三角函数线及其应用.docx
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三角函数线及其应用.docx
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三角函数线及其应用
三角函数线及其应用
教学目标
1.理解并掌握三角函数线的作法,能利用三角函数线解决一些简单问题.
2.培养分析、探索、归纳和类比的能力,以及形象思维能力.
3.强化数形结合思想,发展学生思维的灵活性.
教学重点与难点
三角函数线的作法与应用.
教学过程设计
一、复习
师:
我们学过任意角的三角函数,角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定义的?
生:
在α的终边上任取一点P(x,y),P和原点O的距离是r(r>0),那么角α的六个三角函数分别是
(教师板书)
师:
如果α是象限角,能不能根据定义说出α的各个三角函数的符号规律?
生:
由定义可知,sinα和cscα的符号由y决定,所以当α是第一、二象限角时,sinα>0,cscα>0;当α是第三、四象限角时,sinα<0,cscα<0.cosα和secα的符号由x决定,所以当α是第一、四象限角时,cosα>0,secα>0;当α是第二、三象限角时,cosα<0,secα<0.而tanα,cotα的符号由x,y共同决定,当x,y同号时,tanα,cotα为正;当x,y异号时,tanα,cotα为负.也就是说当α是第一、三象限角时,tanα>0,cotα>0;当α是第二、四象限角时,tanα<0,cotα<0.
师:
可以看到,正弦值的正负取决于P点纵坐标y,余弦值的正负取决于P点的横坐标x,而正切值的正负取决于x和y是否同号,那么正弦、余弦、正切的值的大小与P点的位置是否有关?
生:
三角函数值的大小与P的位置无关,只与角α的终边的位置有关.
师:
既然三角函数值与P点在角α的终边上的位置无关,我们就设法让P点点位于一个特殊位置,使得三角函数值的表示变为简单.
二、新课
师:
P点位于什么位置,角α的正弦值表示最简单?
生:
如果r=1,sinα的值就等于y了.
师:
那么对于余弦又该怎么处理呢?
生:
还是取r=1.
师:
如果r=1,那么P点在什么位置?
生:
P点在以原点为圆心,半径为1的圆上.
师:
这个圆我们会经常用到,给它起个名字,叫单位圆,单位圆是以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.
(板书)
1.单位圆
师:
设角α的终边与单位圆的交点是P(x,y),那么有sinα=y,cosα=x.
师:
我们前面说的都是三角函数的代数定义,能不能将正弦值、余弦值等量几何化,也就是用图形来表示呢?
因为数形结合会给我们的研究带来极大的方便,请同学们想想,哪些图形与这些数值有关呢?
(同学可能答不上来,教师给出更明确的提示.)
师:
sinα=y,cosα=x,而x,y是点P的坐标,根据坐标的意义再想一想.
师:
对点来说,是它的位置代表了数,点本身并不代表数.能不能找到一个图形,自身的度量就代表数?
生:
可以用面积,比如一个正数可以对应着一个多边形的面积,每一个多边形的面积对应着唯一一个正数.
师:
很好.但这是一个二维的图形,而且多边形的边数也不确定,我们还应遵循求简的原则.有没有简单的图形呢?
生:
是不是能用线段的长度来表示?
师:
说说你的理由.
生:
线段的长度与正数是一一对应的,所以每一个正数可以用一条线段来作几何形式.
师:
正数可以这样去做,零怎么办呢?
能用线段来表示吗?
生:
(非常活跃)当然行了,让线段两个端点重合,线段长就是零了.
师:
可以画这样一个示意图,线段一个端点是A,另一个端点是B,当A,B重合时,我们说AB是0;当A,B不重合时,我们说AB是一个正实数.那么负数怎么办呢?
能不能想办法也用线段AB表示?
生:
线段的长度没有负数.
生:
我能不能这样看,A点在直线l上,B点在l上运动,如果B在A的右侧,我就说线段AB代表正数;如果B和A重合,就说线段AB代表0;如果B在A的左侧,就说线段AB代表负数.
(教师不必理会学生用词及表述的漏洞.主要是把学生的注意力吸引到对知识、概念的发现上来.)
