线性代数习题.docx
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线性代数习题
线性代数(经管类)综合试题一
(课程代码4184)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设D=
=M≠0,则D1=
=
(B).
A.-2MB.2MC.-6MD.6M
2.设A、B、C为同阶方阵,若由AB=AC必能推出B=C,则A应满足(D).
A.A≠OB.A=OC.|A|=0D.|A|≠0
3.设A,B均为n阶方阵,则(A).
A.|A+AB|=0,则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2
C.当AB=O时,有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-1
4.二阶矩阵A
,|A|=1,则A-1=(B).
A.
B.
C.
D.
5.设两个向量组
与
,则下列说法正确的是(B).
A.若两向量组等价,则s=t.
B.若两向量组等价,则r(
)=r(
)
C.若s=t,则两向量组等价.
D.若r(
)=r(
),则两向量组等价.
6.向量组
线性相关的充分必要条件是(C).
A.
中至少有一个零向量
B.
中至少有两个向量对应分量成比例
C.
中至少有一个向量可由其余向量线性表示
D.
可由
线性表示
7.设向量组
有两个极大无关组
与
,则下列成立的是(C).
A.r与s未必相等B.r+s=m
C.r=sD.r+s>m
8.对方程组Ax=b与其导出组Ax=o,下列命题正确的是(D).
A.Ax=o有解时,Ax=b必有解.
B.Ax=o有无穷多解时,Ax=b有无穷多解.
C.Ax=b无解时,Ax=o也无解.
D.Ax=b有惟一解时,Ax=o只有零解.
9.设方程组
有非零解,则k=(D).
A.2B.3C.-1D.1
10.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是(D).
A.|A|>0B.存在n阶方阵C使A=CTC
C.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.四阶行列式D中第3列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子式的值依次为5,3,-7,4,则D=-15.
12.若方阵A满足A2=A,且A≠E,则|A|=0.
13.若A为3阶方阵,且
,则|2A|=4.
14.设矩阵
的秩为2,则t=t=3.
15.设向量
=(6,8,0),
=(4,–3,5),则(
)=0.
16.设n元齐次线性方程组Ax=o,r(A)=r 17.设 =(1,1,0), =(0,1,1), =(0,0,1)是R3的基,则 =(1,2,3)在此基下的坐标为(1,1,2). 18.设A为三阶方阵,其特征值为1,-1,2,则A2的特征值为1,1,4. 19.二次型 的矩阵 A= . 20.若矩阵A与B= 相似,则A的特征值为1,2,3. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21.求行列式 的值. 22.解矩阵方程: . 23.求向量组 =(1,1,2,3), =(-1,-1,1,1), =(1,3,3,5), =(4,-2,5,6)的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示. 24.a取何值时,方程组 有解? 并求其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示). 25.已知 求A的特征值及特征向量,并判断A能否对角化,若能,求可逆矩阵P,使P–1AP=Λ(对角形矩阵). 26.用配方法将下列二次型化为标准形: 四、证明题(本大题共6分) 27.设向量 ,证明向量组 是R3空间中的一个基. 线性代数(经管类)综合试题二 (课程代码4184) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。 错选、多选或未选均无分。 1.若三阶行列式 =0,则k=(C). A.1B.0C.-1D.-2 2.设A、B为n阶方阵,则 成立的充要条件是(D). A.A可逆B.B可逆C.|A|=|B|D.AB=BA 3.设A是n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,则(A). A. B. C. D. 4.矩阵 的秩为2,则λ=(B). A.2B.1C.0D. 5.设3×4矩阵A的秩r(A)=1, 是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量,则方程组的基础解系为(D). A. B. C. D. 6.向量 线性相关,则(C). A.k=-4B.k=4C.k=-3D.k=3 7.设u1,u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解,若 是其导出组Ax=o的解,则有(B). A.c1+c2=1B.c1=c2C.c1+c2=0D.c1=2c2 8.设A为n(n≥2)阶方阵,且A2=E,则必有(B). A.A的行列式等于1B.A的秩等于n C.A的逆矩阵等于ED.A的特征值均为1 9.