要设计和发射一个带有X射线望远镜和其他科学仪器的气球.docx
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要设计和发射一个带有X射线望远镜和其他科学仪器的气球
一、最速下降法的基本知识
1、最速下降法基本原理
无约束问题的最优解所要满足的必要条件和充分条件是我们设计算法的依据,为此我们有以下几个定理:
定理1设f:
Rn®R1在点xÎRn处可微。
若存在pÎRn,使Ñf(x)Tp<0,则向量p是f在点x处的下降方向。
定理2设f:
Rn®R1在点x*ÎRn处可微。
若x*是无约束问题的局部最优解,则Ñf(x*)=0。
由数学分析中我们已经知道,使Ñf(x)=0的点x为函数f的驻点或平稳点。
函数f的一个驻点可以是极小点;也可以是极大点;甚至也可能既不是极小点也不是极大点,此时称它为函数f的鞍点。
以上定理告诉我们,x*是无约束问题的的局部最优解的必要条件是:
x*是其目标函数f的驻点。
定理3(充分条件)设f:
Rn®R1在点x*ÎRn处的Hesse矩阵Ñ2f(x*)存在。
若Ñf(x*)=0,并且Ñ2f(x*)正定,则x*是无约束问题的严格局部最优解。
一般而言,无约束问题的目标函数的驻点不一定是无约束问题的最优解。
但对于其目标函数是凸函数的无约束凸规划,下面定理证明了,它的目标函数的驻点就是它的整体最优解。
定理4设f:
Rn®R1,x*ÎRn,f是Rn上的可微凸函数。
若有Ñf(x*)=0,则x*是无约束问题的整体最优解。
2、最速下降法的基本思想
从当前点xk出发,取函数f(x)在点xk处下降最快的方向作为我们的搜索方向pk.由f(x)的Taylor展式知f(xk)f(xktpk)tf(xk)Tpko‖(tpk‖)略去t的高阶无穷小项不计,可见取pkf(xk)时,函数值下降得最多。
于是,我们可以构造出最速下降法的迭代步骤。
解无约束问题的的最速下降法计算步骤
3、算法描述
用最速下降法求无约束多维极值问题
的算法步骤如下:
(1)取初始点
,精度
,令
(2)计算搜索方向
,其中
表示函数
在点
处的梯度;
(3)若
,则停止计算;否则,从
出发,沿
进行一维搜索,即求
,使得
。
此处的一维搜索可以用黄金分割法等算法,当然也可以用MATLAB的
函数;
(4)令
,转步骤2。
如图,函数J(a)在某点ak的梯度是一个向量,其方向J(a)增长最快的方向。
显然,负梯度方向是J(a)减少最快的方向。
在最速下降法中,求函数最大值时,沿着梯度方向走,可以最快达到极大点;反之,沿着负梯度方向走,则最快达到最小点。
求函数J(a)极小值的问题,可以选择任意初始点a0,从a0出发沿着负梯度方向走,可使得J(a)下降最快。
4、流程图:
本程序在设计时加入了一个子程序,可以在子程序中输入要计算的线性方程,在主程序中进行运算。
程序设计时用while循环语句查找最值,用求导函数的方法定义变量,并且将变量x1,x2写成矩阵的形式以便进行运算。
二、炼油厂将A、B、C三种原料加工成甲乙丙三种汽油。
一桶原油加工成汽油的费用为4元,每天至多能加工汽油14,000桶。
原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含量,及汽油的卖出价、需求量、辛烷值、硫含量由下表给出。
问如何安排生产计划,在满足需求的条件下使利润最大?
一般来说,作广告可以增加销售,估计一天向一种汽油投入一元广告费,可以使这种汽油日销量增加10桶。
问如何安排生产计划和广告计划使利润最大?
