北师大版八年级数学下册全册公开课精品课件.pptx
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北师大版八年级数学下册全册公开课精品课件,1.1等腰三角形,第一章三角形的证明,第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质,学习目标,1.回顾全等三角形的判定和性质;2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论,能运用其解决基本的几何问题.(重点),导入新课,情境引入,问题1:
图中有些你熟悉的图形吗?
它们有什么共同特点?
斜拉桥梁,埃及金字塔,体育观看台架,问题2:
建筑工人在盖房子时,用一块等腰三角板放在梁上,从顶点系一重物,如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点,就说房梁是水平的,你知道其中反映了什么数学原理?
七下“轴对称”中学过的等腰三角形的“三线合一”.,思考:
你能证明等腰三角形的“三线合一”吗?
问题3在八上的“平行线的证明”这一章中,我们学了哪8条基本事实?
1.两点确定一条直线;,2.两点之间线段最短;,3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;,4.同位角相等,两直线平行;,5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;,6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;,7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;,8.三边分别相等的两个三角形全等.,定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).,问题:
你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗?
弄清楚证明一个命题的一般步骤是解题的关键,证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论;
(2)根据题意画出相应的图形;(3)根据题设和结论写出已知和求证;(4)分析证明思路,写出证明过程.,讲授新课,已知:
如图,A=D,B=E,BC=EF.求证:
ABCDEF.,证明:
A+B+C=180,D+E+F=180(三角形内角和等于180),C=180(A+B),F=180(D+E).A=D,B=E(已知),C=F(等量代换).BC=EF(已知),ABCDEF(ASA).,总结归纳,定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).,根据全等三角形的定义,我们可以得到:
全等三角形的对应边相等,对应角相等.,问题1:
你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
推论:
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线底边上的高互相重合(三线合一).,问题2:
你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
定理:
等腰三角形的两个底角相等.,问题引入,等腰三角形的两个底角相等.,A,B,C,已知:
ABC中,AB=AC,求证:
B=C.,思考:
如何构造两个全等的三角形?
定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,如何证明两个角相等呢?
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证,议一议:
在七下学习轴对称时,我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形,且两个底角相等,如下图,实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此,你得到了什么解题的启发?
已知:
如图,在ABC中,AB=AC.求证:
B=C.,D,证明:
作底边的中线AD,则BD=CD.,AB=AC(已知),,BD=CD(已作),,AD=AD(公共边),,BADCAD(SSS).,B=C(全等三角形的对应角相等).,在BAD和CAD中,方法一:
作底边上的中线,还有其他的证法吗?
已知:
如图,在ABC中,AB=AC.求证:
B=C.,D,证明:
作顶角的平分线AD,则BAD=CAD.,AB=AC(已知),BAD=CAD(已作),AD=AD(公共边),BADCAD(SAS).,B=C(全等三角形的对应角相等).,方法二:
作顶角的平分线,在BAD和CAD中,想一想:
由BADCAD,除了可以得到B=C之外,你还可以得到那些相等的线段和相等的角?
和你的同伴交流一下,看看你有什么新的发现?
解:
BADCAD,由全等三角形的性质易得BD=CD,ADB=ADC,BAD=CAD.又ADB+ADC=180,ADB=ADC=90,即AD是等腰ABC底边BC上的中线、顶角BAC的角平分线、底边BC上的高线.,D,定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,如图,在ABC中,AB=AC(已知),B=C(等边对等角).,证明后的结论,以后可以直接运用.,总结归纳,推论:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一).,AB=AC,1=2(已知),BD=CD,ADBC(等腰三角形三线合一).,AB=AC,BD=CD(已知),1=2,ADBC(等腰三角形三线合一).,AB=AC,ADBC(已知),BD=CD,1=2(等腰三角形三线合一).,综上可得:
如图,在ABC中,例1如图,在ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求ABC各角的度数.,典例精析,分析:
(1)找出图中所有相等的角;,
(2)指出图中有几个等腰三角形?
A=ABD,C=BDC=ABC;,ABC,ABD,BCD.,(3)观察BDC与A、ABD的关系,ABC、C呢?
BDC=A+ABD=2A=2ABD,ABC=BDC=2A,C=BDC=2A.,(4)设A=x,请把ABC的内角和用含x的式子表示出来.,A+ABC+C=180,x+2x+2x=180,解:
AB=AC,BD=BC=AD,ABC=C=BDC,A=ABD.设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x,于是在ABC中,有A+ABC+C=x+2x+2x=180,解得x=36,在ABC中,A=36,ABC=C=72.,例2如图,点D、E在ABC的边BC上,ABAC.
(1)若ADAE,求证:
BDCE;
(2)若BDCE,F为DE的中点,如图,求证:
AFBC.,解析:
(1)过A作AGBC于G,根据等腰三角形的性质得出BGCG,DGEG即可证明;
(2)先证BFCF,再根据等腰三角形的性质证明,图,图,A,B,D,G,E,C,A,B,D,E,C,F,证明:
(1)如图,过A作AGBC于G.ABAC,ADAE,BGCG,DGEG,BGDGCGEG,BDCE;
(2)BDCE,F为DE的中点,BDDFCEEF,BFCF.ABAC,AFBC.,图,图,A,B,D,G,E,C,A,B,D,E,C,F,当堂练习,1.如图,已知ABAE,BADCAE,要使ABCAED,还需添加一个条件,这个条件可以是_,CD(答案不唯一),2.