设三阶矩阵A的特征值为2,1,1,则A-1的特征值为(D). A.1,2B.2,1,1C. 1D. 1,1 10.二次型 是(A). A.正定的B.半正定的C.负定的D.不定的 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。 11. =____5______. 12.设A为三阶方阵,且|A|=4,则|2A|=______32____. 13.设A= B= 则ATB=_ ____. 14.设A= 则A-1=____ ______. 15.向量 表示为向量组 的线性组合式为 ___ ____. 16.如果方程组 有非零解,则k=___-1_____. 17.设向量 与 正交,则a=_2__. 18.已知实对称矩阵A= 写出矩阵A对应的二次型 ____ ______. 19.已知矩阵A与对角矩阵Λ= 相似,则A2=___E_____. 20.设实二次型 的矩阵A是满秩矩阵,且二次型的正惯性指数为3,则其规范形为___ ______. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21.计算行列式 的值. 22.设矩阵A= ,B= ,求矩阵A-1B. 23.设矩阵 ,求k的值,使A的秩r(A)分别等于1,2,3. 解: 24.求向量组 的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示. 25.求线性方程组 的基础解系,并用基础解系表示其通解. 26.已知矩阵 ,求正交矩阵P和对角矩阵Λ,使P-1AP=Λ. 四、证明题(本大题共6分) 27.设向量组 线性无关,证明: 向量组 也线性无关. 线性代数(经管类)综合试题三 (课程代码4184) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。 错选、多选或未选均无分。 1.当(D)成立时, 阶行列式的值为零. A.行列式主对角线上的元素全为零 B.行列式中有 个元素等于零 C.行列式至少有一个 阶子式为零 D.行列式所有 阶子式全为零 2.已知 均为n阶矩阵,E为单位矩阵,且满足ABC=E,则下列结论必然成立的是(B). A.ACB=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E 3.设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(D). A.(AB)-1=A-1B-1B.(A+B)-1=A-1+B-1 C.(AB)T=ATBTD. 4.下列矩阵不是初等矩阵的是(B). A. B. C. D. 5.设 是4维向量组,则 (D). A.线性无关 B.至少有两个向量成比例 C.只有一个向量能由其余向量线性表示 D.至少有两个向量可由其余向量线性表示 6.设A为m×n矩阵,且m A.无解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能确定 7.已知4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3,又 是Ax=b的两个解,则Ax=b的通解是(D). A. B. C. D. 8.如果矩阵A与B满足(D),则矩阵A与B相似. A.有相同的行列式 B.有相同的特征多项式 C.有相同的秩 D.有相同的特征值,且这些特征值各不相同 9.设A是n阶实对称矩阵,则A是正定矩阵的充要条件是(D). A.|A|>0B.A的每一个元素都大于零 C. D.A的正惯性指数为n 10.设A,B为同阶方阵,且r(A)=r(B),则(C). A.A与B相似B.A与B合同 C.A与B等价D.|A|=|B| 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。 11.行列式 24. 12.设A为三阶矩阵,|A|=-2,将矩阵A按列分块为 ,其中 是A的第j列, 则|B|=6. 13.已知矩阵方程AX=B,其中A= ,B= ,则X= . 14.已知向量组 的秩为2,则k=-2. 15.向量 的长度 =根号15. 16.向量 在基 下的坐标为(3,-4,3). 17.设 是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系,则矩阵A的秩r(A)=1. 18.设 是三阶矩阵A 的特征值,则a=1. 19.若 是正定二次型,则 满足>5. 20.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3,矩阵B=A2+2A,则|B|=360. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21.设三阶矩阵A= ,E为三阶单位矩阵. 求: (1)矩阵A-2E及|A-2E|; (2) . 22.已知向量组 求: (1)向量组的秩; (2)向量组的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示. (1) 23.讨论a为何值时,线性方程组 有解? 当方程组有解时,求出方程组的通解. 24.已知向量组 ,讨论该向量组的线性相关性. 25.已知矩阵A= , (1)求矩阵A的特征值与特征向量; (2)判断A可否与对角矩阵相似,若可以,求一可逆矩阵P及
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