郑君里信号与系统讲义.pdf
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信号与系统讲义第一章:
绪论1第一章:
绪论1.1信号与系统信号与系统(信号与系统第二版(郑君里)1.1)图1-1典型通信系统消息(Message):
信源的输出+语义学上的理解。
信号(Signal):
InformationVector(Signum),它携带或蕴含或本身即为信息。
信息(Information):
消息,内容,情报(见牛津英文词典)。
语用层次上的信息:
效用信息语义层次上的信息:
含义语法层次上的信息:
形式(狭义信息Shannon信息论)系统(System):
由若干个相互作用的物理对象和物理条件(统称为系统元件)组成的具有特定功能的整体。
本课程内容与定位:
信号的表示(分析):
把信号分解成它的各个组成分量或成份的概念、理论和方法,即用简单表示复杂。
信号通过线性时不变系统的分析:
系统分析:
在给定系统的条件下,研究系统对于输入激励信号所产生的输出响应。
系统综合:
按某种需要规定出系统对于给定激励的响应,并根据此要求设计系统。
支撑系统分析、信号处理两类课程四个系统分析层次
(1)信号与系统:
信号的表示,信号通过系统的响应,系统设计;
(2)线性系统理论:
系统的状态空间描述与运动分析,可控性、可观性、稳定性、鲁棒性、反馈系统时域设计;(3)高等系统分析:
不确定性原理与反演问题;(4)复杂系统分析:
现代系统论、非线性理论、人工生命方法。
四个系统分析层次
(1)数字信号处理(DSP)信号与系统讲义第一章:
绪论2
(2)现代信号处理(3)时间序列分析1.2信号分类与典型确定性信号信号分类与典型确定性信号(信号与系统第二版(郑君里)1.2,1.4)确定性信号:
由确定系统产生、具有确定参数、按确定方式变化的信号。
随机信号:
具有不可预知的不确定性的信号。
非确定性信号模糊信号:
(例:
高矮,胖瘦,冷热,亮暗,)。
周期信号:
f(t)=f(t+nT),nZ非周期信号:
f(t)f(t+nT),nZ伪随机信号:
具有周期性的随机信号。
周期无穷大则为随机信号。
按时间和取值的连续性,可组合成四种信号:
模拟、阶梯、抽样、数字。
连续时间信号:
在所讨论的时间区域内任意时间点上都有定义(给出确定但可能不唯一的信号取值)的信号。
模拟信号:
时间和取值都连续的信号。
阶梯信号:
时间连续、取值离散的信号。
离散时间信号:
只在某些不连续的时间点或区间上有定义(给出信号取值)的信号。
抽样信号:
幅值具有无限精度的离散时间信号。
数字信号:
幅值具有有限精度的离散时间信号。
图1-2抽样信号举例典型确定性信号:
指数信号:
()tftKe=(1-1)其中,K、为实数。
正弦信号:
()()sinftAt=+(1-2)注意与注意与采样信号采样信号定义上定义上的差别!
的差别!
信号与系统讲义第一章:
绪论3其中,A为幅度,为角频率,为初相位。
单边衰减正弦信号:
()()()()00sin0ttftKett0。
复指数信号:
()stftKe=(1-4)其中:
()j,st=+可见:
()()()cosjsinstttftKeKetKet=+采样函数:
()()sinSatfttt=(1-5)图1-3采样信号采样函数的性质(三点、三式):
采样函数()Sat为偶函数,在t的正、负两方向振幅都逐渐衰减,当,2,tn=时,信号值为零。
()0Sad2tt=(1-6)()Sadtt=(1-7)()Sadtt=(1-8)高斯函数:
()2tftEe=(1-9)注意与注意与抽样抽样信号信号定义上定义上的差别!
的差别!
-0.2122信号与系统讲义第一章:
绪论4图1-4高斯函数高斯函数的性质:
高斯函数比任何一个多项式的倒数衰减都快,即()0niiiftt=是一个高阶无穷小量,当t。
定义:
比任何多项式的倒数衰减都快的函数称为速降函数。
高斯函数是速降函数,是正实函数。
高斯函数的傅里叶变换仍为高斯的。
奇异函数:
光滑函数:
定义域上任意阶导数都存在的函数的集合,记为()C。
奇异函数:
非光滑函数统称为奇异函数。
单位斜变函数:
(),00,0ttRtt=(1-15)图1-7符号函数图1-8门函数1.3冲激函数与广义函数冲激函数与广义函数(信号与系统第二版(郑君里)1.4,2.9)冲激函数的三种常规定义:
1)冲激函数的直观定义,狄拉克(Dirac)定义:
()()d10,0tttt+=(1-16)图1-9冲激函数这不是高等数学所讲的常规意义下的积分,不是黎曼(Riemann)积分,也不是勒贝格(Lebesgue)积分。
而是一种自洽定义的特殊积分。
2)冲激函数的广义极限定义:
冲激函数是面积(强度)为1,等效宽度趋于0的函数的极限。
这样的函数可以有多种,以下列出八种:
a)矩形函数逼近()01lim22tutut+(1-17)信号与系统讲义第一章:
绪论6图1-10矩形逼近b)金字塔函数逼近()()()()01lim1|ttutut+(1-18)图1-11金字塔逼近c)负指数函数逼近()|01lim,02tte(1-19)图1-12负指数逼近d)采样函数逼近()()()sinlimSalimkkktkktktkt=(1-20)图1-13采样函数逼近to信号与系统讲义第一章:
绪论7e)复指数函数积分逼近(与采样函数逼近相同)()()jjjj11limdd2211sinlimlim2jkttkkktktkkteekteett=,即采样逼近(1-21)f)高斯函数逼近()201limtte(1-22)g)采样函数平方逼近()()()()2222sinsinlimlimkkktktktktkt=(1-23)h)?