师:
正数与正数不都相等,负数和负数也不都相等,你只是规定了正负还不够吧?
!
生:
可以再加上线段AB的长度.这样所有的实数都能对应一条线段AB,以A为分界点,正数对应的点B在A的右侧,而且加上长度,B点就唯一了.
师:
他的意见是对线段也给了方向.与直线规定方向是类似的.那么如何建立有向线段与数的对应关系?
(板书)
2.有向线段
师:
顾名思义,有方向的线段(即规定了起点与终点的线段)叫做有向线段,那么如何建立有向线段与数的对应关系呢?
这需要借助坐标轴.平行于坐标轴的线段可以规定两种方向.如图2,线段AB可以规定从点A(起点)到点B(终点)的方向,或从点B(起点)到点A(终点)的方向,当线段的方向与坐标轴的正方向一致时,就规定这条线段是正的;当线段的方向与坐标轴的正方向相反时,就规定这条线段是负的.如图中AB=3(长度单位)(A为起点,B为终点),BA=-3(长度单位)(B为起点,A为终点),类似地有CD=-4(长度单位),DC=4(长度单位).
师:
现在我们回到刚才的问题,角α与单位圆的交点P(x,y)的纵坐标恰是α的正弦值,但sinα是可正、可负、可为零的实数,能不能找一条有向线段表示sinα?
生:
找一条有向线段跟y一致就行了,y是正的,线段方向向上,y是负的,线段方向向下,然后让线段的长度为|y|.
师:
理论上很对,到底选择哪条线段呢?
我们不妨分象限来看看.
生:
如果α是第一象限的角,过P点向x轴引垂线,垂足叫M(无论学生用什么字母,教师都要将其改为M),有向线段MP为正,y也是正的,而且MP的长度等于y,所以用有向线段MP表示sinα=y.
(图中的线段随教学过程逐渐添加.)
生:
如果α是第二象限角,sinα=y是正数,也得找一条正的线段.因为α的终边在x轴上方,与第一象限一样,作PM垂直x轴于M,MP=sinα.
师:
第一、二象限角的正弦值几何表示都是MP,那么第三、四象限呢?
注意此时sinα是负值.
生:
这时角α的终边在x轴下方,P到x轴的距离是|y|=-y.所以还是作PM垂直x轴于M,MP方向向下,长度等于-y,所以sinα=y.
师:
归纳起来,无论α是第几象限角,过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线,交x轴于M,有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致,长度等于|y|.所以有MP=y=sinα.我们把有向线段MP叫做角α的正弦线,正弦线是角α的正弦值的几何形式.
(板书)
3.三角函数线
(1)正弦线——MP
师:
刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线,轴上角有正弦线吗?
生:
当角α的终边在x轴上时,P与M重合,正弦线退缩成一点,该角正弦值为0;当角α终边与y轴正半轴重合时,M点坐标为(0,0),P(0,1),MP=1,角α的正弦值为1;当α终边与y轴负半轴重合时,MP=-1,sinα=-1,与象限角情况完全一致.
师:
现在来找余弦线.
生:
因为cosα=x(x是点P的横坐标),所以把x表现出来就行了.过P点向y轴引垂线,垂足为N,那么有向线段NP=cosα,NP是余弦线.
师:
具体地分析一下,为什么NP=cosα?
生:
当α是第一、四象限角时,cosα>0,NP的方向与x轴正方向一致,也是正的,长度为x,有cosα=NP;当α是第二、三象限角时,cosα<0,NP也是负的,也有cosα=NP.
师:
这位同学用的是类比的思想,由正弦线的作法类比得出了余弦线的作法,其他同学有没有别的想法?
生:
其实有向线段OM和他作的有向线段NP方向一样,而且长度也一样,也可以当作余弦线.
师:
从作法的简洁及图形的简洁这个角度看,大家愿意选哪条有向线段作为余弦线?
生:
OM.
(板书)
(2)余弦线——OM
师:
对轴上角这个结论还成立吗?
(学生经过思考,答案肯定.)
师:
我们已经得到了角α的正弦线、余弦线,它们都是与单位圆的弦有关的线段,能不能找到单位圆中的线段表示角α的正切呢?
