2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文14.pdf
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1太阳影子定位模型摘要本题要求分析直杆的太阳影子长度变化的相关数据,通过建立模型,确定直杆所在位置以及测量数据的日期。
针对问题一,建立了影子长度变化的数学模型。
画出太阳光直射地球正面图,建立相应的空间直角坐标系,并对包含直杆所在点A及太阳直射点B的最大圆进行几何学分析。
建立了直杆影子长度AF与直杆影对角之间的数学模型。
并求出与太阳赤纬角,太阳时角,测量点的纬度之间的函数关系。
查阅资料得到参数,的变化规律,转化之后即得到直杆影子长度AF与各个参数之间的变化规律。
针对问题二,建立确定直杆所处地点的数学模型。
分别从影子实际长度l和相邻时刻影子的夹角两个方面考虑直杆所在地点。
一方面,通过对附件1中的数据分析,求出实际影子长度比值1/iill。
根据问题一中与各参数,之间的关系,对直杆所在地点的经度,纬度采用枚举法,对每一组(,)求解出11/tan/taniiiill的比值,找出实际值与理论值之间的最小方差,即得到若干最优解(,)。
另一方面,利用附件1中的数据求出相邻时刻影子之间的夹角i,再重新定义参数为影子与正北方向的夹角。
与上一方法类似,我们应用参数通过对直杆所在地点的经度,纬度采用枚举法,对于每一组(,)求解出1iii作为模拟值,用类似的方法得到若干最优解。
最后比较两种方法得到的最优解,得到一个最优解的聚集地,在东经119度,北纬19度,为中国海南省。
针对问题三,建立确定直杆所处地点和日期的数学模型。
我们可以利用问题二中的方法,从影子的实际长度出发,对经度、纬度和日期进行遍历,即可得到若干最优解,附件二可能日期在6月5日或7月9日,地点在东经79.75度,北纬41度,在中国新疆省;而附件三的一个可能日期在1月18日或11月25日,地点在东经110.75度,北纬32度,在中国湖北省。
针对问题四,我们将平面倾斜的照片与现实建立联系,通过将影子分解为竖直方向与水平方向求解影子的长度,然后继续使用问题二的方法进行求解,在不知道日期的情况下,也可以通过问题三的方法进行求解。
最后结果在东经163.5度,北纬24度。
关键字:
关键字:
枚举法微元法直杆影对角小孔成像牛顿莱布尼兹公式2一、问题重述确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面,太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化,确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1、建立影子长度变化的数学模型,分析影子长度关于各个参数的变化规律,并用建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:
00-15:
00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2、建立相应的数学模型,根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,确定直杆所处的地点。
将建立的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点。
3、建立相应的数学模型,根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,确定直杆所处的地点和日期。
将建立的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点与日期。
4、建立确定视频拍摄地点的数学模型,根据附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频,给出若干个可能的拍摄地点。
已通过某种方式估计出该直杆的高度为2米。
若拍摄日期未知,试根据视频确定出拍摄地点与日期。
二、问题假设1、假设地球为规则的球体,半径为R=6371km;2、假设南纬为负,北纬为正,西经为负,东经为正;3、假设地球公转的周期为365天,地球自转的周期为24小时;4、假设题目中给出的所有数据都是准确的,忽略测量时出现的误差;5、假设太阳为点光源,发出的光线为平行光线直射地球,忽略大气层折射对太阳光线的影响;6、假设春分日为每年的3月21日,夏至日为每年的6月22日,秋分日为每年的9月23日,冬至日为每年的12月22日。
三、符号说明符号含义R地球半径,6371km3测量地点的纬度(南纬为负,北纬为正)测量地点的经度(西经为负,东经为正)太阳赤纬角太阳时角直杆影对角h太阳高度角T距离春分日的天数TT真太阳时t北京时间(地方标准时)影子与正北方向的夹角相邻时刻影子间的夹角l影子实际长度m直杆实际长度b视频中广场的长度s摄像机内摄像头到显示屏的距离g摄像头到地面的高度四、问题分析影子是物体在光线照射下,在某个平面上形成的投影。
由于地球每时每刻都在自转及围绕着太阳公转,地球上的物体在太阳照射下形成的影子也在随着时间发生变化。
太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化,确定视频拍摄的地点和日期的一种方法,现已应用于视频数据分析处理的实际操作中。
4tanAFAEYZSNCBAD阳光EOX4.1问题一问题一分析分析本题要求建立数学模型,求出物体的影长与各个参数之间的变化规律,并运用该模型求出某时刻天安门广场前,3m长直杆的太阳影子长度的变化曲线。
我们假设太阳光为一组平行光线。
物体所在位置为点A,A点所在的经线与赤道的交点为点D。
某时刻在地球上的太阳直射点为点B,B点所在的经线与赤道的交点为点C。
以地球的球心为坐标原点,以OD的延长线为X轴,以与OD垂直的直线为Y轴,以与赤道平面垂直的直线为Z轴建立空间直角坐标系。
我们可得到各个点的空间坐标:
