福建省百所重点校届高三年上学期联合考试理科数学.docx
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福建省百所重点校届高三年上学期联合考试理科数学
福建省百所重点校2018届高三年上学期联合考试
高三数学试卷(理科)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设
,
为虚数单位,且
,则
()
A.-1B.1C.-2D.2
2.设集合
,
,则
中整数元素的个数为()
A.3B.4C.5D.6
3.已知向量
,
,则“
”是“
与
反向”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:
今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:
“我羊食半马.”马主曰:
“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?
此问题的译文是:
今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:
“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:
“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?
已知牛、马、羊的主人各应偿还
升,
升,
升,1斗为10升,则下列判断正确的是()
A.
依次成公比为2的等比数列,且
B.
依次成公比为2的等比数列,且
C.
依次成公比为
的等比数列,且
D.
依次成公比为
的等比数列,且
5.若函数
在
上递减,则
取值范围是()
A.
B.
C.
D.
6.某几何的三视图如图所示,其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等,若该几何体的体积为
,则该几何体的表面积为()
A.36B.42C.48D.64
7.定义在
上的奇函数
的一个零点所在区间为()
A.
B.
C.
D.
8.设变量
满足约束条件
,则
的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
9.在四棱锥
中,已知异面直线
与
所成的角为60°,给出下面三个命题:
:
若
,则此四棱锥的侧面积为
;
:
若
分别为
的中点,则
平面
;
:
若
都在球
的表面上,则球
的表面积是四边形
面积的
倍.
在下列命题中,为真命题的是()
A.
B.
C.
D.
10.设
,定义运算:
,则()
A.
B.
C.
D.
11.设
为数列
的前项
和,
,且
.记
为数列
的前
项和,若
,
,则
的最小值为()
A.
B.
C.
D.1
12.当
时,
恒成立,则
的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.设向量
满足
,
,则
.
14.函数
的值域为.
15.若函数
的图象相邻的两个对称中心为
,
,将
的图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
,得到
的图象,则
.
16.如图,在四棱锥
中,
底面
,
,底面
为矩形,
为线段
的中点,
,
,
,
与底面
所成角为45°,则四棱锥
与三棱锥
的公共部分的体积为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在
中,角
的对边分别为
,已知
,
.
(1)求
;
(2)求
.
18.设
为数列
的前项
和,
,数列
满足
,
.
(1)求
及
;
(2)记
表示
的个位数字,如
,求数列
的前20项和.
19.已知向量
,
,函数
.
(1)若
,
,求
;
(2)求
在
上的值域;
(3)将
的图象向左平移
个单位得到
的图象,设
,判断
的图象是否关于直线
对称,请说明理由.
20.如图,在三棱锥
中,
,
底面
,
,
,
,且
.
(1)若
为
上一点,且
,证明:
平面
平面
.
(2)求二面角
的余弦值.
21.已知函数
的图象与
轴相切,且切点在
轴的正半轴上.
(1)求曲线
与
轴,直线
及
轴围成图形的面积
;
(2)若函数
在
上的极小值不大于
,求
的取值范围.
22.已知函数
,
.
(1)当
时,比较
与
的大小;
(2)设
,若函数
在
上的最小值为
,求
的值.
高三数学试卷参考答案(理科)
一、选择题
1-5:
BBCDB6-10:
CCDAB11、12:
AA
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解:
(1)∵
,∴
,
∴
.
∵
,∴
,
∴
,从而
.
(2)∵
,
∴
为锐角,
,
∴
,
∴
.
18.解:
(1)当
时,
,
由于
也满足
,则
.
∵
,
,∴
,
∴
是首项为3,公差为2的等差数列,∴
.
(2)∵
,∴
的前5项依次为1,3,5,7,9.
∵
,∴
的前5项依次为3,5,7,9,1.
易知,数列
与
的周期均为5,
∴
的前20项和为
.
19.解:
(1)∵
,
∴
,
.
又
,
∴
或
.
(2)
.
∵
,∴
,
∴
,
故
在
上的值域为
.
(3)∵
,
∴
.
∵
,
∴
的图象关于直线
对称.
20.
(1)证明:
由
底面
,得
.
又
,
,故
平面
.
∵
平面
,
∴平面
平面
.
(2)解:
∵
,
∴
,则
以
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,
则
,
,
,
,
,
,
.
设
是平面
的法向量,
则
,即
令
,得
设
是平面
的法向量,
则
,即
令
,得
.
∴
,
由图可知,二面角
为钝角,故二面角
的余弦值为
.
21.解:
(1)∵
,∴令
得
,
由题意可得
,解得
.
故
,
.
(2)
,
,
当
时,
无极值;
当
,即
时,令
得
;
令
得
或
.
∴
在
处取得极小值,
当
,即
,
在
上无极小值,
故当
时,
在
上有极小值
且极小值为
,
即
.
∵
,∴
,∴
.
又
,故
.
22.解:
(1)
,
构造函数
,
,
当
时,
,∴
在
上单调递减.
∴
,
故当
时,
,
即
,即
.
(2)由题可得
,
则
,
由
得到
,
设
,
.
当
时,
;当
时,
.
从而
在
上递减,在
上递增.
∴
.
当
时,
,即
(或
,设
,证明
亦可得到
).
在
上,
,
,
递减;
在
上,
,
,
递增.
∴
,
∴
,解得
.
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