生:
肯定和圆的切线有关系(这里有极大的猜的成分,但也应鼓励学生.)
坐标等于1的点,这点的纵坐标就是α的正切值.
师:
那么横坐标得1的点在什么位置呢?
生:
在过点(1,0),且与x轴垂直的直线上.
生:
这条直线正好是圆的切线.(在图3-
(1)中作出这条切线,令点(1,0)为A.)
师:
那么哪条有向线段叫正切线呢?
不妨先找某一个象限角的正切线.
生:
设α是第一象限角,α的终边与过A的圆的切线交于点T,T的横坐标是1,纵坐标设为y′,有向线段AT=y′,AT可以叫做正切线.
师:
大家看可以这样做吧?
!
但第二象限角的终边与这条切线没有交点,也就是α的终边上没有横坐标为1的点.
生:
可以令x=-1,也就是可以过(-1,0)再找一条切线,在这条切线上找一条有向线段表示tanα.
师:
我相信这条线段肯定可以找到,那么其他两个象限呢?
生:
第三象限角的正切线在过(-1,0)的切线上找,第四象限角的正切线在过(1,0)的切线上找.
师:
这样做完全可以,大家可以课下去试,但我们还是要求简单,最好只要一条切线,我们当然喜欢过A点的切线(因为这条直线上每个点的横坐标都是1),第一、四象限角与这条直线能相交,AT是正切值的反映,关键是第二、三象限的角.
(如果学生答不出来,由教师讲授即可.)
师(或生):
象限角α的终边如果和过A点的切线不相交,那么它的反向延长线一定能和这条切线相交.因为△OMP∽△OAT,OM与MP同号时,OA与AT也同号;OM与MP异号时,OA与AT也异号,
(板书)
(3)正切线——AT
师:
的确像刚才同学们说的,正切线确实是单位圆的切线的一部分,那么轴上角的正切线又如何呢?
注意正切值不是每个角都有.
生:
当角α终边在x轴上时,T和A重合,正切线退缩成了一个点,正切值为0;当角α终边在y轴上时,α的终边与其反向延长线和过A的切线平行,没有交点,正切线不存在,这与y轴上角的正切值不存在是一致的.
师:
可以看到正切线的一个应用——帮助我们记忆正切函数的定义域.现在我们归纳一下任意角α的正弦线、余弦线、正切线的作法.
设α的终边与单位圆的交点为P,过P点作x轴的垂线,垂足为M,过A(1,0)点作单位圆的切线(x轴的垂线),设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点,那么有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.
利用三角函数线,我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题.
(板书)
4.三角函数线的应用
例1 比较下列各组数的大小:
分析:
三角函数线是一个角的三角函数值的体现,从三角函数线的方向看出三角函数值的正负,其长度是三角函数值的绝对值.比较两个三角函数值的大小,可以借助三角函数线.
(由学生自己画图,从图中的三角函数线加以判断.)
(画出同一个角的两种三角函数线).
师:
例1要求我们根据角作出角的三角函数线,反过来我们要根据三角函数值去找角的终边,从而找到角的取值范围.
(板书)
例2 根据下列三角函数值,求作角α的终边,然后求角的取值集合.
分析:
P1,P2两点,则OP1,OP2是角α的终边,因而角α的取值集合为
(3)在单位圆过点A(1,0)的切线上取AT=-1,连续OT,
(4)这是一个三角不等式,所求的不是一个确定的角,而是适合
三、小结及作业
单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具,它是数形结合思想在三角函数中的体现.我们应掌握三角函数线的作法,并能运用它们解决一些有关三角函数的问题,注意在用字母表示有向线段时,要分清起点和终点,书写顺序要正确.
作业
(1)复习课本“用单位圆中的线段表示三角函数”一节.
(2)课本习题P178练习第7题;P192练习十四第9题;P194练习十四第22题;P201总复习参考题二第20题.
课堂教学设计说明
关于三角函数线的教学,曾有过两个设想:
一是三种函数线在同一节课交待,第二节课再讲应用;另一个设想是,第一
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- 三角函数 及其 应用