cos,0,sinARR,coscos,cossin,sinBRRR,cos,sin,0CRR,,0,0DR。
图1太阳光直射地球正面图
(1)通过对包含点A,B的最大圆进行几何学分析,我们得到长度为AE的物体在太阳光的照射下,投影长度为AF,则:
并且此时可以得到:
coscoscoscossinsin我们通过查阅相关文献及几何学分析,得到参数,各自的变化规律,即得到投影长度AF与各个参数之间的关系。
当需画出2015年10月22日北京时间9:
00-15:
00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线时,即当已知AE=3m,T=215,9,15t,395426,1162329时,我们求出直杆的影子长度随着时间的变化规律,并运用MATLAB画图求得太阳影子长度AF的变化曲线。
4.24.2问题二分析问题二分析5本题要求建立确定直杆所处地点的模型。
根据直杆的太阳影子长度随着时间变化的一组数据,找出直杆所在地点的合理位置。
通过分析数据可知,在直杆的实际长度未知的情况下,我们需要从影子实际长度l和相邻时刻影子的夹角两个方面考虑直杆所在地点。
一方面,我们从影子的实际长度l的角度出发。
由于题目中只给出了影子的坐标数据,而直杆的实际长度未知,我们需要将实际问题转化为求影子长度的比值。
通过对附件1的数据进行处理,得到21个不同时刻的影子实际长度il,再进一步求出20组影子实际长度的比值1/iill。
根据问题一,我们得到影长与直杆的实际长度的关系,即tanlm,可以得出以下关系:
11/tan/taniiiill。
再根据问题一中,直杆影对角与各参数,之间的关系,我们对直杆所在地点的经度,纬度,测量时间t进行穷举法遍历,通过建立的模型对每一组(,)求解出20组11/tan/taniiiill的比值,在误差允许的范围内,找出实际值与理论值之间的最小方差,即得到若干最优解(,)。
此时已知测量数据时的日期为2015年4月18日,即在计算太阳赤纬角时,取距离春分日的天数T=28。
另一方面,我们从相邻时刻影子之间的夹角的角度出发。
分析数据我们知道,虽然题目中已建立直角坐标系,但并不知道X轴和Y轴的具体方位。
因此,可以将问题转化为求相邻时刻的影子之间的夹角。
我们求出21个不同时刻的影子与Y轴夹角arctan(/)iixy,进一步求出20组相邻时刻的影子之间的夹角11arctan(/)arctan(/)iiiiixyxy作为实际值。
接着再引入影子与正北方向的夹角作为参数。
我们运用几何学知识可以求出与各参数,之间的函数关系。
并且与上一模型类似,我们对直杆所在地点的经度,纬度,测量时间t进行穷举法遍历,通过建立的模型对于每一组(,)求解出20组1iii作为模拟值,在误差允许的范围内求出实际值与理论值之间的最小方差,得到若干最优解。
(其中i=1,2,20)通过综合以上两种方法求出的最优解,我们得到若干个附件1的固定直杆所在地点的最优解。
4.34.3问题三分析问题三分析本题要求建立确定直杆所处的地点和日期模型。
根据附件2和附件3直杆的太阳影子长度随着时间变化的数据,找出直杆所在地点和测量日期。
把问题三与问题二相比较可以发现,问题三只比问题二多增加了一个参数变量,即距离春分日的天数T在问题三中是不定值。
我们通过分析太阳直射点随着地球的自转和公转发生变化的规律,发现太阳直射点在南北回归线之间运动的轨迹符合简谐振动的运动规律。
由于简谐振动具有高度的对称性,我们只考虑其中部分的运动轨迹。
即只考虑从夏至日(6月22日)到冬至日(12月22日)之间,直杆的太阳影子6ADCBGMIPQEFHWVNADGMINBFPQH长度的变化情况。
此时,距离春分日的天数T的范围为:
93,276T。
我们选择问题二中从影子实际长度的角度出发解决问题,用类似的方法对直杆所在地点的经度,纬度,测量时间t,距离春分日的天数T进行穷举法遍历,在误差较小的前提下,得到固定直杆的若干个地点和日期的最优解(,)T。
同时,我们通过运用问题二中从相邻时刻影子的夹角的角度,对于上述结果进行模型的检验和优化。
4.44.4问题四分析问题四分析第四问在最基本的模型建立上与前三问类似,最主要的差别为我们需要将视频中的线段距离通过一定的关系式转化为现实中的实际距离。
我们主要采用将照片中的点与实际中的点建立对应关系,我们画出照片中有关于前面的广场部分的图像和实际中广场的图像,其中实际中的点与照片中的点有一一对应的关系,主要的端点用M与M表示对应关系。
图2照片中广场的视图图3与图2相对应的实际中的广场俯视图7在实际广场的图像中平行于AD的线段在图1中的对应线段的延长线均通过E点,且我们认为AD与BC是平行的。
于是我们可以在照片上以两条边界分别为x轴和y轴建立一个直角坐标系,确定ABCD的坐标,并通过求解两条直线的交点解得E点坐标。
现假设PQ为第一张照片中影子的位置,则在实际的广场上,PQ为其确切位置,我们可以分别计算P与Q之间的竖直距离(即QN-PM)以及水平距离(即MN)得到影子的实际长度。
再利用问题二中的模型,在已知直杆的影子长度的情况下,求解出直杆所在的地点。
若假设视频拍摄的日期未知,我们利用问题三中的模型可以求解出直杆所在地点以及拍摄日期。
五、模型的建立与求解5.15.1问题一问题一模型模型5.1.15.1.1物体影子长度变化物体影子长度变化模型模型的建立的建立地球的运动是自转和公转两种运动的叠加。
地球在围绕着地轴自转的同时,还在围绕着太阳公转。
由于黄赤交角(地球公转轨道面与赤道面的夹角,约为2326)的存在,地球公转到达不同位置,其太阳直射点的纬度不同。
因此,在一个回归年(地球公转的一个周期)期间,太阳有时直射北半球,有时直射南半球,有时直射在赤道上。
半年在北半球,半年在南半球,半年向北移动,半年向南移动。
太阳直射到最北范围是北纬232621,最南范围是南纬232621。
春分秋分日太阳直射赤道,夏至日太阳直射到北回归线上,冬至日太阳直射到南回归线上。
太阳直射点在赤道南北这种有规律的周期性往返运动称为太阳直射点的回归运动1。
正是由于地
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