值范围和目标函数,用GA算法进行遍历搜索与精确求解,最终得到使目标函数达到最优的纬度和经度解。
4对问题四的分析对问题四的分析问题要求我们建立确定附件4中视频拍摄地点的数学模型,并应用所建立的模型给出若干个可能的拍摄地点。
针对拍摄日期已知的情况,首先,我们要提取视频中直杆在40分钟内影子长度变化的数据,及视频中含有的有关影响直杆影子长度的参数信息;其次,我们建立以,为常量,以,的值作为观测值,以,为未知参数的基于最小二乘法的影子定位模型(,)=;最后,求以和为自变量的二元函数的最小值以此确定最优的和取值。
针对拍摄日期未知的情况,提取出视频中的有效信息后,我们建立以为常量,以,的值作为观测值,以,为未知参数的基于最小二乘法的影子定位模型(,)=;最后,求以,为自变量的多元函数的最小值以此确定最优的,取值。
3模型的假设模型的假设1.假地球是一个标准球体,且其半径为R;2.假设当物体的高度h很大时,才考虑地球面的弧度,否则,将物体影子投射的面视作平面,不考虑地球面的弧度;3.由于太阳直射点所在的经线的地方时为正午12时,且由于一天内太阳直射点的纬度变化很小,所以我们假设某一天太阳直射点的纬度是不变的;4.假设在本文研究物体影子长时,物体都是垂直于地球表面的;5.假设问题四在读取视频中直杆影子长度时,视影子为直杆底端与影子顶端之间的线段,忽略直杆底座导致的误差。
4名词解释与符号说明名词解释与符号说明一、名词解释一、名词解释1.太阳高度角太阳高度角:
对于地球上的某个地点,太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角,专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。
太阳高度角简称高度角。
当太阳高度角为90时,此时太阳辐射强度最大;当太阳斜射地面时,太阳辐射强度就小。
2.太阳赤纬太阳赤纬:
是指地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角;赤纬角以年为周期,在+2326与-2326的范围内移动,成为季节的标志。
3.最小二乘法最小二乘法:
最小二乘法又称最小平方法,是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配;利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小;最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵,用最小二乘法来表达。
4.太阳直射点:
太阳直射点:
太阳直射点是地球表面太阳光射入角度(即太阳高度角)为90的地点,它是地心与日心连线和地球球面的交点。
太阳直射点所在的经线的地方时为正午12时,且由于一天内太阳直射点的纬度变化很小,我们可以认为某一天太阳直射点的纬度是不变的。
55.等太阳高度线:
等太阳高度线:
等太阳高度线属于等值线的一种,把太阳高度相等的各点连接成线叫做等太阳高度线。
6.同心圆性质:
同心圆性质:
指物体在等太阳高度线上任意点处的影子长度是相等的性质。
二、二、主要主要符号说明符号说明序号符号符号说明1地球半径2物体的高度3物体的影子长度4物体所在地点的纬度5物体所在地点的经度6太阳高度角7太阳赤纬8由日期转化的天数9太阳时角10观测点的时间5模型的建立与求解模型的建立与求解一、问题一的分析与求解一、问题一的分析与求解1问题的分析问题的分析问题要求我们建立影子长度变化的数学模型,分析影子长度关于各个参数的变化规律,并应用所建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:
00-15:
00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)3
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