届一轮复习苏教版45简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式教案江苏专用.docx
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届一轮复习苏教版45简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式教案江苏专用
4.5简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,(C(α-β))
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,(C(α+β))
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,(S(α-β))
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,(S(α+β))
tan(α-β)=,(T(α-β))
tan(α+β)=.(T(α+β))
2.二倍角公式
sin2α=2sinαcosα,(S2α)
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,(C2α)
tan2α=.(T2α)
【知识拓展】
1.降幂公式:
cos2α=,sin2α=.
2.升幂公式:
1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.
3.辅助角公式:
asinx+bcosx=sin(x+φ),其中sinφ=,cosφ=.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.( √ )
(2)在锐角△ABC中,sinAsinB和cosAcosB大小不确定.( × )
(3)若α+β=45°,则tanα+tanβ=1-tanαtanβ.( √ )
(4)对任意角α都有1+sinα=(sin+cos)2.( √ )
(5)y=3sinx+4cosx的最大值是7.( × )
(6)在非直角三角形中,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.( √ )
1.tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.
答案
解析 ∵tan60°=tan(20°+40°)=,
∴tan20°+tan40°=tan60°(1-tan20°tan40°)
=-tan20°tan40°,
∴原式=-tan20°tan40°+tan20°tan40°=.
2.(2016·四川)cos2-sin2=.
答案
解析 由题意可知,cos2-sin2=cos=(二倍角公式).
3.(2016·全国丙卷改编)若tanθ=-,则cos2θ=.
答案
解析 tanθ=-,则cos2θ=cos2θ-sin2θ
===.
4.(2015·江苏)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为.
答案 3
解析 tanβ=tan[(α+β)-α]
===3.
5.(2016·全国甲卷改编)函数f(x)=cos2x+6cos的最大值为.
答案 5
解析 由f(x)=cos2x+6cos=1-2sin2x+6sinx=-22+,所以当sinx=1时函数的最大值为5.
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题型一 和差公式的直接应用
例1 (2016·盐城模拟)已知α为锐角,cos(α+)=.
(1)求tan(α+)的值;
(2)求sin(2α+)的值.
解
(1)因为α∈(0,),所以α+∈(,),
所以sin(α+)==,
所以tan(α+)==2.
(2)因为sin(2α+)=sin2(α+)
=2sin(α+)cos(α+)=,
cos(2α+)=cos2(α+)
=2cos2(α+)-1=-,
所以sin(2α+)=sin[(2α+)-]
=sin(2α+)cos-cos(2α+)sin=.
思维升华
(1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.
(1)(2016·全国丙卷改编)若tanα=,则cos2α+2sin2α=.
(2)计算:
的值为.
答案
(1)
(2)
解析
(1)tanα=,
则cos2α+2sin2α===.
(2)=
===.
题型二 和差公式的综合应用
命题点1 角的变换
例2
(1)设α、β都是锐角,且cosα=,sin(α+β)=,则cosβ=.
(2)(2016·镇江期末)由sin36°=cos54°,可求得cos2016°的值为.
答案
(1)
(2)-
解析
(1)依题意得sinα==,
cos(α+β)=±=±.
又α,β均为锐角,所以0<α<α+β<π,cosα>cos(α+β).
因为>>-,所以cos(α+β)=-.
于是cosβ=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=-×+×=.
(2)由sin36°=cos54°,得sin36°=2sin18°cos18°=cos(36°+18°)=cos36°cos18°-sin36°sin18°=(1-2sin218°)·cos18°-2sin218°cos18°=cos18°-4sin218°·cos18°,即4sin218°+2sin18°-1=0,解得sin18°==,cos2016°=cos(6×360°-144°)=cos144°=-cos36°=2sin218°-1=-.
命题点2 三角函数式的变形
例3
(1)(2016·无锡调研)若tanα=,tan(α-β)=-,则tan(β-2α)=.
答案 -
解析 方法一 因为tanα=,
所以tan2α===.
又tan(α-β)===-,
故tanβ=1.
所以tan(β-2α)===-.
方法二 tan(β-2α)=-tan(2α-β)=-tan(α+α-β)
=-=-=-.