函数逼近()()22lim1nntnt+(1-24)3)冲激函数的检验函数(testfunction)定义:
检验函数的描述性定义:
区间(a,b)上的光滑函数()t称为检验函数,ab。
检验函数的全体记为()DD。
用检验函数定义冲激函数:
对于()t()DD,若有()()()()()d0fttfttt=,(1-25)()()ftt则:
称为冲激函数。
(1-26)冲激函数的性质:
取样性质:
若()ft有界,且在t=0连续,则有:
()()()()0fttft=(1-27)尺度变换性质:
()()1tt=(1-28)偶函数性质:
()()tt=(1-29)积分阶跃性质:
()()dtuttt=(1-30)定义(积分算子):
信号与系统讲义第一章:
绪论81dpt(1-31)为积分算子,则有()()1putt=(1-32)阶跃微分性质:
()()dduttt=(1-33)定义(微分算子):
dpdt(1-34)为微分算子,则有:
()()ptut=(1-35)筛性性质(原点):
()()()()()d0ttttt=,(1-36)其中()t有界,且在t=0处连续。
筛选性质(任意点):
()()()()()000dtttttttt=,(1-37)复合冲激函数:
若()ft是t的单调函数(在t0()()0000ftft=,的邻域内单调),则()()()()100ftfttt=(1-38)证明:
()t()DD,考虑()()()()()()dfxxfxxx=,令:
()()()00ddyfxyfxyfxx=,则,令:
()0xab取包含,的区间则:
原式=()()()()()1dfafbyxyfx()()()()dfafbyyy,()()()1yxfx=:
其中()()()000xfx=()()()00xxxfx=,信号与系统讲义第一章:
绪论9()()()00xxfxx=/,即:
()()()()100ftfttt=#证毕复合冲激函数的直观理解:
()()ft=的冲激位置在()ft=0,即在t0点;其余点为0。
()()ft的冲激强度不是1,而是与()ft的陡峭程度成反比。
上述第条可以通过广义极限逼近的冲激函数来理解:
若()ft在t0()ft邻域内缓变(斜率小),则的取值靠近0,()()ft的值就大;若()ft在t0()ft邻域内快变(斜率大),则的取值就远离0,()()ft的值就小;是反比关系。
若光滑函数()ft满足:
()12,|0=tttft,且()01,2,.ifti=,则:
()()()()1iiiftfttt=(1-39)冲激函数的广义函数(简称广函)定义:
定义(承托支撑,support,supp):
称()fx的非零点supp()()|0nfxXRfx=(1-40)为()fx的承托。
即把函数“支撑”起来的那些点集。
其中,()|0nXRfx为集合()|0nXRfx的闭包(集合上的所有点及其边界点叫做该集合的闭包,Closure)。
定义(检验函数的严格定义):
设Rn1)是上的光滑函数(即各阶导数处处存在)为开域,是上的实(复)函数,具有以下性质:
2)supp是上的有界闭集(亦称紧支集,即闭包是有界的),则是上的检验函数。
检验函数的全体记为D()。
通俗说法:
开域上的函数是光滑的,函数的支集是有界闭区间。
形式化语言的描述往往难以长久记忆,因此要记住形象化的描述。
例1:
()1101xxfxx=,信号与系统讲义第一章:
绪论10图1-13检验函数例子(),+,supp11f=,是有界闭集,但在0x=处()fx的左、右导数不相等,非光滑,所以,例1的()fx不是检验函数。
例2:
()1exp,110,1xxxfxx=supp1,1f=是(),R+中的有界闭集,()fx对(),xR+无穷可导,()()fxDD。
定义(广函):
给定函数列()1mmfx=,若对于()xD(),均有:
()()()()limmmfxxfxx=,(1-41)即:
()()lim()()dmmfxxdxfxxx=(1-42)则称()fx是()1mmfx=的弱极限,或称为广义极限。
反过来,称()1mmfx=弱收敛于()fx,而()fx称为D()上的广义函数。
亦即:
广义函数是函数序列的某种极限。
定义(冲激函数):
对于()xD(),若有:
()()()()()()()limd0mmfxxfxxfxxt=,(1-43)则:
()()()limmmfxfxx=(1-44)为冲激函数。
注意:
冲激函数的广义函数定义与检验函数定义的差异。
广函导数的积分检验(与检验函数的内积运算):
()xD()在区间,ab之外恒为0。
()fx是D()上的广函,则有:
()()()()()()()1nnnfxxfxx=,(1-45)即:
信号与系统讲义第一章:
绪论11()()()()()()()d1dbbnnnaafxxxfxxx=(1-46)特别地,当()fx是冲激函数时,有()()()()()()()()()()110nnnnnxxxx=,(1-47)冲激偶:
()()ddttt=称为冲激偶。
冲激偶是广函的一阶导数。
图1-14冲激函数图1-15冲激偶定义:
()()()()()()000000000000xx+=,当x=0;()0x=,当x0。
由冲激函数的广义极限(函数列逼近)定义,不难得出上述结论。
更进一步的研究表明,冲激函数、冲激偶的多数性质,都可由广义极限的逼近过程来推得和理解。
冲激偶的作用:
已知()fx连续可微,则有()()()()()()()()()0101nnknnkkknkxfxCfx=(1-48)证明:
对()xD(),()()()(),nxfxx()()()()dnxfxxx=()()()()01|nnxfxx=,由(1-47)式得()()()()()001nnnkkknkxCfxx=()()()()()0100nnnkkknkCf=信号与系统讲义第一章:
绪论12()()()()()()()0101,nnknkkknkCfxx=,由(1-47)式得()()()()()()()()()0101nnknn
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- 郑君里 信号 系统 讲义