原油类别
买入价(元/桶)
买入量(桶/天)
辛烷值(%)
硫含量(%)
A
45
≤5000
12
0.5
B
35
≤5000
6
2.0
C
25
≤5000
8
3.0
汽油类别
卖出价(元/桶)
需求量(桶/天)
辛烷值(%)
硫含量(%)
甲
70
3000
≥10
≤1.0
乙
60
2000
≥8
≤1
丙
50
1000
≥6
≤1.0
符号说明:
X1,X2,X3分别为A类原油生产成甲,乙,丙三种汽油的量。
Y1,Y2,Y3分别为B类原油生产成甲,乙,丙三种汽油的量
Z1,Z2,Z3分别为C类原油生产成甲,乙,丙三种汽油的量
PA,PB,PC分别为甲,乙,丙三种汽油中投入广告的花费
一、不考虑广告投入时的模型求解:
由以上述条件可知:
PA=PB=PC=0;
总利润为:
70*3000+60*2000+50*1000-45*(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)-4*(X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3)
针对买入量与总产量得条件①:
X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3≤14000;
X1+X2+X3≤5000;
Y1+Y2+Y3≤5000;
Z1+Z2+Z3≤5000;
针对需求量得条件②:
X1+Y1+Z1≥3000;
X2+Y2+Z2≥2000;
X3+Y3+Z3≥1000;
针对辛烷值得条件③:
12%*X1+6%*Y1+8%*Z1≥10%*(X1+Y1+Z1);
12%*X2+6%*Y2+8%*Z2≥2%*(X2+Y2+Z2);
12%*X3+6%*Y3+8%*Z3≥6%*(X3+Y3+Z3);
针对硫含量得条件④:
0.5%*X1+2.0%*Y1+3.0%*Z1≤1.0%*(X1+Y1+Z1);
0.5%*X2+2.0%*Y2+3.0%*Z2≤0.8%*(X2+Y2+Z2);
0.5%*X3+2.0%*Y3+3.0%*Z3≤1.0%*(X3+Y3+Z3);
X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3,Z1,Z2,Z3均为非负整数;
结果分析与检验
利用LING09.0求解在上述四条件下利润的最大值得:
不考虑广告投入时用LINGO9.0求解利润最大值所用程序:
max=70*3000+60*2000+50*1000-45*(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)-4*(X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3);
X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3<=14000;
X1+X2+X3<=5000;
Y1+Y2+Y3<=5000;
Z1+Z2+Z3<=5000;
X1+Y1+Z1>=3000;
X2+Y2+Z2>=2000;
X3+Y3+Z3>=1000;
0.12*X1+0.06*Y1+0.08*Z1>=0.10*(X1+Y1+Z1);
0.12*X2+0.06*Y2+0.08*Z2>=0.02*(X2+Y2+Z2);
0.12*X3+0.06*Y3+0.08*Z3>=0.06*(X3+Y3+Z3);
0.005*X1+0.02*Y1+0.03*Z1<=0.01*(X1+Y1+Z1);
0.005*X2+0.02*Y2+0.03*Z2<=0.008*(X2+Y2+Z2);
0.005*X3+0.02*Y3+0.03*Z3<=0.01*(X3+Y3+Z3);
@gin(X1);@gin(X2);@gin(X3);@gin(Y1);@gin(Y2);@gin(Y3);@gin(Z1);@gin(Z2);@gin(Z3);
直接求解结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
110000.0
Totalsolveriterations:
6
VariableValueReducedCostX12400.0000.000000X21600.0000.000000X3800.00000.000000Y10.0000002.000000Y20.0000002.000000Y30.0000002.000000Z1600.00000.000000Z2400.00000.000000Z3200.00000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice1110000.01.00000028000.0000.0000003200.00000.00000045000.0000.00000053800.0000.00000060.000000-45.0000070.000000-45.0000080.000000-45.00000936.000000.00000010184.00000.0000001152.000000.000000120.000000800.0000130.000000800.0000140.000000800.0000
当X1=2400,X2=1600,X3=800,Z1=600,Z2=400,Z3=200,其余变量值为0;即用A类原油生产2400桶甲类汽油,生产1600桶乙类石油,生产800桶丙类石油,用C类原油生产600桶甲类汽油,用C类原油生产400桶乙类汽油,用C类原油生产200桶丙类汽油时,总利润达到最大值为110000元。
二、考虑广告投入时的模型求解:
对甲、乙、丙三种汽油的广告投入分别设为PA、PB、PC.
总利润变:
70*(3000+10*PA)+60*(2000+10*PB)+50*(1000+10*PC)-45*(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)-4*(X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3)-PA-PB-PC;
针对需求量得到的条件②变为:
X1+Y1+Z1≥3000+10*PA;
X2+Y2+Z2≥2000+10*PB;
X3+Y3+Z3≥1000+10*PC;
其余条件与不考虑广告投入时相同.
结果分析与检验
利用LING09.0求解在上述条件下利润的最大值得:
考虑广告投入时利用LINGO9.0求解利润最大值所用程序:
max=70*(3000+10*PA)+60*(2000+10*PB)+50*(1000+10*PC)-45*(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2
+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)-4*(X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3)-PA-PB-PC;
X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3<=14000;
X1+X2+X3<=5000;
Y1+Y2+Y3<=5000;
Z1+Z2+Z3<=5000;
X1+Y1+Z1>=3000+10*PA;
X2+Y2+Z2>=2000+10*PB;
X3+Y3+Z3>=1000+10*PC;
0.12*X1+0.06*Y1+0.08*Z1>=0.10*(X1+Y1+Z1);
0.12*X2+0.06*Y2+0.08*Z2>=0.02*(X2+Y2+Z2);
0.12*X3+0.06*Y3+0.08*Z3>=0.06*(X3+Y3+Z3);
0.005*X1+0.02*Y1+0.03*Z1<=0.01*(X1+Y1+Z1);
0.005*X2+0.02*Y2+0.03*Z2<=0.008*(X2+Y2+Z2);
0.005*X3+0.02*Y3+0.03*Z3<=0.01*(X3+Y3+Z3);
@gin(X1);@gin(X2);@gin(X3);@gin(Y1);@gin(Y2);@gin(Y3);@gin(Z1);@gin(Z2);@gin(Z3);
直接求解结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objecti
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 设计 发射 一个 带有 射线 望远镜 其他 科学仪器 气球