(2)求值:
-sin10°(-tan5°).
解 原式=-sin10°(-)
=-sin10°·
=-sin10°·
=-2cos10°=
=
=
==.
引申探究
化简:
(0<θ<π).
解 ∵0<<,∴=2sin,
又1+sinθ-cosθ=2sincos+2sin2
=2sin(sin+cos)
∴原式=
=-cosθ.
思维升华
(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)常见的配角技巧:
2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=(α+)-(+β)等.
(1)(2016·泰州模拟)若sin(+α)=,则cos(-2α)=.
(2)(2016·南京模拟)化简(tanα+)·sin2α-2cos2α=.
(3)计算:
sin50°(1+tan10°)=.
答案
(1)-
(2)-cos2α (3)1
解析
(1)∵sin(+α)=,∴cos(-α)=,
∴cos(-2α)=cos2(-α)=2×-1=-.
(2)原式=·sin2α-2cos2α
=1-2cos2α=-cos2α.
(3)sin50°(1+tan10°)=sin50°(1+)
=sin50°×
=sin50°×
====1.
8.利用联系的观点进行角的变换
典例
(1)设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为.
(2)若tanα=2tan,则=.
思想方法指导 三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系,通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有=(α-)-(-β);α=(α-β)+β;α+=(α+)-;15°=45°-30°等.
解析
(1)∵α为锐角且cos(α+)=>0,
∴α+∈(,),∴sin(α+)=.
∴sin(2α+)=sin[2(α+)-]
=sin2(α+)cos-cos2(α+)sin
=sin(α+)cos(α+)-[2cos2(α+)-1]
=××-[2×()2-1]
=-=.
(2)=
==
==
==3.
答案
(1)
(2)3
1.(2016·苏州暑假测试)已知α∈(0,π),cosα=-,则tan(α+)=.
答案
解析 由α∈(0,π),cosα=-,得tanα=-,
则tan(α+)===.
2.(2016·盐城三模)若角α+的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=x上,则tanα的值为.
答案 -
解析 若角α+的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=x上,则tan(α+)=,
又tan(α+)=,所以tanα=-.
3.(2015·重庆改编)若tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=.
答案
解析 tanβ=tan[(α+β)-α]
===.
4.(2016·江苏启东中学阶段检测)若α、β均为锐角,且cosα=,cos(α+β)=-,则cosβ=.
答案
解析 由于α、β都是锐角,所以α+β∈(0,π),
又cosα=,cos(α+β)=-,
所以sinα=,sin(α+β)=,
所以cosβ=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=-×+×=.
5.的值是.
答案
解析 原式=
=
==.
6.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=.
答案
解析 由已知得α+∈(,π),-∈(,),
所以sin(α+)=,sin(-)=,
所以cos(α+)=cos[(+α)-(-)]
=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-)
=×+×=.
7.化简·=.
答案
解析 原式=tan(90°-2α)·
=··
=··=.
8.(2016·江苏无锡普通高中期末)已知sin(α-45°)=-且0°<α<90°,则cos2α的值为.
答案
解析 因为sin(α-45°)=-且0°<α<90°,
所以cos(α-45°)==.
cos2α=sin(90°-2α)=-sin(2α-90°)
=-sin[2(α-45°)]=-2sin(α-45°)cos(α-45°)
=-2×(-)×=.
9.(2016·南京模拟)已知cos(+θ)cos(-θ)=,则sin4θ+cos4θ的值为.
答案
解析 因为cos(+θ)cos(-θ)
=(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)
=(cos2θ-sin2θ)=cos2θ=.
所以cos2θ=.
故sin4θ+cos4θ=()2+()2
=+=.
10.将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得的图象关于y轴对称,则m的最小值是.
答案
解析 y=cosx+sinx=2sin(x+),
所以此函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到y=2sin(x+m+)的图象,由题意得m+=+kπ(k∈Z),∵m>0,∴m=+kπ(k∈Z且k≥0),
∴m的最小值是.
11.已知α∈(,π),sinα=.
(1)求sin(+α)的值;
(2)求cos(-2α)的值.
解
(1)因为α∈(,π),sinα=,
所以cosα=-=-.
故sin(+α)=sin
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