(1)等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_;
(2)等腰三角形一个角为36,它的另外两个角为_;(3)等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_.,75,30,72,72或36,108,30,30,结论:
在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.,顶角+2底角=180顶角=1802底角底角=(180顶角)2,0顶角1800底角90,课堂小结,等腰三角形的性质,等边对等角,三线合一,注意是指同一个三角形中,注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.,定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).,全等三角形的对应边相等,对应角相等.,1.1等腰三角形,第一章三角形的证明,第2课时等边三角形的性质,学习目标,1.进一步学习等腰三角形的相关性质,了解等腰三角形两底角的角平分线(两腰上的高,中线)的性质;2.学习等边三角形的性质,并能够运用其解决问题.(重点、难点),在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”,生活中有很多等边三角形,如交通图标、台球室的三角架等,它们都是等边三角形.,思考:
在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等,那等边三角形的各角之间有什么关系呢?
导入新课,情境引入,讲授新课,D,E,M,N,P,Q,上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”,试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢?
猜想:
底角的两条平分线相等;两条腰上的中线相等;两条腰上的高线相等.,你能证明你的猜想吗?
例1证明:
等腰三角形两底角的平分线相等,A,C,B,E,已知:
求证:
BD=CE.,如图,在ABC中,AB=AC,BD和CE是ABC的角平分线,1,2,猜想证明,D,2=ACB(已知),AB=AC(已知),ABC=ACB(等边对等角).,证明:
又1=ABC,,1=2(等式性质),在BDC与CEB中,,DCB=EBC(已知),,BC=CB(公共边),,1=2(已证),,BDCCEB(ASA),BD=CE(全等三角形的对应边相等),A,C,B,E,1,2,D,又CM=,BN=,,例2证明:
等腰三角形两腰上的中线相等,BM=CN,求证:
已知:
如图,在ABC中,AB=AC,BM,CN是ABC两腰上的中线,证明:
AB=AC(已知),ABC=ACB.,CM=BN在BMC与CNB中,,BC=CB,MCB=NBC,CM=BN,,BMCCNB(SAS),BM=CN.,例3证明:
等腰三角形两腰上的高相等,BP=CQ,求证:
已知:
如图,在ABC中,AB=AC,BP,CQ是ABC两腰上的高,证明:
AB=AC(已知),ABC=ACB.,在BMC与CNB中,,BC=CB,QBC=PCB,BQC=CPB,,BQCCPB(SAS),BP=CQ.,P,Q,还有其他的结论吗?
1.已知:
如图,在ABC中,AB=AC.
(1)如果ABD=ABC,ACE=ACB,那么BD=CE吗?
为什么?
(2)如果ABD=ABC,ACE=ACB呢?
由此你能得到一个什么结论?
议一议:
过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.,BD=CE,BD=CE,BD=CE,2.已知:
如图,在ABC中,AB=AC.
(1)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?
为什么?
BD=CE,
(2)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?
为什么?
BD=CE,由此你能得到一个什么结论?
(3)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?
为什么?
BD=CE,两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.,这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.,想一想:
等边三角形是特殊的等腰三角形,那么等边三角形的内角有什么特征呢?
定理:
等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60.,可以利用等腰三角形的性质进行证明.,怎样证明这一定理了?
定理证明,已知:
如图,在ABC中,AB=AC=BC求证:
A=B=C=60,证明:
在ABC中,AB=AC(已知),B=C(等边对等角).同理A=B又A+B+C=180(三角形的内角和等于180),A=B=C=60,定理:
等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60.,例4:
如图,等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求EDA的度数.,解:
ABC是等边三角形,,CBA=60.,BD是AC边上的中线,,BDA=90,DBA=30.,BD=BE,,BDE=(180DBA)2=(18030)2=75.,EDA=90BDE=9075=15.,当堂练习,1.如图,ABC和ADE都是等边三角形,已ABC的周长为18cm,EC=2cm,则ADE的周长是cm.,12,2.如图所示,ACM和BCN都为等边三角形,连接AN、BM,求证:
AN=BM.,证明:
ACM和BCN都为等边三角形,1360,1232,即ACNMCB.CACM,CBCN,CANCMB(SAS),ANBM.,3.如图,A、O、D三点共线,OAB和OCD是两个全等的等边三角形,求AEB的大小.,解:
OAB和OCD是两个全等的等边三角形.,AO=BO,CO=DO,AOB=COD=60.,A、O、D三点共线,,DOB=COA=120,,COADOB(SAS).,DBO=CAO.,设OB与EA相交于点F,EFB=AFO,,AEB=AOB=60.,F,变式:
如图,若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”,其余条件不变,你还能求出AEB的大小吗?
方法与前面相同,AEB=60.,课堂小结,等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质:
底角的两条平分线相等;两条腰上的中线相等;两条腰上
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